空间中线面位置关系的证明思路

前言

• 对空间中的线面位置关系的判定思路作以总结和梳理，有助于开通思维，提升我们的数学素养。

为便于表述，我们设定：(a)，(b)，(c)，(l)为空间中的四条不同直线，(alpha)，(eta)，(gamma)为空间中三个不同平面；

判定线线平行

图形语言	文字语言	符号语言
	一个平面内的直线若和 这两个平面的交线平行， 则这两条直线平行	(left.egin{array}{r}{a//alpha}\{asubsetneqq eta}\{alphacapeta=b}end{array} ight})(Rightarrow a//b)
	同时垂直于同一个平面 的两条直线平行	(left.egin{array}{r}{aperpalpha}\{bperpalpha}end{array} ight})(Rightarrow a//b)
	两个平面同时和第三个 平面相交，则其交线 平行	(left.egin{array}{r}{alpha//eta}\{alphacapgamma=a}\{etacapgamma=b}end{array} ight})(Rightarrow a//b)
	如果两条直线都和第三 条直线平行，则这两条直 线平行 [平行关系在空间的传递性]	(left.egin{array}{r}{a//c}\{b//c}end{array} ight})(Rightarrow a//b)

判定线面平行

图形语言	文字语言	符号语言
	如果平面外的一条直线和 平面内的一条直线平行， 则这条直线和这个平面平行	(left.egin{array}{r}{a//b}\{bsubsetneqq alpha}\{a otsubsetalpha}end{array} ight})(Rightarrow a//alpha)
	如果两个平面平行， 那么在一个平面内的 直线和另一个平面平行 [简称]： 面面平行，则线面平行	(left.egin{array}{r}{alpha//eta}\{asubsetneqqeta}end{array} ight})(Rightarrow a//alpha)
	如果两个平面外的一条 直线和互相垂直的平面 中的一个垂直，则它和 另一个平面平行	(left.egin{array}{r}{alphaperpeta}\{aperp eta}\{a otsubsetalpha}end{array} ight})(Rightarrow a//alpha)

判定面面平行

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一个平面内的两条 相交直线分别和另一个 平面平行，那么这两个 平面平行，简称：线面 平行，则面面平行	(left.egin{array}{r}{asubsetneqqalpha，bsubsetneqqalpha}\{acap b=O}\{a//eta，b//eta}end{array} ight})(Rightarrow alpha//eta)
	垂直于同一条直线的两 个平面平行	(left.egin{array}{r}{aperpalpha}\{aperpeta}end{array} ight})(Rightarrow alpha//eta)
	如果两个平面都和第三 个平面平行，那么这两 个平面平行	(left.egin{array}{r}{alpha//eta}\{gamma//eta}end{array} ight})(Rightarrow alpha//gamma)

判定线线垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么它和这个 平面的任意一条直线垂 直，简称：线面垂直， 则线线垂直	(left.egin{array}{r}{aperpalpha}\{bsubsetneqqalpha}end{array} ight})(Rightarrow aperp b)

判定线面垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线和 这个平面垂直，简称： 线线垂直，则线面垂直	(left.egin{array}{r}{asubsetneqqalpha，bsubsetneqqalpha}\{acap b=O}\{lperp a，lperp b}end{array} ight})(Rightarrow lperpalpha)
	两个平面垂直，如果一 个平面内的直线和其交 线垂直，那么这条直线 和另一个平面垂直	(left.egin{array}{r}{alphaperp eta}\{alphacapeta=l}\{asubsetneqqalpha，aperp l}end{array} ight})(Rightarrow aperpeta)
	如果一条直线和两个[可 引申为一组]平行平面中 的一个垂直，则它和另 一个平面也垂直	(left.egin{array}{r}{alpha//eta}\{aperpalpha}end{array} ight})(Rightarrow aperp eta)
	如果一个平面和两条[可 引申为一组]平行直线中 的一条垂直，则它和另 一条直线也垂直	(left.egin{array}{r}{a//b}\{aperpalpha}end{array} ight})(Rightarrow bperp alpha)

判定面面垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么经过这条 直线的平面和这个平面 垂直	(left.egin{array}{r}{aperpalpha}\{asubsetneqqeta}end{array} ight})(Rightarrow alphaperpeta)
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么与这条直 线平行的平面和这个平 面垂直	(left.egin{array}{r}{aperpalpha}\{a//eta}end{array} ight})(Rightarrow alphaperpeta)

【临考谨记】利用定理证明空间中线、面位置关系时，要注意结合几何体的结构特征，尤其是注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间中线、面位置关系的相互转化。

$fbox{线线平行与垂直}$$quad$$cfrac{mbox{判定}Rightarrow}{Leftarrowmbox{性质}}$$quad$$fbox{线面平行与垂直}$$quad$$cfrac{mbox{判定}Rightarrow}{Leftarrowmbox{性质}}$$quad$$fbox{面面平行与垂直}$