三角函数单调性的应用

前言

切实掌握模板函数 (f(x)=sin x)，(g(x)=cos x)，(h(x)= an x) 的单调区间的求解和相应的结论，有助于我们的解题。

常用结论

若 (cos A=sin B) ，且(A)、(B)为锐角， 故(A+B=cfrac{pi}{2})，

法1：如图所示，角(A)、(B)关于直线(x=cfrac{pi}{4})对称，

故 (A+B=cfrac{pi}{2})，

法2：由于 (cos A=sin B) ，且(A)、(B)为锐角，

则有 (cos A=cos(cfrac{pi}{2}-B)) ，且 (A)，(cfrac{pi}{2}-Bin (0,cfrac{pi}{2}))

且由于函数 (y=cos x)在区间 $ (0,cfrac{pi}{2})$上单调，

故 (A=cfrac{pi}{2}-B) ，即 (A+B=cfrac{pi}{2}).

若(cos A=sin B)诱导公式:(sin(cfrac{pi}{2}+ heta))(=)(cos heta)(quad)，(A) 为锐角， (B) 为钝角， 故(B=A+cfrac{pi}{2})，

法1：如图所示，角(A)、(B)相差(cfrac{pi}{2})，

故 (B=A+cfrac{pi}{2}) .

法2：由于 (cos A=sin B) ，(A) 为锐角， (B) 为钝角，

则 (cos A=sin(cfrac{pi}{2}+A)=sin B)，且 (B)，(cfrac{pi}{2}+Ain (cfrac{pi}{2},pi))

又由于 函数 (y=sin x)在区间 $ (cfrac{pi}{2}，pi)$上单调，

故 (B=A+cfrac{pi}{2}) .

典例剖析

【2021届高三文科小题满分练】 设 (alphain(0, cfrac{pi}{2}))， (etain(0, cfrac{pi}{2}))， 且 (coseta= analpha(1+sineta))， 则【(quad)】

$A. alpha-eta=cfrac{pi}{4}$ $B. alpha+eta=cfrac{pi}{2}$ $C. 2alpha-eta=cfrac{pi}{2}$ $D. 2alpha+eta=cfrac{pi}{2}$

解析： 由题设，切化弦得， (cosalphacoseta=sinalpha(1+sineta))，

所以，(cos(alpha+eta)=sinalpha=cos(cfrac{pi}{2}-alpha))，

由于 (alpha)， (etain (0, cfrac{pi}{2}))，

所以 (0<alpha+eta<pi)， (0<cfrac{pi}{2}-alpha<cfrac{pi}{2})，

由于函数 (y=cos x) 在区间 ([0,pi]) 上单调[递减]，

所以 (alpha+eta=cfrac{pi}{2}-alpha)， 则 (2alpha+eta=cfrac{pi}{2}). 故选 (D).

【2020 (cdot) 湖南衡阳八中月考】 已知角 (alphain(pi, cfrac{3pi}{2}))， (etain(0,cfrac{pi}{2}))， 且满足 ( analphacoseta=1+sineta)，则 (eta) 等于【 (quad)】

$A.2alpha-cfrac{pi}{2}$ $B.cfrac{5pi}{2}-2alpha$ $C.2alpha-cfrac{5pi}{2}$ $D.2alpha-cfrac{3pi}{2}$

解析： 由已知得 (cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1+sineta}{coseta})，

所以 (sinalphacoseta=cosalpha(1+sineta))，

即 (sin(alpha-eta)=cosalpha)， 由诱导公式得 (sin(alpha-eta)=sin(cfrac{pi}{2}-alpha))，

因为 (alphain(pi, cfrac{3pi}{2}))， (etain(0, cfrac{pi}{2}))，

所以 (alpha-etain(cfrac{pi}{2}, cfrac{3pi}{2}))， (cfrac{pi}{2}-alphain(-pi,-cfrac{pi}{2}))，

由诱导公式可得 (sin(alpha-eta)=sin[2pi+(cfrac{pi}{2}-alpha)])，

此时，(2pi+(cfrac{pi}{2}-alpha)in (pi,cfrac{3pi}{2}))，(alpha-etain(cfrac{pi}{2}, cfrac{3pi}{2}))，

而函数(y=sin x) 在区间 ((cfrac{pi}{2}, cfrac{3pi}{2}))是单调的，

所以 (alpha-eta=2pi+(cfrac{pi}{2}-alpha))， 即 (eta=2alpha-cfrac{5pi}{2})，故选 (C).

【2021届高三文数三轮模拟考】已知 (alpha)，(eta)，(gammain (0,cfrac{pi}{2}))，(sinalpha)(+)(singamma)(=)(sineta)， (coseta)(+)(cosgamma)(=)(cosalpha)，则 【(quad)】

$A.cos(eta-alpha)=cfrac{1}{2}$ $B.cos(eta-alpha)=-cfrac{1}{2}$ $C.eta-alpha=cfrac{2pi}{3}$ $D.eta-alpha=-cfrac{pi}{3}$

解析： 由题可知， (singamma)(=)(sineta)(-)(sinalpha)， (cosgamma)(=)(cosalpha)(-)(coseta)，

两式平方再相加，得到，((sineta-sinalpha)^2+(cosalpha-coseta)^2=1)，

化简得到，(-2cos(eta-alpha)=-1)，即 (cos(eta-alpha)=cfrac{1}{2})，

故选项 (A) 正确，选项 (B) 错误，

又由于 (singamma)(=)(sineta)-(sinalpha>0)，故得到 (sineta)>(sinalpha)，又由于

(alpha)，(etain (0,cfrac{pi}{2}))，故 (eta>alpha)，故 (eta-alpha=cfrac{pi}{3})，则 选项 (C) 错误，选项 (D) 错误，

综上所述，选 (A).