正方体的截面

前言

案例研究

• 正方体截面的探究

【目的】结合正方体截面设计的问题串，引导学生完成探究、发现、证明新问题的过程，积累数学探究的经验。

【情境】用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的?启发学生提出逐渐深入的系列问题，引导学生进行逐渐深刻的思考。

学生可以自主或在教师引导下提出一些问题，例如：

（1）给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，面出这些截面的示意图。

例如，可以按照截面图形的边数进行分类，比如三角形，四边形，五边形，六边形等等。

（2）如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形?为什么？

（3）如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形?为什么？

（4）还能截出哪些多边形?为什么？然后进一步探讨：

（5）能否截出正五边形?为什么？

（6）能否截出直角三角形?为什么？

（7）有没有可能截出边数超过6的多边形?为什么?

（8）是否存在正六边形的截面？为什么？

最后思考：

（9）截面面积最大的三角形是什么形状的三角形？为什么？

【分析】这是一个跨度很大的数学问题串，可以针对不同学生，设计不同的教学方式，通过多种方法实施探究。例如，

①可以通过切萝卜块观察，启发思路；

②也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面的形状；

还可以借助信息技术直观快捷地展示各种可能的截面。

但是，观察不能代替证明。探究的难点是分类找出所有可能的截面，并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在。可以鼓励学生通过操作观察，形成猜想，证现最证。龙这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生8问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体情做事限升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养，积累教学探的洋么、

典例剖析

正方体 (ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})的棱长为(1)， 动点(P)，(Q) 分别在棱(BC)，(CC_{1}) 上， 过点 (A)， (P)， (Q) 的平面截该正方体所得的截面记为(S)，设(BP=x)， (CQ=y)，其中(x)， (yin[0,1])，下列命题:

①当 (x=0) 时， (S) 为矩形，其面积最大为 (1)；

分析：当 (x=0) 时， (S) 为矩形，其面积最大时为矩形(ABC_1D_1)，故最大面积为(sqrt{2})，故①错误；

②当 (x=y=cfrac{1}{2}) 时， (S) 为等腰梯形；

分析：如上图，由于(x=y=cfrac{1}{2})，容易证明(AP=D_1Q)，而(PQ//AD_1)，故截面(S) 为等腰梯形；故②正确；

③当 (x=cfrac{1}{2})，(yin(cfrac{1}{2}, 1)) 时, 设 (S) 与棱 (C_{1}D_{1}) 的交点为 (R)，则 (RD_{1}=2-cfrac{1}{y})；

分析：设 (S) 与棱 (C_{1}D_{1}) 的交点为 (R)，延长(DD_1)，使(DD_1cap QR=N)，

连接(AN)交(A_1D_1)于(T)，连接(TR)，可证(AN//PQ)一个平面和两个平行平面都相交，则所得的交线互相平行；(quad)，

故可知( riangle PCQsim riangle AD_1N)，则(cfrac{PC}{AD}=cfrac{CQ}{DN}=cfrac{1}{2})，

即(cfrac{y}{DN}=cfrac{1}{2})，故(DN=2y)，则(D_1N=2y-1)；

又由于( riangle NRD_1sim riangle QRC_1)，可得(cfrac{C_1R}{D_1R}=cfrac{C_1Q}{D_1N})，

令(RD_1=x)，即(cfrac{1-x}{x}=cfrac{1-y}{2y-1})，利用合比定理，得到

(cfrac{1-x+x}{x}=cfrac{1-y+2y-1}{2y-1})，即(cfrac{1}{x}=cfrac{y}{2y-1})

可得(x=RD_1=2-cfrac{1}{y})，故③正确；

④当 (y=1) 时， 以 (B_1)为顶点，(S) 为底面的棱锥的体积为定值(cfrac{1}{3})； 其中正确的命题为_______________.

分析：当 (y=1) 时， 以 (B_1)为顶点，(S) 为底面的棱锥(B_1-PC_1MA)的体积为

(V_{B_1-PC_1MA}=2V_{B_1-PC_1M}=2V_{P-B_1C_1M}=2 imescfrac{1}{3} imescfrac{1}{2} imes 1 imes 1 imes 1=cfrac{1}{3})，故④正确；

综上所述，正确的命题为②③④；