导数部分的常见题型列举

前言

对导数部分的常见题型列举，再次熟悉导数素材的工具性，也能更深入体会转化划归和数形结合思想的灵活使用。

典例剖析

【2017全国卷1文科第14题高考真题】曲线(y=x^2+cfrac{1}{x})在点((1，2))处的切线方程是__________。

分析：利用点斜式来求解，

其中斜率(k=f'(x)_{|x=1}=(2x-cfrac{1}{x^2})_{|x=1}=1)，

切点是((1，2))，

故切线方程为(y-2=1(x-1))，整理为(y=x+1)。

【2017(cdot)滨州模拟】设(R)上的可导函数(f(x))的导函数为(f'(x))，且函数(y=(1-x)f'(x))的图像如图所示，则下列结论一定成立的是【】

$A.$函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(1)$

$B.$函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(1)$

$C.$函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(-2)$

$D.$函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(2)$

分析：当(x<-2)时，则有(1-x>0)，又(y>0)，故由符号法则可知(f'(x)>0)；

当(-2<x<1)时，则有(1-x>0)，又(y<0)，故由符号法则可知(f'(x)<0)；

当(1<x<2)时，则有(1-x<0)，又(y>0)，故由符号法则可知(f'(x)<0)；

当(x>2)时，则有(1-x<0)，又(y<0)，故由符号法则可知(f'(x)>0)；

从而可知当(x<-2)时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；

当(-2<x<2)时，(f'(x)<0)，(f(x)searrow)；

当(x>2)时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；故选(D)。

已知定义在区间((-pi,pi))上的函数(f(x)=xcdotsin x+cos x)，求(f(x))的单调递增区间和单调递减区间；

分析：(f'(x)=sin x+xcdotcos x-sin x=xcdotcos x)；

在同一坐标系中，做出函数(y=x)和(y=cos x)的图像，(xin (-pi,pi))，

由符号法则可知，单调递增区间为((-pi,-cfrac{pi}{2}))和((0,cfrac{pi}{2}))；

单调递减区间为((-cfrac{pi}{2}，0))和((cfrac{pi}{2},pi))；

(2015(cdot)江苏高考改编)已知函数(f(x)=x^3+ax^2+b(a,bin R))，求函数(f(x))的单调区间。

分析：先求函数的定义域为(R)，(f'(x)=3x^2+2ax=cfrac{1}{3}x(x+cfrac{2a}{3}))，

令(f'(x)=0)，得到(x=0)或(x=-cfrac{2a}{3})，针对两个根的大小分类讨论如下

当(a>0)时，如图1所示，当(x<-cfrac{2a}{3})或(x>0)时，(f'(x)>0)；当(-cfrac{2a}{3}<x<0)时，(f'(x)<0)；

当(a=0)时，如图2所示，(f'(x)ge 0)恒成立，且仅仅在(x=0)一个点处取到0；

当(a<0)时，如图3所示，当(x<0)或(x>-cfrac{2a}{3})时，(f'(x)>0)；当(0<x<-cfrac{2a}{3})时，(f'(x)<0)；

综上所述，当(a<0)时，函数(f(x))的单调递增区间是((-infty，0))和((-cfrac{2a}{3}，+infty))，单调递减区间是((0，-cfrac{2a}{3}))；

当(a=0)时，函数(f(x))的单调递增区间是((-infty，+infty))；

当(a>0)时，函数(f(x))的单调递增区间是((-infty，-cfrac{2a}{3}))和((0，+infty))，单调递减区间是((-cfrac{2a}{3}，0))；

(已知单调性求参数的取值范围)已知函数(f(x)=x^3-ax-1)，

(1).讨论函数(f(x))的单调性；

分析：用导数法求解，(f'(x)=3x^2-a) ，作出导函数的简图(三种代表情形)，

当(aleq 0)时，(f'(x)ge 0)，故在((-infty，+infty))上单调递增；

当(a>0)时，令(f'(x)=0)，得到(x=pm cfrac{sqrt{3a}}{3})，故(xin (-infty， -cfrac{sqrt{3a}}{3}))时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；

(xin (-cfrac{sqrt{3a}}{3}，cfrac{sqrt{3a}}{3}))时，(f'(x)<0)，(f(x)searrow)；(xin (cfrac{sqrt{3a}}{3}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；

