前言
点的平移、函数的平移、曲线的平移，向量的平移是不一样的。
点的平移
点的平移口诀： “向左为 (-) 向右为 (+)，向上为 (+) 向下为 (-) ”[和坐标轴方向一致]；
➊引例，如将点 (P(x，y)) 向左 (3) 个单位，再向上 (2) 个单位后得到的点 (P'(x-3，y+2))；
➋引例，再如将点 (P(x，y)) 沿向量 (vec{a}=(2,-3)) 平移后得到 (P'(x+2，y-3))；
图像平移
函数图像的平移口诀： “向左为 (+) 向右为 (-)，向上为 (+) 向下为 (-) ”；
➊引例，如函数 (f(x)=2^x) 的图象左移 (2) 个单位且下移 (3) 个单位得到的图象的解析式为(g(x)=2^{x+2}-3)。
[原因分析]：采用点的坐标平移法则和相关点法可以解释；
设函数 (f(x)) 上的任意一点的坐标为 (P(x,y)) ，变化后对应的点的坐标为 (P'(x',y'))，
则对应的变换为 (phi:egin{cases}x'=x-2\y'=y-3end{cases}) ，其对应的逆变换为 (phi':egin{cases}x=x'+2\y=y'+3end{cases})
将其代入函数 (f(x))，得到 (y'+3=f(x'+2)=2^{x'+2})，
即(y'=2^{x'+2}-3)，故 (g(x)=2^{x+2}-3)；
➋引例，将抽象函数 (h(x)) 向右平移 (3) 个单位，再向上平移 (2) 个单位，得到函数 (g(x)=h(x-3)+2)；
➌引例，将抽象函数 (g(x)) 沿向量 (vec{a}=(2,-3)) 平移后得到 函数 (m(x)=g(x-2)-3)；
曲线平移
函数图像的平移口诀： “向左为 (+) 向右为 (-)，向上为 (-) 向下为 (+) ”[和坐标轴方向相反]；
➊引例，如曲线 (C：x^2+y^2=1) 向左平移 (2) 个单位，再向下平移 (3) 个单位得到新曲线方程为(C'：(x+2)^2+(y+3)^2=1)。
[原因分析]：采用点的坐标平移法则和相关点法可以解释；
设曲线 (C) 上的任意一点的坐标为 (P(x,y)) ，变换后对应的曲线 (C') 上的对应点的坐标为 (P'(x',y'))，
则对应的变换为 (psi:egin{cases}x'=x-2\y'=y-3end{cases}) ，其对应的逆变换为 (psi':egin{cases}x=x'+2\y=y'+3end{cases})
将其代入曲线 (C)，得到 ((x'+2)^2+(y'+3)^2=1)，
即新曲线方程为 (C'：(x+2)^2+(y+3)^2=1) .
➋引例，曲线 (C：f(x,y)=0) 向右平移 (2) 个单位，再向上平移 (3) 个单位得到新曲线方程为(C'：f(x-2,y-3)=0).
➌引例，曲线 (C：f(x,y)=0) 沿向量 (vec{a}=(2,-3)) 平移后得到新曲线方程为(C'：f(x-2,y+3)=0).
按向量平移
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点 (P(x，y)) 按向量 (vec{a}=(h，k)) 平移后得到点 (P'(x+h，y+k)) ；
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函数 (y=f(x)) 的图像 (C) 按向量 (vec{a}=(h，k)) 平移后得到图像 (C') ，则 (C') 的函数解析式为 (y=f(x-h)+k)；
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曲线 (C：f(x，y)=0) 按向量 (vec{a}=(h，k)) 平移后得到图像 (C') ，则 (C') 的方程为 (f(x-h，y-k)=0)；
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向量 (vec{m}=(x，y)) 按向量 (vec{a}=(h，k)) 平移后得到的向量仍然为向量 (vec{m}=(x，y)) 。
典例剖析
解析： (y=sin(2x+cfrac{pi}{6})) 的图象向右平移 (cfrac{pi}{3}) 个单位长度，
其实质是用 (x-cfrac{pi}{3}) 替换解析式中的 (x)，
代入整理得到， (y=sin[2(x-cfrac{pi}{3})+cfrac{pi}{6}]=sin(2x-cfrac{pi}{2})=-cos2x)，
再将其图像向上平移 (1) 个单位长度，其实质是用 (y-1) 替换解析式中的 (y)，
代入整理得到，(y-1=-cos2x)，即(y=-cos2x+1)，则 (g(x)=-cos2x+1).
解析： 由 (f(x)) 为奇函数，则(omega imes 0+varphi=kpi)，可得 (varphi=kpi(k in Z))，
又 (|varphi|<pi)， 所以 (varphi=0)， 则 (f(x)=asin(omega x))，
将 (y=f(x)) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 (2) 倍(纵坐标不变)，其实质是用 (cfrac{x}{2}) 替换 (x)，
整理得到， (g(x)=Asincfrac{omega x}{2}).
由 (g(x))的最小正周期为 (2pi)， 可得 (cfrac{2pi}{omega}=2pi), 故 (omega=2)，
故(g(x)=Asin x)，(g(cfrac{pi}{4})=Asincfrac{pi}{4}=sqrt{2})， 所以 (A=2)，
所以 (f(x)=2sin2x), 故 (f(cfrac{3pi}{8})=2sincfrac{3pi}{4}=sqrt{2}). 故选 (C).
提示：(g(x)=f(x-1)=left{egin{array}{l}2(x-1)，&x-1geqslant 0\-(x-1)^2-2(x-1)，&x-1<0end{array} ight.)
即(g(x)=left{egin{array}{l}2(x-1)，&xgeqslant 1\-(x-1)^2-2(x-1)，&x<1end{array} ight.)
不等式 (|g(x)-2|leqslant 1) 等价于 (1leqslant g(x)leqslant 3)，
做出图像如图，
利用图像可得，解集为 ([cfrac{3}{2},cfrac{5}{2}]cup {0})，故选 (A) .