鳖臑还原长方体

前言

鳖臑(bi(ar{e})n(grave{a})o)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼。在涉及鳖臑的命题中常常需要将其还原为长方体。

如图所示，三棱锥 (A-BCD) 是一个鳖臑，其中( riangle ABC)、( riangle ABD)、( riangle BCD)、( riangle ACD)都是(Rt riangle)，(angle ABC)、(angle ABD)、(angle DCB)、(angle DCA)都是直角，其中的三条关键线段(AB)、(BC)、(CD)[图中的红色部分线段]两两垂直[或相交垂直就，或异面垂直]；

还原过程

作图方法：在平面(ABC)内，过点(A)做直线(AE//BC)，过点(C)做直线(CE//BA)，与(AE)相交于点(E)，

在平面(BCD)内，过点(D)做直线(DH//CB)，过点(B)做直线(BH//CD)，与(DH)相交于点(H)，

过点 (D) 做 (DF//CE)，过点 (E) 做 (EF//CD) 交直线 (DF) 于点 (F)，

过点 (H) 做 (HG//AB)，过点 (A) 做 (AG//BH) 交直线 (HG) 于点 (G)，联结(GF)，

则得到的六面体(BHDC-AGFE)为长方体；其中线段 (AD) 为其体对角线；

此时如果做长方体的外接球，则线段 (AD) 为外接球的直径；

典例剖析

【2021届高三文科数学月考四第8题】鳖臑(bi(ar{e})n(grave{a})o)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼。已知三棱锥 (A-BCD) 是一个鳖臑，其中(ABperp BC)，(ABperp BD)，(BCperp CD)，且(AB=6)，(BC=3)，(DC=2)，则三棱锥(A-BCD)的外接球的体积是【(quad)】

$A.cfrac{49pi}{3}$ $B.cfrac{343pi}{2}$ $C.49pi$ $D.cfrac{343pi}{6}$

解析：由(ABperp BC)，(ABperp BD)，且(BCcap BD=B)，可得 (ABperp) 平面 (BCD)，

则 (ABperp CD)，又(BCperp CD)， 且 (ABcap BC=B)， 故 (CDperp AC)，

则 (AD) 为三棱锥(A-BCD)的外接球直径，[具体还原过程参照上述过程]；

由于 (AB=6)， (BC=3)， (DC=2)， 故(AD=sqrt{6^{2}+3^{2}+2^{2}}=7)，

则三棱锥 (A-BCD) 的外接球的半径为(R=cfrac{7}{2}).

故三棱锥 (A-BCD) 的外接球的体积(V=cfrac{4}{3}pi R^3=cfrac{4}{3}pi (cfrac{7}{2})^3=cfrac{343pi}{6})，故选(D).