恰成立命题

前言

恰成立这类命题是高三数学中不太常见的考查素材。已知函数的单调区间求参数的取值[或范围]的问题、已知函数的定义域[或值域]求参数的取值[或范围]的问题，往往可以归结为恰成立问题；

恰成立命题

【自编】若函数(f(x)=cfrac{x^3}{3}-cfrac{3x^2}{2}+ax+4)的单调递减区间是([-1，4])[或((-1,4))或((-1,4])或([-1,4))]，求实数(a)的值.

解析：由于函数(f(x))的单调递减区间是([-1，4])，

(f'(x)=x^2-3x+aleqslant0)的解集恰好应该是([-1，4])，

则 (-1) 和 (4) 都是方程(x^2-3x+a=0)的根，故实数(a=(-1) imes4=-4).

【自编+对照题目】若函数(f(x)=cfrac{x^3}{3}-cfrac{3x^2}{2}+ax+4)在区间([-1，4])上单调递减，求实数(a)的取值范围.

解析：由于函数(f(x))在区间([-1，4])上单调递减，

则(f'(x)=x^2-3x+aleqslant 0)在区间([-1，4])上恒成立，

即(aleqslant 3x-x^2)在区间([-1，4])上恒成立，

又在(xin[-1，4])上，((3x-x^2)_{min}=-4)，故(aleqslant -4).

解后反思：函数(f(x))在闭区间([a,b])上单调递减和在开区间((a,b))上单调递减，求参数的取值范围时，一般是有区别的；

函数(f(x))的单调递减区间是([a,b])，一般转化为恰成立命题求解；函数(f(x))在区间([a,b])上单调递减(或增)，一般转化为恒成立命题求解；

典例剖析

已知函数(f(x)=sqrt{1+3^x+acdot 9^x})，其定义域为((-infty，1])，则a的取值是(a=-cfrac{4}{9})。

解析：由题目可知(1+3^x+acdot 9^xge 0)的解集必须恰好是是((-infty，1])，

即((cfrac{1}{9})^x+(cfrac{1}{3})^x+age 0)的解集必须恰好是是((-infty，1])，

令((cfrac{1}{3})^x=t)，则(tin[cfrac{1}{3}，+infty))，则(g(t)=t^2+t+a>=0)的解集必须是([cfrac{1}{3}，+infty))，

则(g(cfrac{1}{3})=0)，所以(9a+4=0，a=-cfrac{4}{9})。

反思总结：本题有两种变换，其一令(3^x=tin(0，3])，变换得到(h(t)=at^2+t+1ge0)的解集必须是((0，3])；

其二令((cfrac{1}{3})^x=t)，则(tin[cfrac{1}{3}，+infty))，则(g(t)=t^2+t+a>=0)的解集必须是([cfrac{1}{3}，+infty))，

变换二比变换一要好处理、好理解一些。 图像说明

不等式(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0)在区间([-1，1])上恰成立或不等式(x^2)(-)((a^2)(+)(a)x)(+)(a^3)(leqslant 0)的解集是([-1，1])(quad)，求参数(a)的取值。

解析：(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3 ≤0)在区间 ([-1，1])上恰成立，则(f(-1)=0，f(1)=0)，解得(a= -1).

【2018福建四地六校联考】已知函数(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2)的值域为((-infty，0]cup[4，+infty))，求(a)的值。

分析：本题目属于恰成立命题，

当(x>0)时，(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2ge 2sqrt{a}+2=4)，解得(a=1)，当且仅当(x=1)时取到等号；

当(x<0)时，(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2leq -2sqrt{a}+2=0)，解得(a=1)，当且仅当(x=-1)时取到等号；

综上可知，(a=1)。

[恰成立命题]函数(f(x)=x^3-ax-1)，若函数(f(x))的单调递减区间是((-1，1))，求(a)的值。

分析：由第一问可知函数在((-cfrac{sqrt{3a}}{3}，cfrac{sqrt{3a}}{3}))上单调递减，

现已知单调递减区间是((-1，1))，故这两个区间相等，

即(cfrac{sqrt{3a}}{3}=1)，解得(a=3)；