分式函数与高考数学

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典例剖析

【2016高考理科数学全国卷2第12题】【共用对称中心】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(-x)=2) (-f(x))，若函数(y=cfrac{x+1}{x})与函数(y=f(x))图像的交点为((x_1，y_1))，((x_2，y_2))，(cdots)，((x_m，y_m))，则(sumlimits_{i=1}^m{(x_i+y_i)})的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：由题目可知(f(x)+f(-x)=2)，即函数(f(x))图像关于点((0，1))对称，

而函数(y=cfrac{x+1}{x}=1+cfrac{1}{x})图像也关于点((0，1))对称，即两个函数图像有相同的对称中心，

那么二者的交点个数一定有偶数个，如图所示， 可知对横坐标而言有(sumlimits_{i=1}^m{x_i}=0)，

而对纵坐标而言，成对的点的个数是(cfrac{m}{2})个，他们中的每一对满足(cfrac{y_1+y_m}{2}=1)，

即(y_1+y_m=2)，故(sumlimits_{i=1}^m{y_i}=2cdot cfrac{m}{2}=m)，

故(sumlimits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=sumlimits_{i=1}^m{x_i}+sumlimits_{i=1}^m{y_i}=m)，故选(B)。

【2021年高考乙卷文科数学第(8)题】下列函数中最小值为 (4) 的函数是【(quad)】

$A.y=x^2+2x+4$ $B.y=|sin x|+cfrac{4}{|sin x|}$ $C.y=2^x+2^{2-x}$ $D.y=ln x+cfrac{4}{ln x}$

解析：本题目考察函数的最小值或者值域问题，涉及到的函数都很特殊，比如二次函数，对勾型函数，偶函数等；

对于选项 (A)，函数特殊却简单，配方即可，(y=(x+1)^2+3)，故其是对称轴为 (x=-1)，开口向上，最低点为 ((-1,3)) 的抛物线，最小值为 (3)，故不符舍去；

对于选项 (B) 和 (D) 而言，首先需要清楚对勾函数 (y=x+cfrac{4}{x}) 的图像和性质，

这样，如果我们对 (y=|sin x|) 和 (y=ln x) 的值域非常清楚，则使用换元法就转化成了上述对勾函数的一部分图像问题了，

令 (t=|sin x|) ，则 (tin (0,1]) ，故 选项 (B) 中的函数即 (y=t+cfrac{4}{t})， (tin (0,1])，函数单调递减，故(y_{min})(=)(1)(+)(cfrac{4}{1})(=)(5)，故排除；其实选项 (B) 更多的是想引导你使用均值不等式，这是个坑，原因是正和定两个条件都满足，就是等这个条件无法满足，所以回过头还需要使用对勾函数来求解；

令 (m=ln x) ，则 (min R) ，在本题目中，(m eq 0) ，故此时 函数 (y=m+cfrac{4}{m})，是完整的对勾函数，没有最小值，故排除；这个选项不能使用均值不等式，原因是第一条正都不能满足；

对于选项 (C) ，我们即可以使用均值不等式，(y=2^x+2^{2-x}=2^x+cfrac{4}{2^x}geqslant 2sqrt{2^x imes cfrac{4}{2^x}}=4)，当且仅当 (x=1) 时取得等号，故其最小值为 (4) ；也可以利用图像变换得到，首先确定变换的初始函数 (f(x)=2^x+2^{-x})，类似抛物线的开口向上的偶函数，最小值为 (f(0)=2)，向右平移一个单位得到(f(x-1)=2^{x-1}+2^{1-x})，最小值还是 (2) ，再纵向扩大 (2) 倍，得到 (y=2f(x-1)=2^x+2^{2-x})，故最小值变为 (2 imes2=4) ，故选 (C) .

【2021年高考乙卷文科数学第(9)题】设函数 (f(x)=cfrac{1-x}{1+x}), 则下列函数中为奇函数的是【(quad)】

$A.f(x-1)-1$ $B.f(x-1)+1$ $C.f(x+1)-1$ $D.f(x+1)+1$

解析: 本题目的求解涉及到反比例函数，函数的对称性，图像的变换，函数的奇偶性等

由于 (f(x)=cfrac{1-x}{1+x}=cfrac{-(x+1)+2}{1+x}=-1+cfrac{2}{x+1})，

所以函数 (f(x)) 的对称中心为 ((-1,-1))，

所以将函数 (f(x)) 向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数 (y=f(x-1)+1) ，该函数的对称中心为 ((0,0))，

故函数 (y=f(x-1)+1) 为奇函数，故选: (B) .

【2021年高考乙卷文科数学第 (19) 题】 设 ({a_{n}}) 是首项为 (1) 的等比数列，数列 ({b_{n}}) 满足 (b_{n}=cfrac{na_n}{3})， 已知 (a_{1})， (3a_{2})， (9a_{3})成等差数列.

