前言
哈三中数学教师、全国高中数学竞赛优秀教练员杨治千老师，对高考数学全国乙卷进行分析。今年的高考数学卷呈如下特点：
“题目中传统问题与创新问题相结合，重视数学应用、数学文化的考查，也出现结构不良试题及易错问题。总体来看选择题难度增大，填空题较为基础，大题虽较难但难度梯度设置合理。整张试卷较往年高考试题结构稳定，考查知识主体未变，稳中求新，向新高考靠拢，全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。”
发挥数学学科特色 关注社会发展及中华传统文化
理科第6题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力。理科第9题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题的能力，让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智。
坚持开放创新 考查关键能力
2020年10月，中共中央国务院《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，稳步推进中高考改革，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象。数学科高考积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查数学学科核心素养和关键能力，发挥数学科高考的选拔功能。“举例问题”灵活开放。如文、理科第16题有多组正确答案，有多种解题方案可供选择，考查了考生的空间想象能力，具有较好的选拔性。
倡导理论联系实际 学以致用
2021年数学高考在应用性进行重点探索，取得突破。试题注重理论联系实际，体现数学的应用价值，并让学生感悟到数学的应用之美。理论联系实际的试题，体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点，有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义。
文科重视基础 理科重视能力
文理科部分试题相同，如3、15、16、17、22、23题完全相同，理科4、5、10题分别是文科试题中的9、10、12题。18题考查立体几何知识，题中几何体完全一样，已知条件也一致，问题设置根据文理教学大纲的不同有差异。19题考查数列知识，文理共同点是信息量较大，数列关系复杂，文科题型常规，重视计算。理科在数列知识的考查中较往年难度有所提升，注重知识迁移能力，本题最能考察考生的考场心态及临场发挥能力。解析几何知识点的考查文科设置在11、14、20题，其中11、20考查的都是解析几何中的方程思想，尤其是解答题20，考生习惯于使用韦达定理解决问题，本次考题与韦达定理无关，但题目设置较易，学生容易上手。理科的考查设置在11、13、21题，其中21题主要考察切点弦知识，对了解切点弦结论的考生较有优势，可以较快上手。即便是使用韦达定理解题，与往年的21题相比难度仍有降低，但参量较多，考查学生计算过程中对代数式整体的处理能力。导数知识点的考察文科设置在12、21题，都设置成了三次函数，皆为常规题型，考查了极值点和切线问题，计算量不大，较往年比难度降低。理科设置在10、12、20题，10和20题是常规题，难度不大。12题看似是常规的比大小问题，但是用比较大小常用的介值法、放缩法都无法实现，需要用排除法再巧妙构造函数，这道题难度很大，考察了学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象多个数学核心素养，需要学生有很强的知识整合能力才能得出正确答案。
2021年全国乙卷重视难度和思维的层次性，解题方法的多样性，给学生提供多种分析问题和解决问题的途径，体现数学学科的综合性、创新性，思维的深刻性、灵活性，方法的探究性、创造性，发挥了数学学科高考的选拔性功能。
典例剖析
法1：赋值法，将两个集合具体化，令 (n=1,2,3,4,cdots,)
则集合 (S={cdots,3,5,7,9,cdots})，集合 (T={cdots,5,9,13,17,cdots})，
则 (T subsetneqq S)，故 (S cap T=T)，则选 (C) .
法2：当 (n) 是偶数时，设 (n=2k)， 则 (s=2n+1=4k+1)，
当 (n) 是奇数时，设 (n=2k+1) ， 则 (s=2n+1=4k+3)， (kin Z)，
则 (T subsetneqq S)， 则 (S cap T=T)， 故选: (C) .
解析：容易判断命题 (p) 为真命题；而对于函数 (y=e^{|x|}) ，是偶函数，
且当 (xin(0,+infty)) 时，函数变形为 (y=e^x)，故单调递增，
故很容易得到 (f(x)=e^{|x|}) 的最小值为 (f(0)=1)，则命题 (q) 为真命题，
则由此判断复合命题 (p wedge q) 为真命题，故选 (A) .
