参数方程的类型之辨析

前言

当我们学习了直线的参数方程和圆的参数方程后，自然会碰到如何辨析两类参数方程的类型的问题，由于其外形非常相似，仅仅是参数不一样，故需要我们仔细体会。

典例剖析

【北师大选修教材4-4 (P_{_{38}}) (A)组第 (1) 题】已知参数方程 (left{egin{array}{l}x=x_0+acosphi .\y=y_0+asinphi .end{array} ight.)

(1). 指出当哪个量作为参数时，方程表示直线？哪个量作为参数时，方程表示圆？

(2). 分别说出 (x_0) ， (y_0) ， (a) ， (phi) ， (x) ， (y)的几何意义 .

解析： 当 (a) 作为参数时，方程表示直线，其中 ((x_0,y_0)) 表示直线所经过的定点[标记为 (P_0)]，((x,y)) 表示直线上的动点[标记为 (P)]， (phi) 表示直线的倾斜角，参数 (a) 的几何意义是有向线段 (overrightarrow{P_0P}) 的数量，故其可正，可负，可零；

当 (phi) 作为参数时，方程表示圆，其中 ((x_0,y_0)) 表示圆心，((x,y)) 表示圆上的动点， (a) 表示圆的半径，参数 (phi) 的几何意义是动点与原点连线和(x)轴正半轴所形成的旋转角；

【北师大选修教材4-4 (P_{_{42}}) 练习第 (2) 题】已知参数方程 (left{egin{array}{l}x=at+lambdacos heta .\y=bt+lambdasin heta .end{array} ight.) ((a)，(b)，(lambda)均不为零，(0)(leqslant)( heta)(leqslant)(2pi))，分别取：

(1). (t) 为参数；(2). (lambda) 为参数；(3). ( heta) 为参数；则下列结论中成立的是【(quad)(C)(quad)】

$A.$(1).(2).(3).均为直线；

$B.$只有(2).是直线；

$C.$(1).(2).是直线，(3).是圆；

$D.$(2).是直线，(1).(3).是圆锥曲线；

分析：当 (t) 为参数时，消去参数得到， (y-lambdasin heta=cfrac{b}{a}(x-lambdacos heta))，刻画的是经过点 ((lambdacos heta,lambdasin heta))，斜率为 (cfrac{b}{a}) 的直线；

当 (lambda) 为参数时，消去参数得到， (y-bt= an heta(x-at))，刻画的是经过点 ((at,bt))，斜率为 ( an heta) 的直线；

当 ( heta) 为参数时，消去参数得到， ((x-at)^2+(y-bt)^2=lambda^2)，刻画的是以点 ((at,bt)) 为圆心，半径为 (|lambda|) 的圆；

故选 (C).

难点题目

【北师大选修教材4-4 (P_{_{54}}) 复习题二 (B)组第 (2) 题】已知曲线的参数方程是 (left{egin{array}{l}x=cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})cos heta .\y=cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})sin heta .end{array} ight.) (( heta eq cfrac{kpi}{2})，(kin ))

(1). 若 ( heta) 是参数，则方程表示的曲线是___________，它的普通方程是___________.

解析：若 ( heta) 是参数，消去参数，得到 (cfrac{x^2}{(frac{e^t+e^{-t}}{2})^2}+cfrac{y^2}{(frac{e^t-e^{-t}}{2})^2}=1)，故其表示的曲线是椭圆；

(2). 若 (t) 是参数，则方程表示的曲线是___________，它的普通方程是___________.

解析：若 (t) 是参数，消去参数，首先变形为 (left{egin{array}{l}cfrac{2x}{cos heta}=e^t+e^{-t}①.\cfrac{2y}{sin heta}=e^t-e^{-t}② .end{array} ight.)

然后，两式分别平方相减，得到 (cfrac{x^2}{cos^2 heta}-cfrac{y^2}{sin^2 heta}=1) ，故其表示的曲线是双曲线；

已知参数方程：(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta}.\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta}.end{array} ight.) (quad) ((t eq 0))，

(1)若(t)为常数，( heta)为参数，判断方程表示什么曲线？

分析：观察参数( heta)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

由于已知(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta①}\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta②}end{array} ight.)，故分类讨论如下：

(1^{circ})、当(t eq pm1)时，由①得到(sin heta=cfrac{x}{t+frac{1}{t}})，由②得到(cos heta=cfrac{y}{t-frac{1}{t}})，

平方相加得，(cfrac{x^2}{(t+frac{1}{t})^2}+cfrac{y^2}{(t-frac{1}{t})^2}=1)，

其表示的是中心在原点， 长轴长为(2|t+cfrac{1}{t}|)，短轴长为(2|t-cfrac{1}{t}|)，焦点在(x)轴上的椭圆；

(2^{circ})、当(t= pm1)时，此时(y=0)，(x=pm 2sin heta)，则(xin [-2，2])，

其表示的是以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的线段；

综上可知，

当(t eq pm1)时，原方程表示焦点在(x)轴的椭圆；

当(t=pm 1)时，原方程表示以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的线段；

(2)若( heta)为常数，(t)为参数，方程表示什么曲线？

分析：观察参数(t)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

由于已知(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta①}\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta②}end{array} ight.)，故分类讨论如下：

(1^{circ})、当( heta eq cfrac{kpi}{2}(kin Z))时，由①得到(cfrac{x}{sin heta}=t+cfrac{1}{t})，

由②得到(cfrac{y}{cos heta}=t-cfrac{1}{t})，平方相减得到，

(cfrac{x^2}{sin^2 heta}-cfrac{y^2}{cos^2 heta}=4)，即(cfrac{x^2}{4sin^2 heta}-cfrac{y^2}{4cos^2 heta}=1)，

其表示的是中心在原点，实轴长为(4|sin heta|)，虚轴长为(4|cos heta|)，焦点在(x)轴上的双曲线；

(2^{circ})、当( heta=kpi(kin Z))时，(x=0)，它表示(y)轴；

(3^{circ})、当( heta=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))时，(y=0)，(x=pm(t+cfrac{1}{t}))，

当(t>0)时，(x=t+cfrac{1}{t}ge 2)，当(t<0)时，(x=-(t+cfrac{1}{t})leq 2)，

则(|x|ge 2)，方程(y=0(|x|ge 2))表示(x)轴上以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的向左、向右的两条射线；

综上可知，

当( heta eq cfrac{kpi}{2}(kin Z))，方程表示焦点在(x)轴上的双曲线；

当( heta=kpi(kin Z))时，(x=0)，它表示(y)轴；

当( heta=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))时，方程表示(x)轴上以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的向左、向右的两条射线；