(1). 求 ({a_{n}}) 和 ({b_{n}})的通项公式;

解析：由于 (a_{1})， (3a_{2})， (9a_{3})成等差数列， 所以 (6a_{2}=a_{1}+9a_{3})，

又由于 ({a_{n}}) 是首项为 (1) 的等比数列，设其公比为 (q)，

则 (6q=1+9q^{2})， 解得， (q=cfrac{1}{3})，

所以， (a_{n}=a_{1}cdot q^{n-1}=(cfrac{1}{3})^{n-1})

则 (b_{n}=cfrac{na_n}{3}=ncdot (cfrac{1}{3})^{n})

(2). 记 (S_{n}) 和 (T_{n}) 分别为 ({a_{n}}) 和 ({b_{n}}) 的前 (n) 项和， 证明: (T_{n}<cfrac{S_n}{2}).

解析： 由于 (a_{n}=(cfrac{1}{3})^{n-1})， (b_{n}=cfrac{na_n}{3}=ncdot (cfrac{1}{3})^{n}) ，

则 (S_{n}=cfrac{1 imes[1-(cfrac{1}{3})^{n}]}{1-cfrac{1}{3}}=cfrac{3}{2}(1-cfrac{1}{3^n}))，则 (cfrac{S_n}{2}=cfrac{3}{4}(1-cfrac{1}{3^n}))，

由于 (T_n=b_1+b_2+b_3+cdots+b_n)

则 (T_n=1cdotcfrac{1}{3}+2cdotcfrac{1}{3^2}+3cdotcfrac{1}{3^3}+cdots+ncdotcfrac{1}{3^n}) (quadquad①)

(cfrac{1}{3}cdot T_n=quadquad 1cdotcfrac{1}{3^2}+2cdotcfrac{1}{3^3}+cdots+(n-1)cdotcfrac{1}{3^n}+ncdotcfrac{1}{3^{n+1}}) (quad②)

由 (①-②) 得到， (cfrac{2}{3}cdot T_n=cfrac{1}{3}+cfrac{1}{3^2}+cfrac{1}{3^3}+cdots+cfrac{1}{3^n}-ncdotcfrac{1}{3^{n+1}})

则 (cfrac{2}{3}cdot T_n=cfrac{frac{1}{3}(1-frac{1}{3^n})}{1-frac{1}{3}}-ncdotcfrac{1}{3^{n+1}})

即 (cfrac{2}{3}cdot T_n=cfrac{1}{2}(1-cfrac{1}{3^n})-ncdotcfrac{1}{3^{n+1}})

则 (T_n=cfrac{3}{2} imescfrac{1}{2}(1-cfrac{1}{3^n})-cfrac{3}{2} imes n imescfrac{1}{3^{n+1}})(<cfrac{3}{4}(1-cfrac{1}{3^n})=cfrac{S_n}{2})，

故 (T_{n}<cfrac{S_n}{2}) ，证毕 .

〔解后反思〕：从第二问考查了错位相减法和放缩法来看，试题难度提升了。

【2021年高考乙卷文科数学第 (20) 题】 已知拋物线 (C: y^{2}=2px(p>0)) 的焦点 (F) 到准线的距离为 (2.)
(1). 求 (C) 的方程;

解析: 由题意知， 拋物线的焦点为 (F(cfrac{P}{2},0))，拋物线的准线为 (x=-cfrac{p}{2})，

故由 (cfrac{p}{2}-(-cfrac{p}{2})=2)， 解得 (p=2)，

故 (C) 的方程为 (y^{2}=4x) .

(2). 已知 (O) 为坐标原点，点 (P) 在 (C) 上，点 (Q) 满足 (overrightarrow{PQ}=9overrightarrow{QF})， 求直线 (OQ) 斜率的最大值.

分析：由于题目中涉及到向量的倍数关系，故我们联想到利用向量的坐标来刻画向量，这样我们采用抛物线的参数方程的形式来设点的坐标，就非常方便我们表达求直线 (OQ) 斜率。

解析：由于 (C) 的方程为 (y^{2}=4x) ，故设点 (P(4t^2,4t))，(tin R)，

又由于 (F(1,0)) ，设点 (Q(m,n)) ， 则 (overrightarrow{PQ}=(m-4t^2,n-4t)) ， (9overrightarrow{QF}=9(1-m,0-n)) ，

则由 (overrightarrow{PQ}=9overrightarrow{QF})，可得到 (left{egin{array}{l}{m-4t^2=9-9m}\{n-4t=-9n}end{array} ight.quad)

解得， (left{egin{array}{l}{m=cfrac{2}{5}t^2+cfrac{9}{10}}\{n=cfrac{2}{5}t}end{array} ight.quad)，由于 (k_{_{OQ}}=cfrac{n-0}{m-0})，

由图可知，当(tleqslant 0)时，点 (P) 和点 (Q) 均在第四象限，不符合题意，故我们只需要讨论 (t>0)时的情形即可；

故 (k_{_{OQ}})(=)(cfrac{frac{2}{5}t}{cfrac{2}{5}t^2+cfrac{9}{10}})(xlongequal[变量得以集中到分母位置]{分子分母同除以frac{2}{5}t}cfrac{1}{t+cfrac{9}{4t}})(leqslant cfrac{1}{2sqrt{tcdotcfrac{9}{4t}}})(=)(cfrac{1}{3})，

当且仅当 (t=cfrac{3}{2})时取到等号；

故 (k_{_{OQ}})的最大值为 (cfrac{1}{3}) .