三角恒等式的证明

前言

三角式证明

求证：(cfrac{sin(2alpha+eta)}{sinalpha}-2cos(alpha+eta)=cfrac{sineta}{sinalpha})

求证：$(tanalpha+cfrac{1}{tanalpha})cdot cfrac{1}{2}sin2alpha-2cos^2alpha=-cos2alpha $

分析：切化弦，

左式(=(cfrac{sinalpha}{cosalpha}+cfrac{cosalpha}{sinalpha})cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)

(=cfrac{1}{sinalpha cosalpha}cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)(=1-2cos^2alpha)(=-cos2alpha)

常用结论

已知三倍角公式如下：[高考不予考察，仅仅用于拓宽思维使用]

(sin3 heta=3sin heta-4sin^3 heta)；

(cos3 heta=4cos^3 heta-3cos^3 heta)；

( an3 heta=cfrac{3 an heta- an^3 heta}{1-3 an^2 heta})；

[问题]：如何推导三倍角公式？

(sin3 heta=sin(2 heta+ heta)=sin2 hetacdotcos heta+cos2 hetacdotsin heta)

(=(2sin hetacos heta)cos heta+(1-2sin^2 heta)sin heta)

(=2sin heta(1-sin^2 heta)+sin heta-2sin^3 heta)

(=3sin heta-4sin^3 heta)

万能公式

三角万能公式，高考中不做考察要求；

(sin heta=cfrac{2 anfrac{ heta}{2}}{1+ an^2frac{ heta}{2}})；(cos heta=cfrac{1- an^2frac{ heta}{2}}{1+ an^2frac{ heta}{2}})；( an heta=cfrac{2 anfrac{ heta}{2}}{1- an^2frac{ heta}{2}})

其中( heta eq 2kpi+pi)，且( heta eq kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)；

证明：按照二倍角公式展开，利用二次齐次式，分子分母同除，即可证明；

[sin heta=2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=cfrac{2sinfrac{ heta}{2}cosfrac{ heta}{2}}{sin^2frac{ heta}{2}+cos^2frac{ heta}{2}}=cfrac{2 anfrac{ heta}{2}}{1+ an^2frac{ heta}{2}} ]

[cos heta=cos^2cfrac{ heta}{2}-sin^2cfrac{ heta}{2}=cfrac{cos^2frac{ heta}{2}-sin^2frac{ heta}{2}}{sin^2frac{ heta}{2}+cos^2frac{ heta}{2}}=cfrac{1- an^2frac{ heta}{2}}{1+ an^2frac{ heta}{2}} ]

( ancfrac{alpha}{2}=cfrac{sinalpha}{1+cosalpha}=cfrac{1-cosalpha}{sinalpha})

证明：切化弦，然后分子分母同乘，即可证明；

[ ancfrac{alpha}{2}=cfrac{sinfrac{alpha}{2}}{cosfrac{alpha}{2}}=cfrac{sinfrac{alpha}{2}cdot 2cosfrac{alpha}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cdot 2cosfrac{alpha}{2}}=cfrac{sinalpha}{1+cosalpha} ]

[ ancfrac{alpha}{2}=cfrac{sinfrac{alpha}{2}}{cosfrac{alpha}{2}}=cfrac{sinfrac{alpha}{2}cdot 2sinfrac{alpha}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cdot 2sinfrac{alpha}{2}}=cfrac{1-cosalpha}{sinalpha} ]

故有，( ancfrac{alpha}{2}=cfrac{sinalpha}{1+cosalpha}=cfrac{1-cosalpha}{sinalpha})

或者，由(sinalphacdotsinalpha=1^2-cos^2alpha=(1+cosalpha)(1-cosalpha))，

即(cfrac{sinalpha}{1+cosalpha}=cfrac{1-cosalpha}{sinalpha})，连结证明也可。

三角形相关

在( riangle ABC)中的恒等式，有些在解题中需要用到。

(sin A+sin B+sin C=4coscfrac{A}{2}coscfrac{B}{2}coscfrac{C}{2})

(cos A+cos B+cos C=1+4sincfrac{A}{2}sincfrac{B}{2}sincfrac{C}{2})

( an A+ an B+ an C= an A an B an Cquad)((A，B，C eq cfrac{pi}{2}))

证明： 由于 (tan(alpha+eta)=cfrac{tanalpha+taneta}{1-tanalphacdot taneta})，

我们对其做变形，得到

(tan(alpha+eta)cdot (1-tanalphacdot taneta)=tanalpha+taneta)

如果将其放置到斜三角形指锐角三角形和钝角三角形。和直角三角形并列。(quad)中，

则有(tan(A+B)cdot (1-tanAcdot tanB)=tanA+tanB)，

在三角形中，由(A+B+C=pi)可知(A+B=pi-C)，

则有(tan(A+B)=-tanC)，代入上式即得到，

[-tanCcdot (1-tanAcdot tanB)=tanA+tanB ]

整理后得到，$$tanA+tanB+tanC=tanAcdot tanB cdot tanC$$