数学变换的多样性

前言

在数学学习中，少不了要对数学表达式进行相应的变形或变换，不同的变换往往对应着不同的结果。

教学案例1

以向量三角形为案例，给表达式(overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})施加不同的变换：

如图，在( riangle ABC)中，由(overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})可得，

变换1：两边同时平方

给上式两边同时平方，得到(overrightarrow{CB}^2=(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})^2)，打开整理，

(overrightarrow{CB}^2={overrightarrow{AB}}^2+overrightarrow{AC}^2-2overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{AC})

(=b^2+c^2-2bccosA)；

即(a^2=b^2+c^2-2bccosA)；即得到余弦定理；

变换2：两边同乘同一个向量，

给(overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})，两边同乘以向量(overrightarrow{CB})，

得到(overrightarrow{CB}cdotoverrightarrow{CB}=(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})cdotoverrightarrow{CB})，

即(overrightarrow{CB}^2=overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{CB}-overrightarrow{AC}cdotoverrightarrow{CB})

即(overrightarrow{CB}^2=|overrightarrow{AB}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos<overrightarrow{AB},overrightarrow{CB}>-|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos<overrightarrow{AC},overrightarrow{CB}>)

即(overrightarrow{CB}^2=|overrightarrow{AB}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos B>-|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos(pi-C))

即(a^2=ccdot acdotcos B+bcdot acdotcos C)，两边约去(a)，

得到(a=ccdotcos B+bcdotcos C)，即得到射影定理，也称第一余弦定理。

典例剖析

已知(2vec{a}+vec{b}=(0,-5,10))，(vec{c}=(1,-2,-2))，(vec{a}cdotvec{c}=4)，(|vec{b}|=12)，则以(vec{b})、(vec{c})为方向向量的两直线的夹角为________.

分析：给(2vec{a}+vec{b}=(0,-5,10))，两边同乘以(vec{c}=(1,-2,-2))注意，此处是给等式同乘了一个等式，其实是给左边乘了向量符号，给右边乘了其坐标，这和我们平时理解的同乘以同一个数是有思维上的区别的。(quad)，

得到((2vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=(0,-5,10)cdot(1,-2,-2))，

即(2vec{a}cdotvec{c}+vec{b}cdotvec{c}=0 imes1+(-5) imes(-2)+10 imes(-2)=-10)

故(vec{b}cdotvec{c}=-18)，设两条直线的夹角为( heta)，则( hetain (0,cfrac{pi}{2}])

则(cos heta=cfrac{|vec{b}cdotvec{c}|}{|vec{b}|cdot|vec{c}|}=cfrac{18}{12 imes3})(=) (cfrac{1}{2})注意，设两个向量的夹角为(eta)，(eta)(in)([0,pi])，则(cos heta)(=)(|coseta|)(quad)，

故( heta=cfrac{pi}{3})；