(2).若函数(f(x))在(R)上是增函数，求(a)的取值范围。

分析：由于函数(f(x))在(R)上是增函数，即(f'(x)geqslant 0)在(R)上恒成立，且满足不恒有(f'(x)=0)，即(f(x))不为常函数；

则(f'(x)=3x^2-ageqslant 0)恒成立，分离参数得到，

(aleqslant 3x^2)在(R)上恒成立，而((3x^2)_{min}=0)，

则(aleqslant 0)，又因为当(a=0)时，函数不为常函数，故参数(a)的取值范围是(ain (-infty,0])。

函数(f(x)=x^3-ax-1)，若函数(f(x))在((1，+infty))上是增函数，求(a)的取值范围。

分析： (f'(x)=3x^2-age 0)在((1，+infty))上恒成立，故(aleq 3x^2)在((1，+infty))上恒成立，

需要求(y=3x^2)在((1，+infty))上的最小值或者最小值极限为(3)，故有(aleq 3)；

函数(f(x)=x^3-ax-1)，若函数(f(x))在((-1，1))上是减函数，求(a)的取值范围。

分析： (f'(x)=3x^2-aleq 0)在((-1，1))上恒成立，

故(age 3x^2)在((-1，1))上恒成立，

需要求(y=3x^2)在((-1，1))上的最大值或者最大值极限为(3)，故有(age 3)；

[恰成立命题]函数(f(x)=x^3-ax-1)，若函数(f(x))的单调递减区间是((-1，1))，求(a)的值。

分析：由第一问可知函数在((-cfrac{sqrt{3a}}{3}，cfrac{sqrt{3a}}{3}))上单调递减，

现已知单调递减区间是((-1，1))，故这两个区间相等，

即(cfrac{sqrt{3a}}{3}=1)，解得(a=3)；

函数(f(x)=x^3-ax-1)，若函数(f(x))在((-1，1))上不单调，求(a)的取值范围。
法1：补集思想，由上述解题过程可知

当单增时，(aleq 0)；当单减时，(age 3)，故其补集则(0<a<3)时必然不单调。

故(a)的取值范围为(ain (0，3))。

法2： 函数(f(x))在区间((-1，1))上有增有减，即函数(y=f'(x))在((-1，1))上至少有一个变号零点，

当有一个变号零点时，(f'(-1)cdot f'(1)<0)，解得(ain varnothing)；

当有两个变号零点时，结合函数(f'(x)=3x^2-a)的图像的对称性可知，

转化为函数(y=f'(x))在((0，1))上有一个变号零点，故(f'(0)cdot f'(1)<0)，

解得(0<a<3)。

综上可知，(0<a<3)。

已知函数(f(x)=x^3+ax^2+(a+6)x+1)有极大值和极小值，则(a)的取值范围是【(quad)】

$A.-1< a <2$ $B.-3< a <2$ $C.a<-1或a>2$ $D.a<-3或a>6$

分析：由题可知，(f'(x)=3x^2+2ax+(a+6))，

因为函数有极大值和极小值，所以方程 (f'(x)=0) 有两个不相等的实数根,

即 (3x^2+2ax+(a+6)=0) 有两个不相等的实数根， 即(Delta>0)，则((2a)^2-4 imes 3 imes(a+6)>0)，

解得: (a<-3)或(a>6)，故选 (D)。

[解后反思] 本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程 (f^{prime}(x)=0) 有两个不相等的实数根是解题的关键。

若函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a) 的图像与 (x) 轴有三个不同的交点，则实数(a) 的取值范围是___________.

分析：由于(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1))，

故当(xin (-infty,-1))和((3,+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

当(xin(-1,3))时，(f'(x)<0)，(f(x)) 单调递诚，

故(f(x)_{ ext{极大}}=f(-1)=cfrac{5}{3}-3a)， (f(x)_{ ext{极小}}=f(3)=-9-3a),

又(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a) 的图像与 (x) 轴有三个不同的交点，

所以 (left{egin{array}{l}cfrac{5}{3}-3a>0\-9-3a<0end{array} ight.)，解得(ain(-3, cfrac{5}{9})).

[解后反思]：函数的零点个数问题或方程解的个数问题，可借助函数的导数符号，得到函数的单调性，再数形结合求得参数的取值范围。

(1).已知函数(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d)的单调减区间为([-1,2])，求(b)，(c)的值.

