坐标法

前言

坐标系是解析几何的基础，是联系几何与代数的桥梁，坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一。在不同的坐标系中，同一几何图形可以有不同的表示形式，这使解决问题的方法有了更多的选择。

坐标法：自从坐标系产生以来，解决几何问题便多了一种方便、快捷的方法——坐标法。很多试题，当你无法找到突破口时，使用坐标法会给你一种新的启迪和数学美感。也叫解析法，主要用于解决几何中的曲线方程，有了坐标法以后，我们就可以使用代数的方法来研究曲线的性质，这也是解析几何的基本思想。

• 运用坐标法解决实际问题的步骤：建系 (Rightarrow) 设点 (Rightarrow) 列关系式(或方程) (Rightarrow) 求解数学结果 (Rightarrow) 回答实际问题.

典例剖析

在边长为 (2) 的正 ( riangle ABC) 中，若 (P) 为 ( riangle ABC) 内一点，且 (|PA|^{2}=|PB|^{2}+|PC|^{2})，求点 (P) 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线。

分析：本题目是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化间技能、技巧等。解答需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线。

解析：以 (BC) 所在直线为 (x) 轴，(BC) 的中点为原点，(BC) 的中垂线为 (y) 轴建立平面直角坐标系，

设 (P(x, y)) 是轨迹上任意一点, 又 (|BC|=2)， 故有 (B(-1,0))， (C(1,0))， 则(A(0,sqrt{3}))，

由于 (|PA|^{2}=|PB|^{2}+|PC|^{2})，

即 (x^{2}+(y-sqrt{3})^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}+(x-1)^{2}+y^{2})，

化简得到， (x^{2}+(y+sqrt{3})^{2}=4)，

又由于点 (P) 在 ( riangle ABC) 内， 所以 (y>0)，

所以， (P) 点的轨迹方程为 (x^{2}+(y+sqrt{3})^{2}=4(y>0)).

其轨迹如图所示，为以 ((0,-sqrt{3})) 为圆心，半径为 (2) 的圆在 (x) 轴上方的圆弧.

使用步骤

• 用坐标法求轨迹方程的一般步骤[特别注意：在直角坐标系下和极坐标系下都是一样的]

①建立坐标系，用((x，y))表示曲线上的任意一点(M)的坐标；

②写出适合条件(p)的点(M)的集合(P={M|p(M)})；

③用坐标表示条件(p(M))，列出方程(f(x，y)=0)；

④化简方程(f(x，y)=0)，注意变形的等价性；

⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略；