函数与数列的交汇融合

前言

典例剖析

依托函数，利用导数，求数列的最值；

等差数列 ({a_{n}}) 的前 (n) 项和为 (S_{n})， 已知 (S_{10}=0)， (S_{15}=25)， 则 (ncdot S_{n}) 的最小值为__________.

法一: 由于数列 ({a_{n}}) 为等差数列， 故可设 (S_{n}=an^{2}+bn)， 则 (left{egin{array}{l}{100a+10b=0}\{225a+15b=25}end{array} ight.)，

解得 (a=cfrac{1}{3}) ，(b=-cfrac{10}{3})， 则(S_{n}=cfrac{1}{3}n^{2}-cfrac{10}{3}n)，

从而 (ncdot S_{n}=cfrac{1}{3}n^{3}-cfrac{10}{3}n^{2})，其依托对应的函数为 (y=cfrac{1}{3}x^{3}-cfrac{10}{3}x^{2})，

对函数 (y=cfrac{1}{3}x^{3}-cfrac{10}{3}x^{2})，由于(nin N^*)，故不妨限定(x>0)，

先求函数的单调性，(y'=x^2-cfrac{20}{3}x=x(x-cfrac{20}{3}))，

当(x<cfrac{20}{3})时，(y'<0)，函数单调递减，当(x>cfrac{20}{3})时，(y'>0)，函数单调递增；

则当 (x=cfrac{20}{3}) 时， (y) 取极小值，

则(ncdot S_{n}=cfrac{1}{3}n^{3}-cfrac{10}{3}n^{2})在 ({1,2,3,4,5,6}) 上单调递减，在 ({7,8,9,cdots,}) 上单调递增，

又当 (n=6) 时， (6S_{6}=-48)，当(n=7) 时， (7S_{7}=-49)，

故当(n=7) 时，(ncdot S_{n})的最小值为(-49).

依托函数，使用裂项相消法求数列的前(n)项的和

设函数 (f(x)=x^{m}+ax) 的导数 (f'(x)=2x+2)，求数列({cfrac{1}{f(n)}}) ((nin N^{*})) 的前 (n) 项和 (S_{n}cdot t_{1})

解 因为 (f'(x)=2x+2)， 所以 (f(x)=x^{2}+2x+C)，

因为(f(x)=x^{m}+ax)， 所以 (m=2)， (a=2)， (C=0)，

即 (f(x)=x^{2}+2x)，所以 (f(n)=n^{2}+2n=n(n+2))，

从而设 (b_{n}=cfrac{1}{f(n)}=cfrac{1}{2}(cfrac{1}{n}-cfrac{1}{n+2}))，

所以(S_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+cdots+b_{n-1}+b_{n})

(=cfrac{1}{2}left[(1-cfrac{1}{3})+(cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4})+cdots+(cfrac{1}{n-1}-cfrac{1}{n+1})+(cfrac{1}{n}-cfrac{1}{n+2}) ight])

(=cfrac{1}{2}left(cfrac{3}{2}-cfrac{1}{n+1}-cfrac{1}{n+2} ight))

依托函数，使用错位相减法，求数列的前(n)项的和

设 (f_{n}(x)=x+x^{2}+x^{3}+cdots+x^{n}-1) ((xgeq 0, nin N, ngeq 2))，求 (f'_{n}(2)).

解 因为 (f'_{n}(x)=1+2x+3x^{2}+cdots+(n-1)x^{n-2}+nx^{a-1}),

所以 (f'_{n}(2)=1+2cdot2+3cdot2^{2}+cdots+(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}) (quad ①)

则 (2f'_{n}(2)=2+2cdot2^{2}+3cdot 2^{3}+cdots+(n-1)2^{n-1}+n2^{n}) (quad ②)

①-②：整理化简得到，

(f'_{n}(2)=-(1+2+2^{2}+cdots+2^{n-1})+n2^{n}=(n-1)2^{n}+1).

依托分段函数，求数列的周期

已知函数 (f(x)=left{egin{array}{l}2(1-x), & 0 leq x leq 1\x-1, & 1<x leq 2,end{array} ight.) 如果对任意的 (nin N^{*})，定义(f_{n}(x)=underbrace{f{f[f cdots f}_{n个}(x)]})，那么 (f_{2016}(2)) 的值为多少?

分析：由题意，很自然想到本题是考察函数的周期，所以计算数列的前有限项，

观察周期 (f_{1}(2)=1)， (f_{2}(2)=0)， (f_{3}(2)=2)， (f_{4}(2)=1)，

所以周期 (T=3)， 所以 (f_{2016}(2)=f_{3}(2)=2).

依托三角函数，求数列的前(n)项和

已知数列 ({a_{n}}) 满足 (a_{1}=1), (a_{2}=2), (a_{n+2}=(1+cos^{2}cfrac{npi}{2})a_{n})(+sin^{2}cfrac{npi}{2})， 求数列 ({a_{n}}) 的前 (18) 项的和.

解： 当 (n) 为偶数时, (cos^{2}cfrac{npi}{2}=1)， (sin^{2}cfrac{npi}{2}=0)， 从而 (a_{n+2}=2a_{n}).

所以偶数项是以 (2) 为公比， (2) 为首项的等比数列,即 (S_{偶}(nleq 18)=1022)；

当 (n) 为奇数时, (cos^{2}cfrac{npi}{2}=0), (sin^{2}cfrac{npi}{2}=1)， 从而 (a_{n+2}=a_{n}+1)，

所以奇数项是以 (1) 为公差，首项为 (1) 的等差数列.

即 (S_{奇}(n leq 18)=45) ；

故(S_{18}=S_{偶}(nleq 18)+S_{奇}(n leq 18)=1065).