〔解后反思〕：我们需要储备函数 (f(x)=e^{|x|})， (g(x)=e^x+e^{-x})， (h(x)=e^x-e^{-x})等常用常见函数的图像和性质，
①比如函数 (f(x)=e^{|x|})还可以在分段函数，图像变换类题目，转化划归类题目中做其他形式的考察，比如 (y=e^{|x-1|})的对称轴为 (x=1)，
②本套试卷第 (8) 题中的函数 (m(x)=2^x+2^{2-x}) ，就是由函数 (g(x)=e^x+e^{-x})变换得到的，将底数 (e) 换为 (2)，单调性不变，变换为 (h(x)=2^x+2^{-x})，对称轴为 (x=0)，偶函数，然后向右平移一个单位，得到 (h(x-1))(=)(2^{x-1})(+)(2^{1-x})，然后再纵向扩大 (2) 倍，即
解析: 本题目的求解涉及到反比例函数，函数的对称性，图像的变换，函数的奇偶性等
由于 (f(x)=cfrac{1-x}{1+x}=cfrac{-(x+1)+2}{1+x}=-1+cfrac{2}{x+1})，
所以函数 (f(x)) 的对称中心为 ((-1,-1))，
所以将函数 (f(x)) 向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数 (y=f(x-1)+1) ，该函数的对称中心为 ((0,0))，
故函数 (y=f(x-1)+1) 为奇函数，故选: (B) .
解析: 由于 (AD_{1}//BC_{1})， 所以 (angle PBC_{1}) 是直线 (PB) 与 (AD_{1}) 所成的角[或所成角的补角]准确的说法还需要添加这句话，或所成角的补角，原因是两条直线所成的角的范围是 ([0,cfrac{pi}{2}]) ，而图形中的角 (angle PBC_{1}) 的大小不一定在此范围内，
设正方体 (ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}) 的棱长为 (2)，
则 (PB_{1}=PC_{1}=cfrac{1}{2}sqrt{2^{2}+2^{2}}=sqrt{2})，
(BC_{1}=sqrt{2^{2}+2^{2}}=2sqrt{2})， (BP=sqrt{2^{2}+(sqrt{2})^{2}}=sqrt{6})，
所以 (cosangle PBC_{1}=cfrac{PB^{2}+BC_{1}^{2}-PC_{1}^{2}}{2 imes PB imes BC_{1}}=cfrac{6+8-2}{2 imessqrt{6} imes2sqrt{2}}=cfrac{sqrt{3}}{2})，
所以，(angle PBC_{1}=cfrac{pi}{6})， 则直线 (PB) 与 (AD_{1}) 所成的角为 (cfrac{pi}{6})， 故选: (D) .
解析: 从 (5) 名志愿者中任选 (2) 个分成 (1) 组，再从剩余的 (3) 名志愿者中任选 (1) 个分成 (1) 组， 再从剩余的 (2) 名志愿者中任选 (1) 个分成 (1) 组，再从剩余的 (1) 名志愿者中任选 (1) 个分成 (1) 组， 共有分组数为 (cfrac{C_5^2C_3^1C_2^1C_1^1}{A_3^3}=C_5^2=10) 种方法，然后这 (4) 组进行全排列，有(A_{4}^{4})种，共有 (C_{5}^{2}A_{4}^{4}=240) 种，故选: (C) .
令 (f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)=0)，得到函数的两个零点， (x=a) 或 (x=b)，
由于 (a eq 0) ，故我们针对 (a) 分类讨论如下：
当 (a>0) 时，利用穿根法做函数简图的方法，(x=a) 为偶次根，(x=b) 为奇次根，
做出适合题意的简图如下，
由图可知，(0<a<b)，则 (ab>a^2)；
当 (a<0) 时，利用穿根法做函数简图的方法，(x=a) 为偶次根，(x=b) 为奇次根，
做出适合题意的简图如下，
由图可知，(b<a<0)，则 (ab>a^2)；
综上所述，总有 (ab>a^2)，故选 (D) ；
解法1： 由题可知点 (B) 的坐标为 ((0, b))，因为 (C) 上的任意一点 (P) 都满足 (|PB|leqslant 2b)，
所以点 (P) 的轨迹可以看成以 (B) 为圆心， (2b) 为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，
即 (left{egin{array}{l}cfrac{x^{2}}{a^{2}}+cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\x^{2}+(y-b)^{2}=4b^{2}end{array} ight.) 至多一个解，
消去 (x)， 可得 (cfrac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}y^{2}-2by+a^{2}-3b^{2}=0)，
所以，(Delta=4b^{2}-4cdotcfrac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}cdot(a^{2}-3b^{2})leqslant 0)，
整理可得 (4b^{4}-4a^{2}b^{2}+a^{4}leqslant 0)， 即 ((a^{2}-2b^{2})^{2}leqslant 0)，
解得 (a^{2}=2b^{2})， 则 (e=sqrt{1-cfrac{b^{2}}{a^{2}}}=cfrac{sqrt{2}}{2})，
故 (e) 的范围为 ((0,cfrac{sqrt{2}}{2}])，故选： (C).
