线面角

前言

线面角定义

如图所示，平面(alpha)的一条斜线(AB)和它在平面上的射影(DE)所成的锐角( heta)，叫做这条直线(AB)和这个平面(alpha)所成的角。

特殊情况：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是(0^{circ}) 的角。

线面角范围：直线和平面所成角的范围是([0°，90°])；

直接法

①直接法，由于线面角是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的最小角，故通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。举例如下：

四面体(ABCS)中，(SA)，(SB)，(SC) 两两垂直，(∠SBA=45°)，(∠SBC=60°)，(M)为(AB)的中点，求解：

(1). 直线(BC)与平面(SAB)所成的角。

分析：(SCperp SB)，(SCperp SA)，(SCperp) 平面 (SAB)，

故(SB) 是斜线(BC) 在平面(SAB) 上的射影，

(angle SBC) 是直线 (BC) 与平面 (SAB) 所成的角为(60°).

(2). 直线(SC)与平面(ABC)所成的角。

分析：连结(SM)， (CM)，则(SMperp AB)，又(SCperp AB)，

(ABperp) 平面(SCM)，面(ABCperp) 面(SCM)，过(S)作(SHperp CM)于(H)，

则(SHperp) 平面(ABC)，直线(CH)即为 (SC) 在面(ABC)内的射影。

(angle SCH) 为直线(SC)与平面(ABC)所成的角。令(SB=2)，则(SA=2)，(SC=2sqrt{3})，

(AB=2AM=2sqrt{2})，则(AM=sqrt{2})，(SM=sqrt{2})，则(CM=sqrt{14})，

在(Rt riangle SCM)中，利用等面积法，可得(SH=cfrac{2sqrt{3}}{sqrt{7}})，由(sinangle SCH=cfrac{SH}{SC})，

可得，直线(SC) 与平面 (ABC) 所成的角的正弦值为(cfrac{sqrt{7}}{7}).

解后反思：①等面积法；②垂线段的相对性；③注意线面角的视角；

三角公式法

②利用公式(sin heta=cfrac{h}{l})求解，其中( heta)是斜线与平面所成的角，(h)是垂线段的长，(l)是斜线段的长，其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点，在具体题目中常使用构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长。

长方体 (ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})， (AB=3)， (BC=2)， (A_{1}A=4)， 求 (AB) 与面 (AB_{1}C_{1}D)所成的角的正弦值.

解析：本方法的优越性在于我们不一定要精确的做出来这个线面角，比如本题目我们不需要确定点(B)在平面(AB_{1}C_{1}D)上的垂足具体在哪里；

设点(B) 到平面 (AB_{1}C_{1}D)的距离为(h)，

由等体积法，可知(V_{B-AB_{1}C_{1}}=V_{A-BB_{1}C_{1}})，即(cfrac{1}{3}S_{Delta AB_{1}C_{1}}cdot h=cfrac{1}{3}S_{Delta BB_{1}C_{1}}cdot AB)，

即(cfrac{1}{3} imes cfrac{1}{2} imes 5 imes 2 imes h=cfrac{1}{3} imes cfrac{1}{2} imes 4 imes 2 imes 3)，解得 (h=cfrac{12}{5})，

设 (AB) 与面 (AB_{1}C_{1}D) 所成的角为( heta)，则(sin heta=cfrac{h}{AB}=cfrac{4}{5}).

• 最小角定理

内容：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

【证明】如图，(AO)是平面(alpha)的斜线，(AB)是平面(alpha)的垂线，

(OB)是斜线(OA)在平面(alpha)内的射影，(angle AOB)为锐角，

(OD)是平面(alpha) 内和(OB)不重合的任一直线，在(OD)上截取(OC=OB)，

连结(AC)，则(AB<AC)，

在( riangle AOB)与( riangle AOC)中，因为(OA=OA)，(OB=OC)，(AB<AC)，

借助余弦定理可知，(angle AOB<angle AOC)，故(angle AOB) 是最小角。

说明：最小角定理是定义“斜线和平面所成的角”这一概念的理论基础。有了上面的性质，就保证了线面角的唯一性，从而保证了线面角的定义的合理性。

③ 最小角定理应用

如图，(OA)是平面(ABD)的斜线， (OBperp) 平面 (ABD)于点(B) ，(AD) 是 平面(ABC) 内不与(AB) 重合的直线， 令(angle OAB=alpha)，(angle BAD=eta)，(angle OAD=gamma)，求证: (cosgamma=cosalphacdot coseta)；

证明：过点(B)做(BCperp AD)，垂足为点(C)，则由三垂线定理可知，(ACperp OC)，

取(|OA|=1)，则在(Rt riangle OAB)中，(AB=OAcdot cosalpha=cosalpha)，

在(Rt riangle ABC)中，(AC=ABcdot coseta=cosalphacdot coseta)，

在(Rt riangle OAC)中，(AC=OAcdot cosgamma=cosgamma)，

故(cosgamma=cosalphacdot coseta)；

最小角定理法

已知直线(OA)，(OB)，(OC)两两所成的角为(60^{circ}) 求直线(OA) 与 面(OBC) 所成的角的余弦值。

解: 由于(angle AOB=angle AOC)，故(OA) 在面(OBC) 内的射影在 (angle BOC)的平分线(OD)上，

则(angle AOD) 即为(OA)与面(OBC)所成的线面角，可知(angle DOC=30^{circ})，

由上述定理可知，(cosangle AOC=cosangle AODcdot cosangle DOC)，

即(cos60^{circ}=cosangle AODcdotcos30^{circ})，故(cosangle AOD=cfrac{sqrt{3}}{3}).

即(OA)与面(OBC)所成的角的余弦值如果要求解线面角的正弦值，先用此法求得余弦值，再用平方关系就可以求得余弦值；(quad)为(cfrac{sqrt{3}}{3}).

