三角函数给值求角

前言

三角函数给值求角的问题，其实可以拆分为两个部分，其一为给值求值，其二为添加角的范围；故其实质，往往需要先转化为给值求值，然后还需要所求角的范围，最终通过解三角方程达到目的，其中题目中往往暗含对角的范围的压缩，这是个难点。

角范围压缩

引例，已知( hetain (0,cfrac{pi}{2}))，且(sin heta=cfrac{2}{5})，要是使用已知的范围( hetain (0,cfrac{pi}{2}))，不会出现多个值的情形，那么我们可以直接使用题目所给的范围，万一有题目需要我们压缩角的范围，该如何做呢？

比如由(sin heta=cfrac{2}{5}<cfrac{1}{2})，则可以将角的范围由( hetain (0,cfrac{pi}{2}))压缩到( hetain (0,cfrac{pi}{6}))，为什么要压缩？当角的范围越大，最后结果出现多个值的可能性就越大，所以角的范围越小越好，问题是我们形成的思维定势，往往只根据函数值的正负作范围压缩，很少利用函数值的大小来压缩角的范围。借助下面的例子，你可以体会压缩的原因和压缩的方法。

典例剖析

【2018(cdot)成都模拟】若(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，(sin(eta-alpha)=cfrac{sqrt{10}}{10})，且(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，(etain [pi，cfrac{3pi}{2}])，则(alpha+eta)的值是【】

$A.cfrac{7pi}{4}$ $B.cfrac{9pi}{4}$ $C.cfrac{5pi}{4}或cfrac{7pi}{4}$ $D.cfrac{5pi}{4}或cfrac{9pi}{4}$

分析：此题属于给值求角，难在角的范围的压缩。

由于(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，(2alphain [cfrac{pi}{2}，2pi])，但(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，故(2alphain [cfrac{pi}{2}，pi])此处结合函数值的正负，可以将角的范围压缩。为什么要压缩教的范围，原因是范围越小，求值时越容易避免出现多值的情况。(quad)，

则得到(alpha in [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}])，所以(cos2alpha=-cfrac{2sqrt{5}}{5})，

又(alpha in [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}])，(etain [pi，cfrac{3pi}{2}])，故(eta-alphain [cfrac{pi}{2}，cfrac{5pi}{4}])此处用到同向不等式的可加性，(pileqslantetaleqslantcfrac{3pi}{2})，(-cfrac{pi}{2}leqslant-alphaleqslant-cfrac{pi}{4})，相加得到(eta-alpha)(in)([cfrac{pi}{2}，cfrac{5pi}{4}])，(quad)，于是，(cos(eta-alpha)=-cfrac{3sqrt{10}}{10})，

所以(cos(alpha+eta)=cos[2alpha+(eta-alpha)])(=cos2alpha cos(eta-alpha)-sin2alpha sin(eta-alpha))

(=-cfrac{2sqrt{5}}{5} imes (-cfrac{3sqrt{10}}{10})-cfrac{sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{10}}{10})

(=cfrac{sqrt{2}}{2})

且(alpha+etain [cfrac{5pi}{4}，2pi])，故(alpha+eta=cfrac{7pi}{4})，故选(A).

定义运算：(left |egin{array}{cccc}a&b \c&dend{array} ight |=ad-bc)，若(cosalpha=cfrac{1}{7})，(left |egin{array}{cccc}sinalpha&sineta \cosalpha&cosetaend{array} ight |=cfrac{3sqrt{3}}{14})，(0<eta<alpha<cfrac{pi}{2})，则(eta)等于【】

$A.cfrac{pi}{12}$ $B.cfrac{pi}{6}$ $C.cfrac{pi}{4}$ $D.cfrac{pi}{3}$

分析：有题目可知，(sinalpha coseta-cosalpha sineta=sin(alpha-eta)=cfrac{3sqrt{3}}{14})，

又(0<eta<alpha<cfrac{pi}{2})，则(0<alpha-eta<cfrac{pi}{2})，故(cos(alpha-eta)=cfrac{13}{14})，

又(cosalpha=cfrac{1}{7})，则(sinalpha=cfrac{4sqrt{3}}{7})，

故(sineta=sin[alpha-(alpha-eta)]=sinalpha cos(alpha-eta)-cosalpha sin(alpha-eta)=cfrac{4sqrt{3}}{7} imes cfrac{13}{14}-cfrac{1}{7} imes cfrac{3sqrt{3}}{14}=cfrac{sqrt{3}}{2})

又由于(0<eta<cfrac{pi}{2})，故(eta=cfrac{pi}{3})。

已知(alpha，etain (0，pi))，且(tan(alpha-eta)=cfrac{1}{2})，(taneta=-cfrac{1}{7})，则(2alpha-eta)的值为________。

分析：由已知(alphain (0，pi))，(tanalpha=tan[(alpha-eta)+eta]=cfrac{1}{3}>0)，则(alphain (0，cfrac{pi}{2}))，

又由于(tan2alpha=cdots=cfrac{3}{4})，则(0<2alpha<cfrac{pi}{2})，

又由于(taneta=-cfrac{1}{7})，(etain (0，pi))，则(cfrac{pi}{2}<eta<pi)，

即(tan(2alpha-eta)=cdots=1)，

又由于(0<2alpha<cfrac{pi}{2})，(cfrac{pi}{2}<eta<pi)，

则(-pi<2alpha-eta<0)，故(2alpha-eta=-cfrac{3pi}{4})；

已知(tanalpha)，(taneta)是方程(x^2+3sqrt{3}x+4=0)的两个根，且(alpha)，(etain (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，则(alpha+eta)等于【】

