直曲线上动点距离的最小值求法

前言

作为导数的作用之一，还可以求解直线上的任意动点到曲线上任意动点连线的距离的最小值，采用的思路就是平行线法，其中关联的知识点比较多，比如直线和曲线相切问题，转化划归思想，点到直线的距离等。

模型积累

直线(y=x)上的动点为(P)，函数(y=lnx)上的动点是(Q)，求(|PQ|)的最小值【等价题目】直线(y=x)上的点为(P(x，y))，函数(y=lnx)上的点是(Q(m，n))，求(sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2})的最小值。(quad)。

思路：平行线法，设和直线(y=x)平行且和函数(y=lnx)相切的直线为(y=x+m)，

切点为(P_0(x_0,y_0))，则有(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；

从而解得(x_0=1,y_0=0,m=-1)

则所求的 (|PQ|) 的最小值，就转化为切点 (P_0(1,0)) 到直线 (x-y=0) 的点线距，或者两条直线 (y=x) ，(y=x-1) 的线线距了。

故 (|PQ|_{min}=cfrac{|1-0|}{sqrt{1^2+1^2}}=cfrac{sqrt{2}}{2})；

典例剖析

函数(y=kx)与函数(y=lnx)相切于点(Q)，求点(Q)的坐标。((e，1))

分析：设函数(y=kx)与函数(y=lnx)切点为(Q(x_0,y_0))，则有

(egin{cases} y_0=kx_0 \ y_0=lnx_0 \ k=f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}end{cases})；

从而解得(x_0=e,y_0=1,k=cfrac{1}{e})，故切点(Q)的坐标为((e，1)) 具体参见课件

函数(y=mx)与函数(y=e^x)相切于点(P)，求点(P)的坐标。((1，e))

分析：设函数(y=mx)与函数(y=e^x)切点为(P(x_0,y_0))，则有

(egin{cases} y_0=mx_0 \ y_0=e^{x_0} \ m=f'(x_0)=e^{x_0}end{cases})；

从而解得(x_0=1,y_0=e,m=e)，故切点(P)的坐标为((1，e))。

函数(y=mx)与函数(y=e^x)的图像没有交点，求(m)的取值范围。

法1：导数法，仿上题可知，函数(y=mx)与函数(y=e^x)的图像没有交点，所求的(m)取值范围为$0leq m<e $。

法2：转化法，则方程(e^x=mx)无解，即方程(m=cfrac{e^x}{x})无解，令函数(g(x)=cfrac{e^x}{x})，

利用导数求得值域为(g(x)in (-infty，0)cup[e，+infty))，故要使得方程(m=g(x))无解，得到$0leq m<e $。

转化划归

【2021高三文数三轮模拟训练题】在平面直角坐标系中，已知 (M(x_1,ln x_1))， (N(x_2-3,2x_2))，则线段 (MN) 长度的最小值为_____________.

分析：由 (left{egin{array}{l}x=x_1\y=ln x_1end{array} ight.) ，消去参数(x_1)，即 (M) 为曲线 (y=ln x) 上的动点，

由 (left{egin{array}{l}x=x_2-3\y=2x_2end{array} ight.) ，消去参数(x_2)，即 (N) 为直线 (y=2x+6) 上的动点，

设曲线 (y=ln x) 在某点处的切线为 (l)，当切线 (l) 与直线 (y=2x-6) 平行时，切线的斜率为 (2)，

设切点 (P(a,b))，又曲线 (y=ln x) 在点 (P(a,b)) 处的切线斜率为 (y'=cfrac{1}{x}|_{x=a}=cfrac{1}{a})，

所以 (cfrac{1}{a}=2)，解得 (a=cfrac{1}{2})，故切点 (P) 的坐标为 ((cfrac{1}{2},-ln 2))，

切点 (P(cfrac{1}{2},-ln 2)) 到直线 (2x-y+6=0)的距离为

(d=cfrac{|cfrac{1}{2} imes 2+(-ln 2) imes (-1)+6|}{sqrt{2^2+(-1)^2}}=cfrac{7+ln2}{sqrt{5}}=cfrac{(7+ln 2)sqrt{5}}{5})，

所以线段 (MN) 长度的最小值为 (cfrac{(7+ln 2)sqrt{5}}{5}).