法2： 由题可知点 (B) 的坐标为 ((0, b))，设 (P(x_0,y_0)) ，
则由 (C: cfrac{x_0^{2}}{a^2}+cfrac{y_0^{2}}{b^2}=1) 可得到 (x_0^2=a^2(1-cfrac{y_0^2}{b^2}))，
则(|PB|^{2}=x_{0}^{2}+(y_{0}-b)^{2}=a^{2}(1-cfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}})+y_{0}^{2}-2by_{0}+b^{2})
(=-cfrac{c^{2}}{b^{2}}y_{0}^{2}-2by_{0}+a^{2}+b^{2})， (y_{0}in[-b, b])，
上述为以 (y_0) 为自变量的二次函数，图像为开口向下的抛物线，定义域为 (y_{0}in[-b, b])，
对称轴为 (y_0=-cfrac{-2b}{2 imes(-frac{c^2}{b^2})}=-cfrac{b^3}{c^2})，
由题意，当 (y_0=-b) 时，(|PB|^2)最大，则 (-cfrac{b^3}{c^2}leqslant -b)，
解得 (b^2geqslant c^2)，即 (a^2-c^2geqslant c^2)，则 (e=cfrac{c}{a}leqslantcfrac{sqrt{2}}{2})，
即 (e) 的范围为 ((0,cfrac{sqrt{2}}{2}])，故选： (C).
解析：通过构造函数来比较大小；
设 (f(x)=ln(1+x)-sqrt{1+2x}+1)， 则 (b-c=f(0.02))，易得到
(f'(x)=cfrac{1}{1+x}-cfrac{2}{2sqrt{1+2x}}=cfrac{sqrt{1+2 x}-(1+x)}{(1+x)sqrt{1+2x}})，
当 (x geqslant 0) 时， (1+x=sqrt{(1+x)^{2}}geqslantsqrt{1+2 x})， 故 (f'(x)leqslant 0)，
所以， (f(x)) 在 ([0,+infty)) 上单调递减，故 (f(0.02)<f(0)=0)，故 (b<c) .
再设 (g(x)=2ln(1+x)-sqrt{1+4x}+1)， 则 (a-c=g(0.01))， 易得到
(g'(x)=cfrac{2}{1+x}-cfrac{4}{2sqrt{1+4x}}=2cdotcfrac{sqrt{1+4x}-(1+x)}{(1+x)sqrt{1+4x}})，
当 (0leqslant x<2) 时，(sqrt{1+4x}geqslant sqrt{1+2x+x^2}=1+x)，所以在 (xin [0,2))时，(g'(x)geqslant0)，
故 (g(x)) 在 ([0,2)) 上单调递增，所以 (g(0.01)>g(0)=0)，故 (a>c) .
综上所述， (a>c>b)，故选 (B) .
解析：易知双曲线的渐近线方程为 (y=pm cfrac{b}{a}x)，
根据题意，(a^2=m)， (b^2=1)，且一条渐近线方程为 (y=-cfrac{sqrt{3}}{m}x)，
则有 (cfrac{1}{sqrt{m}}=cfrac{sqrt{3}}{m})，解得 (m=3)，
故(a^2=3)，(c^2=a^2+b^2=4)，则焦距为 (2c=4) .
| 旧设备 | (9.8) | (10.3) | (10.0) | (10.2) | (9.9) | (9.8) | (10.0) | (10.1) | (10.2) | (9.7) |
| 新设备 | (10.1) | (10.4) | (10.1) | (10.0) | (10.1) | (10.3) | (10.6) | (10.5) | (10.4) | (10.5) |
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 (ar{x}) 和 (ar{y}) , 样本方差分别记为 (s_{1}^{2}) 和 (s_{2}^{2}) .