$A.-cfrac{2pi}{3}$ $B.-cfrac{2pi}{3}或cfrac{pi}{3}$ $C.-cfrac{pi}{3}或cfrac{2pi}{3}$ $D.cfrac{pi}{3}$

分析：由韦达定理可知，(tanalpha+taneta=-3sqrt{3})，(tanalphacdot taneta=4)，

结合符号法则可知，(tanalpha<0)，(taneta<0)，则由此可以压缩角的范围，(alpha)，(etain (-cfrac{pi}{2}，0))，

由此知道，(alpha+etain (-pi，0))，接下来求其某一个三角函数的值，结合本题题设可知，需要求(tan(alpha+eta));

(tan(alpha+eta)=cfrac{tanalpha+taneta}{1-tanalphacdot taneta}=cfrac{-3sqrt{3}}{1-4}=sqrt{3})，

结合上述范围，(alpha+etain (-pi，0))，则得到(alpha+eta=-cfrac{2pi}{3})，故选(A).

【使用三角函数的定义，给值求角类型】已知(eta)是钝角且(coseta=-cfrac{sqrt{5}}{5})，若点(A(1，3))是锐角(alpha)终边上的一点，则(alpha-eta)=_____.

分析：(eta)是钝角且(coseta=-cfrac{sqrt{5}}{5}=-cfrac{1}{sqrt{5}}=cfrac{x}{r})，结合三角函数的定义可知(eta)的终边上某点的坐标为((-1，2))，(r=sqrt{5})，则(sineta=cfrac{2}{sqrt{5}})；

锐角(alpha)终边上的一点(A(1，3))，则(r=sqrt{10})，(sinalpha=cfrac{3}{sqrt{10}})，(cosalpha=cfrac{1}{sqrt{10}})，

由于(sin(alpha-eta)=sinalpha coseta-cosalpha sineta=cdots=-cfrac{sqrt{2}}{2})，

又(coseta=-cfrac{1}{sqrt{5}}>-cfrac{sqrt{2}}{2}=coscfrac{3pi}{4})，可以将范围压缩为(etain (cfrac{pi}{2}，cfrac{3pi}{4}))，

又(sinalpha=cfrac{3}{sqrt{10}}>cfrac{sqrt{2}}{2}=sincfrac{pi}{4})，可以将范围压缩为(alphain (cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}))，

故由不等式性质得到(alpha-etain (-cfrac{pi}{2}，0))，故(alpha-eta=-cfrac{pi}{4})。

难点破解

• 求角的某种三角函数函数时的选择策略：

①从题目所给的值来看，简单记为给弦选弦，给切选切；

所给的值是正弦和余弦，则往往函数选择(sin)和(cos)；

所给的值是正切，则往往函数选择(tan)；

②从题目所求的角来看，[利用单调性这样就会一个萝卜一个坑，不担心多值的情形。]

若角的范围是( hetain (0，pi))，则选(cos heta)；

若角的范围是( hetain (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，则选(sin heta)；

若角的范围是( hetain (0，cfrac{pi}{2}))，则选(cos heta)或者(sin heta)；

【2020 (cdot) 湖北八校联考】已知 (3pileqslant hetaleqslant 4pi)，且 (sqrt{cfrac{1+cos heta}{2}}+sqrt{cfrac{1-cos heta}{2}}=cfrac{sqrt{6}}{2})， 则 ( heta)=【(quad)】

$A.cfrac{10pi}{3}或cfrac{11pi}{3}$ $B.cfrac{37pi}{12}或cfrac{47pi}{12}$ $C.cfrac{13pi}{4}或cfrac{15pi}{4}$ $D.cfrac{19pi}{6}或cfrac{23pi}{6}$

解析：由于(3pileqslant hetaleqslant 4pi)，则(cfrac{3pi}{2}leqslant cfrac{ heta}{2}leqslant 2pi)，所以(coscfrac{ heta}{2}>0)，(sin cfrac{ heta}{2}<0)，

则(sqrt{cfrac{1+cos heta}{2}}+sqrt{cfrac{1-cos heta}{2}}=sqrt{cos^{2}cfrac{ heta}{2}}+sqrt{sin^{2}cfrac{ heta}{2}})

(=cos cfrac{ heta}{2}-sincfrac{ heta}{2}=sqrt{2}cos(cfrac{ heta}{2}+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{6}}{2})

则 (cos(cfrac{ heta}{2}+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{3}}{2})，然后解三角方程即可；

即 (cfrac{ heta}{2}+cfrac{pi}{4}=cfrac{pi}{6}+2kpi) 或 (cfrac{ heta}{2}+cfrac{pi}{4}=-cfrac{pi}{6}+2kpi)， (kin Z)

即 ( heta=-cfrac{pi}{6}+4kpi) 或 ( heta=-cfrac{5pi}{6}+4kpi)， (kin Z)，

由于 (3pileqslant hetaleqslant 4pi)， 故( heta=cfrac{19pi}{6}) 或 (cfrac{23 pi}{6})，故选(D).