【2018福建龙岩市高三质检】若不等式((x-a)^2+(x-lna)^2>m)对任意(xin R)，(ain (0，+infty))恒成立，则实数(m)的取值范围是______________。

分析：检索自己的数学知识储备，我们能发现，不等式的左端的结构和平面内两点间的距离公式非常接近，

故我们主动联想，向两点间的距离公式的几何意义做靠拢，从而转化为求两点间的距离的最小值的平方。

解法1：表达式((x-a)^2+(x-lna)^2)的几何意义是直线(y=x)上的点((x，x))到曲线(y=lnx)上的点((a，lna))距离的平方，

如果令(f(x)=(x-a)^2+(x-lna)^2)，则由(m<f(x))对任意(xin R)，(ain (0，+infty))恒成立，

即需要我们求(f(x))的最小值；这样题目首先转化为以下的题目：

即，直线(y=x)上的点为(P(x，x))，函数(y=lnx)上的点是(Q(a，lna))，求(sqrt{(x-a)^2+(x-lna)^2})的最小值。

设和直线(y=x)平行且和函数(y=lnx)相切的直线为(y=x+m)，

切点为(P_0(x_0，y_0))，则有

(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；

从而解得(x_0=1，y_0=0，m=-1)

所以所求的点点距的最小值，就转化为切点(P_0(1，0))到直线(y=x)的点线距，

或者两条直线(y=x)，(y=x-1)的线线距了。

此时(|PQ|_{min}=cfrac{sqrt{2}}{2})；

由上述题目可知，(f(x)_{min}=(cfrac{sqrt{2}}{2})^2=cfrac{1}{2})，

故实数(m)的取值范围是(m<cfrac{1}{2})，即(min (-infty，cfrac{1}{2}))。

【2019届宝鸡市高三理科数学质量检测一第12题】设函数(f(x)=(x-a)^2+(lnx^2-2a)^2)，其中(x>0)，(ain R)，存在(x_0)，使得(f(x_0)leq cfrac{4}{5})成立，则实数(a)等于【】

$A.1$ $B.cfrac{1}{5}$ $C.cfrac{2}{5}$ $D.cfrac{1}{2}$

分析：由于题目告诉我们，存在(x_0)，使得(f(x_0)leq cfrac{4}{5})成立，

则需要我们求解函数(f(x))的最小值，最容易想到的就是利用导数求解函数的最小值，

这个最小值中会含有参数(a)，让其小于等于(cfrac{4}{5})，求解即可。

但是观察函数的特征，你会感觉这可能不是一个很好的选择。

那么有没有更好的选择呢，详细观察所给的函数结构特征，发现其和平面内任意两点见的距离公式很接近，

所以我们可以这样考虑：

函数(f(x))的最小值应该是点((x，lnx^2))和点((a，2a))之间的最小距离的平方，再次转化为

函数(y=g(x)=lnx^2=2lnx)上的动点((x，y))与函数(y=h(x)=2x)上的动点((m，n))之间的最小距离的平方，

从而问题转化为先求解曲线(y=2lnx)上的动点到直线(y=2x)的最小距离了。

利用平行线法，设直线(y=2x+m)与曲线相切于点((x_0，y_0))，

则有(g'(x_0)=cfrac{2}{x_0}=2)，解得(x_0=1)，

代入(y=2lnx)，得到(y_0=0)，即切点为((1，0))点，

代入(y=2x+m)，得到(m=-2)

即切线为(y=2x-2)，此时函数(f(x))的最小值，也就是曲线上的点((1，0))到直线(y=2x)的点线距的平方，

也是两条直线(y=2x)和(y=2x-2)之间的线线距的平方，其中线线距(d=cfrac{|2|}{sqrt{2^2+1^2}}=cfrac{2}{sqrt{5}})

故(d^2=cfrac{4}{5})，说明这样的(x_0)是存在的且唯一的，(x_0=1)，

那么(a)为多少?该如何求解呢？由于(a)是使得函数(f(x))取得最小值的参数，

即本题目中应该是点((1，0))在直线(y=2x)上的垂足的横坐标。

由于过点((1，0))和(y=2x)垂直的直线为(y-0=-cfrac{1}{2}(x-1))，

联立(left{egin{array}{l}{y=2x}\{y=-cfrac{1}{2}(x-1)}end{array} ight.)，解得(x=cfrac{1}{5})，

即(a=cfrac{1}{5})，故选(B)。