(1) 求 (ar{x})， (ar{y})， (s_{1}^{2})， (s_{2}^{2}) .
解析： (ar{x}=10+cfrac{(-0.2)+0.3+0+0.2+(-0.1)+(-0.2)+0+0.1+0.2+(-0.3)}{10}=10)，
(ar{y}=10+cfrac{0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.5}{10}=10.3)，
(s_{1}^{2}=cfrac{1}{10}[(-0.2)^2+0.3^2+0^2+0.2^2+(-0.1)^2+(-0.2)^2+0^2+0.1^2+0.2^2+0.3^2]=0.036)
(s_{2}^{2}=cfrac{1}{10}[(-0.2)^2+0.1^2+(-0.2)^2+(-0.3)^2+(-0.2)^2+0^2+0.3^2+0.2^2+0.1^2+0.2^2]=0.04)
(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 (ar{y}-ar{x}geqslant)(2sqrt{cfrac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}})， 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高， 否则不认为有显著提高).
解析： (ar{y}-ar{x}=10.3-10=0.3=sqrt{0.09})，
又 (2sqrt{cfrac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}})(=)(2sqrt{cfrac{0.036+0.04}{10}})(=)(2sqrt{0.0076})(=)(sqrt{0.0304})
由于 (sqrt{0.09}>sqrt{0.0304})，即 (ar{y}-ar{x}>) (2sqrt{cfrac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}})，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
(1). 求 (BC) ;
解析：求解矩形的宽 (BC) 时 ，可以从以下三个思路思考求解：
思路一：利用直角三角形相似求解，由于 (AMperp)平面 (PBD) ，故有 (AMperp BD)，
由于 (angle BAM+angle DAM=cfrac{pi}{2})， (angle ADB+angle DAM=cfrac{pi}{2})，
故 (angle ADB=angle BAM)， 且 (Rt riangle ADBsim Rt riangle BAM)，
则有 (cfrac{AD}{AB}=cfrac{AB}{BM})，令 (BM=x)，则 (cfrac{2x}{1}=cfrac{1}{x})，
解得 (x=cfrac{sqrt{2}}{2})，故 (BC=2x=sqrt{2})；
思路二：由于 (AMperp)平面 (PBD) ，故有 (AMperp BD)，此时我们可以利用平面向量解决问题，
建立如右图所示的平面坐标系，利用平面向量求解，[或直接在立体图形中建系，利用空间向量求解]，
则点(D(0,0)) ，(C(1,0))，设 (|AD|=|BC|=2x)，则 (A(0,-2x))， (M(1,-x))， (B(1,-2x))，
则 (overrightarrow{DB}=(1,-2x))， (overrightarrow{AM}=(1,x))，由于 (AMperp BD)，
则(overrightarrow{DB}cdotoverrightarrow{AM}=0)，即 ((1,-2x)cdot(1,x)=0)，
即 (1-2x^2=0)，解得(x=cfrac{sqrt{2}}{2})，故 (AD=BC=sqrt{2})，
思路三：利用 (Rt riangle) 求解 (BC) 的长度；
取 (DC) 和 (PC) 的中点分别为 (E) 和 (F) ，连结 (EA)、 (EM)、(EF)、(FA) 、(FM)，
由于 (PDperp) 下底面 (ABCD) ，故 (FEperp) 下底面 (ABCD) ，
则 ( riangle FEA) 和 ( riangle FEM) 为 (Rt riangle)，
又由于 (ME//BD) ， (MF//PB) ， (AMperp PB) ，
故 (AMperp MF) ，则 ( riangle AMF) 为 (Rt riangle)，
令 (BM=CM=x)，则 (AD=2x)， (DE=EF=CE=cfrac{1}{2})，
(MF^2=ME^2+EF^2=cfrac{1}{4}+x^2+cfrac{1}{4}=cfrac{1}{2}+x^2)，
(AF^2=AE^2+EF^2=cfrac{1}{4}+(2x)^2+cfrac{1}{4}=cfrac{1}{2}+4x^2)，
(AM^2=1+x^2)，由于 (AF^2=AM^2+MF^2) ，
则有 (cfrac{1}{2}+4x^2=cfrac{1}{2}+x^2+1+x^2)，
解得 (x=cfrac{sqrt{2}}{2})，故 (BC=2x=sqrt{2}) .
