借助参数方程求点的坐标

前言

• 借助一维数轴来理解 (t) 的几何意义

我们知道，一维数轴上的点和实数是一一对应的，如图所示，水平放置的数轴，其上的点(A)、(O)、(B)、(C)、(D)分别代表实数(-2)，(0)，(1)，(2)，(3)；动点对应的实数标记为(t)，那么(t=2)就对应点(C)，(t=-2)就对应点(A)，(t=0)就对应点(O)，(t=1)就对应点(B)，当变量(t)取遍所有的实数，那么动点就能代表数轴上所有的实数。这时候实数(t)就是数轴上的动点的一维坐标。

作用：此时若求线段的长度，则线段(AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3);线段(BD=)(|t_B-t_D|)(=|1-3|)(=2);

究根朔源

如图所示，已知给定直线(l)的倾斜角为( heta， hetain [0，pi))，且经过定点(P_0(x_0,y_0))，在这条直线上有一动点(P(x，y))，那么怎么表示这条直线的参数方程呢？

我们这样做，在直线(l)上的点(P_0)的斜右上方向取一点(M)，使得(M(x_0+cos heta,y_0+sin heta))，则直线(l)的其中一条单位方向向量(overrightarrow{P_0M}=vec{e}=(cos heta,sin heta))，由平面向量共线定理可知，存在唯一确定的常数(t)，使得向量(small{overrightarrow{P_{0}P}}=tcdot vec e)，即((x-x_0，y-y_0)=t(cos heta，sin heta))，即(x-x_0=tcdot cos heta)；(y-y_0=tcdot sin heta)，

这样这条直线上的任意一个动点(P)的坐标可以表示为

[box[15px,yellow,border:2px dashed red]{egin{cases}x=x_0+cos hetacdot t\y=y_0+sin hetacdot tend{cases}(t为参数);;;} ]

由于动点的坐标可以刻画这条直线上的所有的点，因此我们称上式为倾斜角为( heta)，经过定点(P_0(x_0,y_0))的直线(l)的参数方程。

如何理解

如图所示，动点(P)对应的参数为(t)，这时(t)可以看成一维数轴[图中的红色直线]上的动点(P)的一维坐标；不过此时数轴上的坐标原点必须是(P_0(x_0，y_0))；那么如何知道该点的二维坐标((x，y))呢？代入参数方程求解即可。

为什么借助直线的参数方程的几何意义求线段长度简单呢？原因是将二维平面内的两点间的距离问题转化为了一维数轴上的两点距离了，自然就简单的多。

典例剖析

【北师大选修教材4-4 (P_{_{31}}) 例(1)】已知直线 (l) 过点 (P(1,2))， 且它的倾斜角 ( heta=135^{circ}).

(1) 写出直线 (l) 的参数方程；

解析： 由于直线 (l) 过点 (P(1,2))， 且它的倾斜角 ( heta=135^{circ})，

所以它的参数方程可以写为 (left{egin{array}{l}{x=1+tcdotcos135^{circ}}\{y=2+tcdotsin135^{circ}}end{array} ight.) ( (t)为参数 )，即

[left{egin{array}{l}{x=1-cfrac{sqrt{2}}{2}t}\{y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}t}end{array} ight.( t 为参数) ]

(2) 求直线 (l) 与直线 (y=x) 的交点坐标.

解析：把 (left{egin{array}{l}x=1-cfrac{sqrt{2}}{2}t\y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}tend{array} ight.,) 代入 (y=x)，

得 (1-cfrac{sqrt{2}}{2}t=2+cfrac{sqrt{2}}{2}t)， 即 (t=-cfrac{sqrt{2}}{2})，

把 (t=-cfrac{sqrt{2}}{2}) 代人 (left{egin{array}{l}x=1-cfrac{sqrt{2}}{2}t,\y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}tend{array} ight.)，

得到两直线的交点为 ((cfrac{3}{2}, cfrac{3}{2})).

【2020 (cdot) 全国Ⅲ卷】 在直角坐标系 (xOy) 中，曲线 (C) 的参数方程为(left{egin{array}{l}x=2-t-t^{2},\y=2-3t+t^{2}end{array} ight.)，((t) 为参数且 (t eq 1))， (C) 与坐标轴交于 (A)、 (B) 两点.

(1). 求 (|AB|)；

解析： 令 (x=0)， 则 (t^{2}+t-2=0)，

解得 (t=-2) 或 (t=1)(舍去)，

则 (y=2+6+4=12)，即 (A(0,12))，

令 (y=0)， 则 (t^{2}-3t+2=0)， 解得 (t=2) 或 (t=1)(舍去)，

则 (x=2-2-4=-4)， 即 (B(-4,0))，

故 (|AB|=sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4sqrt{10})；

解后反思：本题目可以理解为曲线 (C) 的参数方程为(left{egin{array}{l}x=2-t-t^{2},\y=2-3t+t^{2}end{array} ight.)，和直线 (x+0cdot y=0)求交点的坐标，自然需要将 (x=2-t+t^2) 代入直线 (x+0cdot y=0)中，求解 (t)的值，再代入 (x=2-t+t^2) ，求得横坐标。

(2).以坐标原点为极点， (x) 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 (AB) 的极坐标方程.

解析：由(1)可知 (k_{AB}=cfrac{12-0}{0-(-4)}=3)，

故由点斜式可知，直线 (AB) 的方程为 (y=3(x+4))， 即 (3x-y+12=0).

由 (x= hocos heta)， (y= hosin heta) 可得，

直线 (AB) 的极坐标方程为 (3 hocos heta- hosin heta + 12=0).

【北师大选修教材4-4 (P_{_{38}}) (A)组第(3)题】求直线 (left{egin{array}{l}{x=-2-sqrt{2}t}\{y=3+sqrt{2}t}end{array} ight.) ((t)为参数)上与点(P(-2,3))的距离等于(sqrt{2})的点的坐标。

解析：将非标准形式 (left{egin{array}{l}{x=-2-sqrt{2}t}\{y=3+sqrt{2}t}end{array} ight.) 变形为直线的参数方程的标准形式 (left{egin{array}{l}{x=-2-cfrac{sqrt{2}}{2}(2t)}\{y=3+cfrac{sqrt{2}}{2}(2t)}end{array} ight.)

则此时相当于坐标为 ((-2,3)) 的点的一维坐标为 (0)，坐标为((?,?))的点的一维坐标为 (2t)，

故有 (|2t|=sqrt{2})，解得 (t=pmcfrac{sqrt{2}}{2})，

将其代入直线的参数方程，得到所求点的坐标为 ((-3,4)) 或 ((-1,2)) .

解后反思：此题目还可以转化为普通方程求解，但求解过程会非常麻烦，由此也可以看出采用参数方程求解问题的算理上的优越性。