分析：由于(f'(x)=3x^2+2bx+c)，由于函数(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d)的单调减区间为([-1,2])，

则(f'(x)leqslant 0)在区间([-1,2])上恒成立，且(f'(x)leqslant 0)的解集为([-1,2])，

则方程(3x^2+2bx+c=0)的两个根分别为(x_1=-1)，(x_2=2)，

由韦达定理可知，(x_1+x_2=-1+2=-cfrac{2b}{3})，(x_1x_2=-1 imes 2=cfrac{c}{3})

解得，(b=-cfrac{3}{2})，(c=-6)；

(2).设(f(x)=ax^{3}+x)恰好有三个单调区间，求实数(a)的取值范围.

分析： (f^{prime}(x)=3a x^{2}+1)且(f(x))有三个单调区间

则方程 (f'(x)=3a x^{2}+1=0)有两个不等的实根

即(Delta=0^{2}-4 imes 1 imes 3a>0)，解得(a<0)

故(a)的取值范围为((-infty, 0)).

【2020高三文数训练题】若函数(f(x)=ax^{3}+3x^{2}-x) 恰好有三个单调区间，则实数(a)的取值范围是_____________.

解析：由题意知 (f'(x)=3ax^{2}+6x-1)，由函数 (f(x)) 恰好有三个单调区间，

得(f'(x))有两个不相等的变号零点，故需满足(a eq 0)，且 (Delta=36+12a>0)，

解得(a>-3)，所以实数 (a) 的取值范围是 ((-3,0) cup(0,+infty))，

故答案 (:(-3,0) cup(0,+infty))

(不是单调递减)已知函数(f(x)=-cfrac{1}{3}x^3+bx^2-(2b+3)x+2-b)在(R)上不是单调递减函数，则(b)的取值范围是___________。

分析：若是(R)上的单调递减函数，则(f'(x)leq 0)恒成立，

现在不是(R)上的单调递减函数，

故(f'(x)=-x^2+2bx-2b-3=-(x-b)^2+b^2-2b-3>0)在R上能成立，

故只需要(f'(x)_{max}=b^2-2b-3>0)即可，

解得(b<-1)或(b>3)。故(bin (-infty，-1)cup(3，+infty))。

反思总结：不是单调递减的情形可能包含有单调递增函数或常函数或有增有减函数。

(存在单调递增区间)若函数(f(x)=-cfrac{1}{3}x^3+cfrac{1}{2}x^2+2ax)在([cfrac{2}{3}，+infty))上存在单调递增区间，则实数(a)的取值范围是__________.

法1：由于函数(f(x))在([cfrac{2}{3}，+infty))上存在单调递增区间，

说明在此区间上，(f'(x)> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

即(f'(x)=-x^2+x+2a> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

即(2a> x^2-x=(x-cfrac{1}{2})^2-cfrac{1}{4}=g(x))在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

而函数(g(x)_{min}=g(cfrac{2}{3})=-cfrac{2}{9})，

故(2a>-cfrac{2}{9})，即(a>-cfrac{1}{9})，

反思总结：本题目若转化为(f'(x)ge 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，则最后参数的值会多出(a=-cfrac{1}{9})，

所以务必要注意转化的等价性，或者说我们还需要注意导函数(f'(x))的具体形式。

法2：由于函数(f(x))在([cfrac{2}{3}，+infty))上存在单调递增区间，

说明在此区间上，(f'(x)> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

即(f'(x)=-x^2+x+2a> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

(f'(x)=-x^2+x+2a=-(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{1}{4}+2a)，

当(xin [cfrac{2}{3}，+infty)) 时，(f'(x)_{max}=f'(cfrac{2}{3})=cfrac{2}{9}+2a)。

令(cfrac{2}{9}+2a>0)，解得(a> -cfrac{1}{9})，

所以(a)的取值范围是((-cfrac{1}{9}，+infty))。

【2016•德州模拟】函数(y＝x^2(x>0))的图像在点((a_k，a_k^2))处的切线与(x)轴交点的横坐标为(a_{k+1})，其中 (kin N*)，若(a_1＝16)，则(a_1＋a_3＋a_5)的值是________．

分析：由(f'(x)=2x)得，在点((a_k，a_k^2))处的切线方程为(y-a_k^2=2a_k(x-a_k)(kin N*))，

令(y=0)，得到切线方程与(x)轴的交点的横坐标为(x=cfrac{a_k}{2})，

即(a_{k+1}=cfrac{a_k}{2})，即(cfrac{a_{k+1}}{a_k}=cfrac{1}{2})，

故数列({a_k})是首项为(a_1=16)，公比为(cfrac{1}{2})的等比数列，

故(a_1＋a_3＋a_5=16+16cdot (cfrac{1}{2})^2+16cdot (cfrac{1}{2})^4=21)。