(2). 求二面角 (A-PM-B) 的正弦值；
解析：由题可知，(DA)、(DC)、(DP) 两两互相垂直，故以点 (D) 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 (A(sqrt{2},0,0))， (B(sqrt{2},1,0))， (M(cfrac{sqrt{2}}{2},1,0))， (P(0,0,1))，
则 (overrightarrow{AP}=(-sqrt{2},0,1))， (overrightarrow{PM}=(cfrac{sqrt{2}}{2},1,-1))，
设平面 (APM) 的法向量为 (vec{n}=(x,y,z))，
则有 (left{egin{array}{l}{vec{n}cdotoverrightarrow{AP}=0}\{vec{n}cdotoverrightarrow{PM}=0}end{array} ight.quad) ，即 (left{egin{array}{l}{-sqrt{2}x+z=0}\{cfrac{sqrt{2}}{2}x+y-z=0}end{array} ight.quad)
令 (x=sqrt{2}) 此处实质是求解不定方程，故常常使用赋值法，为了减少或防止坐标中出现分数，避免运算出错，具体的赋值还是有一定的讲究和技巧的。(quad)，则 (y=1)，(z=2)，即 (vec{n}=(sqrt{2},1,2))，
同理，设平面 (PMB)的法向量为 (vec{v}=(p,q,r))注意，将向量 (overrightarrow{PM})作为公共量，下面的计算就可以减少运算量(quad) ，
则有 (left{egin{array}{l}{vec{v}cdotoverrightarrow{PM}=0}\{vec{v}cdotoverrightarrow{MB}=0}end{array} ight.quad) ，即 (left{egin{array}{l}{cfrac{sqrt{2}}{2}p+q-r=0}\{-sqrt{2}p=0}end{array} ight.quad)
令 (q=1)，则 (r=1)，(p=0)，即 (vec{v}=(0,1,1))，
所以 (|cos<vec{n},vec{v}>|=cfrac{|vec{n}cdotvec{v}|}{|vec{n}||vec{v}|}=cfrac{3}{sqrt{7} imessqrt{2}}=cfrac{3}{sqrt{14}})，
[注意，此处仅仅是一步中间过程，接下来还要平方，故可以不做分母有理化，省时省力]
设二面角 (A-PM-B) 的平面角为 (alpha)，
则 (sinalpha=sqrt{1-cos^{2}alpha}=sqrt{1-cos^{2}<vec{n}, vec{v}>}=sqrt{1-(cfrac{3}{sqrt{14}})^{2}}=cfrac{sqrt{70}}{14})，
所以二面角 (A-PM-B) 的正弦值为 (cfrac{sqrt{70}}{14}).