空间向量法

④空间向量法，利用空间向量的夹角求得线面角；

如图， 直线(AO)是平面(eta)的斜线，直线(OB)是其射影，则(angle AOB= heta)是线面角，(angle OAB=alpha)，则不论直线的方向向量是(overrightarrow{OA})，还是(overrightarrow{AO})，也不论平面的法向量是(overrightarrow{AB})，还是(overrightarrow{BA})，必有

(cosalpha=|cos<overrightarrow{OA}，overrightarrow{AB}>|=|cos<overrightarrow{OA}，overrightarrow{BA}>|=|cos<overrightarrow{AO}，overrightarrow{AB}>|=|cos<overrightarrow{AO}，overrightarrow{BA}>|)，

又由于(sin heta=cosalpha)，故此时不需要纠结所取向量的方向，

则求解依据的公式简化为(sinalpha=|cos<overrightarrow{OA}，overrightarrow{AB}>|)如果题目要求线面角的余弦值，也是先求正弦值，再求余弦值；向量的方向不纠结，但别忘了绝对值符号；线面角范围([0,frac{pi}{2}])，向量的夹角范围为([0,pi])；

如图，四边形(ABCD)为正方形，(MA//PB)， (MAperp BC)， (ABperp PB)，(MA=1)， (AB=PB=2)；

(I). 求证: (PBperp) 平面 (ABCD)；

因为 (MAperp BC)， (MA//PB)， 所以 (PBperp BC)，

又因为 (PBperp AB)， (ABcap BC=B)，(ABsubsetneqq)平面(ABCD)，(BCsubsetneqq)平面(ABCD)，

所以 (PBperp) 平面 (ABCD).

(II).求直线 (PC) 与平面 (PDM) 所成角的正弦值.

解：因为 (PBperp) 平面 (ABCD), (ABsubsetneqq) 平面 (ABCD), (ADsubsetneqq) 平面 (ABCD),

所以 (PBperp AB), (PBperp AD).

因为四边形 (ABCD) 为正方形, 所以 (ABperp BC).

如图建立空间直角坐标系 (B-xyz),

则 (P(0,0,2)), (M(2,0,1)), (C(0,2,0)), (D(2,2,0))

(overrightarrow{PC}=(0,2,-2)), (overrightarrow{PD}=(2,2,-2)), (overrightarrow{P M}=(2,0,-1))

设平面 (PDM) 的法向量为(vec{mu}=(x, y,z)), (left{egin{array}{l}vec{mu} cdot overrightarrow{PD}=0 \ vec{mu} cdot overrightarrow{PM}=0end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}2x+2y-2z=0 \ 2x-z=0end{array} ight.)，

令 (z=2)， 则 (x=1), (y=-1) ，于是 (u=(1,1,2))，平面 (PDM) 的法向量为 (vec{mu}=(1,1,2))，

设直线 (PC)与平面 (PDM) 所成的角为 ( heta)，所以 (sin heta=cfrac{overrightarrow{PC}cdot vec{mu}}{|overrightarrow{PC}|cdot|vec{mu}|}=cfrac{sqrt{3}}{6}).

所以直线 (PC) 与平面 (PDM) 所成角的正弦值为 (cfrac{sqrt{3}}{6}).

典例剖析

【2018年全国卷Ⅰ第18题】如图，四边形(ABCD)为正方形，(E)，(F)分别为(AD)，(BC)的中点，以(DF)为折痕把( riangle DFC)折起，使点(C)到达点(P)的位置，且(PFperp BF)，

(1).证明：平面(PEFperp)平面(ABFD)；

证明：由已知可得，(BFperp PF)，(BFperp EF)，

又(PFcap EF=F)，(PFsubseteq)平面(PEF)，(EFsubseteq)平面(PEF)，

所以(BFperp)平面(PEF)，又(BFsubseteq)平面(ABFD)，

所以平面(PEFperp)平面(ABFD)；

(2).求(DP)与平面(ABFD)所成角的正弦值。

解：作(PHperp EF)，垂足为(H)，由(1)得，(PHperp)平面(ABFD)，以(H)为坐标原点，(overrightarrow{HF})的方向为(y)轴正方向，(|overrightarrow{BF}|)为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系(H-xyz)，

由(1)得到，(DEperp PE)，又(DP=2)，(DE=1)，所以(PE=sqrt{3})，

又(PF=1)，(EF=2)，所以(PEperp PF)，可得(PH=cfrac{sqrt{3}}{2})，(EH=cfrac{3}{2})，

则(H(0，0，0))，(P(0，0，cfrac{sqrt{3}}{2}))，(D(-1，-cfrac{3}{2}，0))，

则(overrightarrow{DP}=(1，cfrac{3}{2}，cfrac{sqrt{3}}{2}))，(overrightarrow{HP}=(0，0，cfrac{sqrt{3}}{2}))为平面(ABFD)的法向量，

设(DP)与平面(ABFD)所成角为( heta)，则(sin heta=|cos<overrightarrow{HP}，overrightarrow{DP}>|=|cfrac{overrightarrow{HP}cdot overrightarrow{DP}}{|overrightarrow{HP}||overrightarrow{DP}|}|=cfrac{frac{3}{4}}{sqrt{3}}=cfrac{sqrt{3}}{4})，

所以(DP)与平面(ABFD)所成角的正弦值为(cfrac{sqrt{3}}{4})。

方法点评

对于具体的题目来说，究竟选择哪一种方法更好? 需要具体问题具体分析，根据题目所给的图形特征来确定：

若几何体容易作出线面角，则直接法是最佳选择；

若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，则空间向量法是最佳选择；

若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，则利用公式(sin heta=cfrac{h}{l})也是比较不错的选择.