导函数的原函数族|逆向思维

前言

在高三数学的导数备考中，我们经常碰到的是给定函数，求其导函数的问题，比如，已知函数 (f(x)=x^3+2x)，则 (f'(x)=3x^2+2)，但偶尔我们也会碰到已知导函数需要求解其原函数的问题，比如已知 (f'(x)=3x^2) ，则其原函数应该有一族，不止一个函数，比如 (f(x)=x^3+1)， (f(x)=x^3-1)， (f(x)=x^3+10)，等等，此时我们经常统一标记为(f(x)=x^3+C)，再结合题目中的其他条件，就能很容易确定常数 (C) 的值。暂举例如下，让各位学子加以体会并模仿学习。

典例剖析

【2020 (cdot) 榆林模拟】已知定义在 ((1,+infty)) 的函数 (f(x))， (f'(x)) 为其导函数，满足 (cfrac{1}{x}f(x))(+)(f'(x)ln x)(+)(2x)(=)(0)， 且(f(e)=-e^{2})， 若不等式 (f(x)leqslant ax) 对 (xin(1,+infty))恒成立，则实数 (a) 的取值范围为【 (quad)】

$A.[-e,+infty)$ $B.(-e,2)$ $C.[e,+infty)$ $D.(-e^2,2)$

解析：先将 (cfrac{1}{x}f(x))(+)(f'(x)ln x)(+)(2x)(=)(0)，变形为 (cfrac{1}{x}f(x))(+)(f'(x)ln x)(=)(-2x)，

注意到结构 (cfrac{1}{x}f(x))(+)(f'(x)ln x)，令 (g(x)=f(x)cdotln x)，

则 (g'(x)= cfrac{1}{x}f(x))(+)(f'(x)ln x)，即 (g'(x)=-2x)，

由导函数公式可得， (g(x)=-x^2+C)，(C) 为常数，即(g'(x))的原函数有无穷多个，他们都相差一个常数，比如(g(x)=-x^2+1)，或 (g(x)=-x^2+2)，等等；主动想到后边的常数 (C)，对高三学生来说，比较困难，但对于学习了大学数学的学生来说是个基本常识；(quad)，

又由于 (f(e)=-e^{2})， 令(x=e)，则 (g(e)=-e^2+C)，又由于 (g(e)=f(e)cdotln e=-e^2)，

即解得 (C=0)，故 (g(e)=-x^2)，即 (f(x)cdotln x=-x^2)，

故 (f(x)=-cfrac{x^2}{ln x})；

由不等式 (f(x)leqslant ax) 对 (xin(1,+infty)) 恒成立，分离参数得到，

(ageqslant -cfrac{x}{ln x}=h(x))对 (xin(1,+infty)) 恒成立，需要求(h(x)_{max})；

又由于 (h'(x)=cfrac{1-ln x}{(ln x)^2})，

则 (xin (1,e))时， (h'(x)>0)，函数 (h(x)) 单调递增， (xin (e,+infty))时， (h'(x)<0)，函数 (h(x)) 单调递减，

故 (h(x)_{max}=h(e)=-e)，即 (ageqslant -e)， 故选 (A).