〔解后反思〕：① 二面角的平面角用这两个平面的法向量的夹角来刻画；
② 若两个平面的法向量分别为 (vec{n}=(x,y,z)) 和 (vec{v}=(p,q,r))，二面角的平面角或其补角为 ( heta=<vec{n},vec{v}>)，
则 (cos heta=cos<vec{n},vec{v}>=cfrac{vec{n}cdotvec{v}}{|vec{n}||vec{v}|}=cfrac{xp+yq+rz}{sqrt{x^2+y^2+z^2}sqrt{p^2+q^2+r^2}})
③ 若题目需要求解二面角的余弦值时，需要特别注意，此时还需要通过观察图形[而不是通过计算来确定]来确定二面角的平面角是锐角、直角或钝角；容易出错的是有人计算得到 (cos heta<0)，就认为平面角为钝角，这是错误的，其实平面角的正负与我们所取的法向量的方向有关，并不能说明平面角是不是钝角。
④ 若题目需要求解二面角的正弦值时，采用公式 (sin heta=sqrt{1-cos^2 heta}) 来求解；
(1). 证明：数列 ({b_{n}}) 是等差数列;
解析：由 (b_{n}) 的定义，(b_n=S_1 imes S_2 imescdots imes S_n)，(b_{n-1}=S_1 imes S_2 imescdots imes S_{n-1})，
可得到 (cfrac{b_n}{b_{n-1}}=S_n) ，(ngeqslant 2)，将其代入已知 (cfrac{2}{S_{n}}+cfrac{1}{b_{n}}=2)，
得到 (cfrac{2b_{n-1}}{b_n}+cfrac{1}{b_n}=2)，即 (2b_{n-1}+1=2b_n)，
即 (b_n-b_{n-1}=cfrac{1}{2})，(ngeqslant 2)，
又当 (n=1) 时， 由 (cfrac{2}{S_{1}}+cfrac{1}{b_{1}}=2)， 解得 (b_1=cfrac{3}{2})，
故数列 ({b_n}) 是以 (cfrac{3}{2}) 为首项，以 (cfrac{1}{2}) 为公差的等差数列 .
〔解后反思〕：①本小问的求解分析容易陷入泥沼，由于是证明 ({b_n}) 为等差数列，故我们一般能想到利用定义式证明 (b_n-b_{n-1}=m) ，其中 (m) 为常数，或者利用等差中项法证明 (2b_n=b_{n+1}+b_{n-1})((ngeqslant 2)) ，沿着此思路容易想到先将已知条件变形得到 (b_n=cfrac{S_n}{2S_n-2}) ，再类比得到 (b_{n-1})(=)(cfrac{S_{n-1}}{2S_{n-1}-2})((ngeqslant 2))，但是当设法计算 (b_n-b_{n-1}) 时思路受阻没法进行下去了，需要调整分析思路。
② 由于已知的式子中只含有两个变量 (S_n) 和 (b_n) ，而要证明的只与 (b_n) 有关，故我们猜想需要替换掉 (S_n)，但是这个 (S_n) 又不能用上面的思路得到，故此时只能研究题目所给的已知条件了。
③由我们所学的数列常识可知，
(S_n=a_1+a_2+cdots+a_n)，则 (S_{n-1}=a_1+a_2+cdots+a_{n-1})，
故(a_n=S_n-S_{n-1})((ngeqslant 2))，由此类比思考可得到，
依照 (b_{n}) 的定义，(b_n=S_1 imes S_2 imescdots imes S_n)，(b_{n-1}=S_1 imes S_2 imescdots imes S_{n-1})，
可得到 (cfrac{b_n}{b_{n-1}}=S_n) ，(ngeqslant 2)，这样代入已知 (cfrac{2}{S_{n}}+cfrac{1}{b_{n}}=2)，
就只剩下有关 (b_n) 类的表达式，从而容易达到证明的目的。
(2). 求 ({a_{n}}) 的通项公式.
解析：由 (1) 可知， (b_n=cfrac{3}{2}+(n-1) imescfrac{1}{2}=cfrac{n+2}{2}) ，
将其代入已知 (cfrac{2}{S_{n}}+cfrac{1}{b_{n}}=2) 替换 (b_n) 得到，
(cfrac{2}{S_{n}}+cfrac{2}{n+2}=2) ，解得 (S_n=cfrac{n+2}{n+1})，
[题记：接下来，利用 (a_n) 和 (S_n) 的关系求解 (a_n) ，就成了常规的数列求通项公式问题了]
当 (ngeqslant 2) 时， (a_n=S_n-S_{n-1}=cfrac{n+2}{n+1}-cfrac{n+1}{n}=-cfrac{1}{n(n+1)})
当 (n=1) 时， (a_1=S_1=cfrac{3}{2}) ，不符合上式，
故 ({a_{n}}) 的通项公式为 (a_n=left{egin{array}{l}cfrac{3}{2}，&n=1\-cfrac{1}{n(n+1)}，&ngeqslant2end{array} ight.)