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  • 异面直线所成的角

    前言

    两条共面直线所成的角的范围是: ([0,cfrac{pi}{2}]) ,两条异面直线所成的角的范围是 ((0,cfrac{pi}{2}]) .

    求解思路

    一般来说,常见的求解思路有两个。其一,转化法,具体做法,将两条异面直线中的一条平移到和另一条直线相交的位置,找到这两条相交直线所成的角或者其补角(必须保证其范围在 ((0,cfrac{pi}{2}]) 内),然后利用其所在的三角形来求解,此时可能用到余弦定理;其二,利用空间向量法求解。这一方法一般是理科学生要求掌握的,此时需要熟练掌握直线的方向向量,向量的内积公式,向量的坐标运算等 .

    典例剖析

    【2021年高考乙卷文数第(10)题理数第(5)题】 在正方体 (ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}) 中, (P)(B_{1}D_{1}) 的中点, 则直线 (PB)(AD_{1}) 所成的角为 【(quad)

    $A.cfrac{pi}{2}$ $B.cfrac{pi}{3}$ $C.cfrac{pi}{4}$ $D.cfrac{pi}{6}$

    解析: 由于 (AD_{1}//BC_{1}), 所以 (angle PBC_{1}) 是直线 (PB)(AD_{1}) 所成的角[或所成角的补角]准确的说法还需要添加这句话,或所成角的补角,原因是两条直线所成的角的范围是 ([0,cfrac{pi}{2}]) ,而图形中的角 (angle PBC_{1}) 的大小不一定在此范围内,

    设正方体 (ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}) 的棱长为 (2)

    (PB_{1}=PC_{1}=cfrac{1}{2}sqrt{2^{2}+2^{2}}=sqrt{2})

    (BC_{1}=sqrt{2^{2}+2^{2}}=2sqrt{2})(BP=sqrt{2^{2}+(sqrt{2})^{2}}=sqrt{6})

    所以 (cosangle PBC_{1}=cfrac{PB^{2}+BC_{1}^{2}-PC_{1}^{2}}{2 imes PB imes BC_{1}}=cfrac{6+8-2}{2 imessqrt{6} imes2sqrt{2}}=cfrac{sqrt{3}}{2})

    所以,(angle PBC_{1}=cfrac{pi}{6}), 则直线 (PB)(AD_{1}) 所成的角为 (cfrac{pi}{6}), 故选: (D) .

    【2017凤翔中学高三第三次月考第10题】【异面直线所成的角】长方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中,(AB)(=)(AA_1)(=)(2)(AD=1),则异面直线 (BC_1)(AC) 所成的角的余弦值是多少?

    法1:立体几何法,基本求解步骤:①作:作出所要求的角;②证:证明所作的角即为所求的角;③算:计算所作角的某种三角值;

    思路:将两条异面直线平移至一个三角形中,然后解三角形得到。

    (BC_1)平移到(AD_1),联结(CD_1),则(angle CAD_1)为两条异面直线所成的角,

    (Delta ACD_1)中,可知(AC=sqrt{5})(AD_1=sqrt{5})(CD_1=2sqrt{2})

    由余弦定理可知(cosangle CAD_1=cfrac{(sqrt{5})^2+(sqrt{5})^2-(2sqrt{2})^2}{2cdot sqrt{5}cdot sqrt{5}}=cfrac{1}{5})

    法2:空间向量法,

    以点(D)为坐标原点,分别以(DA、DC、DD_1)所在的直线为(x、y、z)轴建立如图所示的直角坐标系,

    则点(D(0,0,0))(A(1,0,0))(C(0,2,0))(B(1,2,0))(D_1(0,0,2))(A_1(1,0,2))(B_1(1,2,2))(C_1(0,2,2))

    (overrightarrow{BC_1}=(-1,0,2))(overrightarrow{AC}=(-1,2,0))

    设两条异面直线所成的角为( heta),则(cos heta=|cos<overrightarrow{BC_1},overrightarrow{AC}>|=cfrac{(-1) imes(-1)+0 imes2+2 imes 0}{sqrt{(-1)^2+0^2+2^2} imessqrt{(-1)^2+2^2+0^2}}=cfrac{1}{5})

    备注:两条异面直线所成角的范围([0,cfrac{pi}{2}]),两个向量所成角的范围([0,pi])

    【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第10题】已知正三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中,(AB=AA_1=2),则异面直线(AB_1)(CA_1)所成角的余弦值为【】

    $A.0$ $B.-cfrac{1}{4}$ $C.cfrac{1}{4}$ $D.cfrac{1}{2}$

    【法1-1】空间向量法,第一种建系方式;以点(A)为坐标原点,以(AC)(AA_1)分别为(y)(z)轴,以和(AC)垂直的直线为(x)轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

    (A(0,0,0))(B(sqrt{3},1,0))(A_1(0,0,2))(B_1(sqrt{3},1,2))(C(0,2,0))

    (overrightarrow{AB_1}=(sqrt{3},1,2))(overrightarrow{A_1C}=(0,2,-2)),且线线角的范围是([0,cfrac{pi}{2}])

    故所求角的余弦值为(|cos<overrightarrow{AB_1},overrightarrow{A_1C}>|=cfrac{|1 imes 2+2 imes(-2)|}{sqrt{8} imessqrt{8}}=cfrac{1}{4})。故选(C)

    【法1-2】空间向量法,第二种建系方式;以(BN)的中点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

    (A(1,0,0))(B(0,sqrt{3},0))(C(-1,0,0))(A_1(1,0,2))(B_1(0,sqrt{3},2))(C_1(-1,0,2))

    (overrightarrow{AB_1}=(-1,sqrt{3},2))(overrightarrow{A_1C}=(-2,0,-2)),且线线角的范围是([0,cfrac{pi}{2}])

    故所求角的余弦值为(|cos<overrightarrow{AB_1},overrightarrow{A_1C}>|=cfrac{|-1 imes (-2)+sqrt{3} imes 0+2 imes(-2)|}{sqrt{8} imessqrt{8}}=cfrac{1}{4})。故选(C)

    【法2】:立体几何法,补体平移法,将正三棱柱补体为一个底面为菱形的直四棱柱,连结(B_1D),则(B_1D//A_1C)

    故异面直线(AB_1)(CA_1)所成角,即转化为共面直线(AB_1)(B_1D)所成的角(angle AB_1D),连结(AD)

    (Delta AB_1D)中,(AB=AA_1=2),可得(AB_1=B_1D=2sqrt{2})(AD=2sqrt{3})

    由余弦定理可知,(cosangle AB_1D=cfrac{(2sqrt{2})^2+(2sqrt{2})^2-(2sqrt{3})^2}{2 imes 2sqrt{2} imes 2sqrt{3}}=cfrac{1}{4})

    故所求为(cfrac{1}{4}),故选(C)

    【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在长方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中,已知直线(BD)与平面(ADD_1A_1)所成角的正切值为(2),直线(BD_1)与平面(ABCD)所成角的正弦值为(cfrac{2}{3}),则异面直线(CD_1)(BD_1)所成角的余弦值为【】

    $A.cfrac{sqrt{10}}{5}$ $B.cfrac{3sqrt{5}}{10}$ $C.cfrac{sqrt{55}}{10}$ $D.cfrac{sqrt{15}}{5}$

    分析:如图所示,直线(BD)与平面(ADD_1A_1)所成角的为(angle BDA),则由(tanangle BDA=2),可以设(AB=2k)(AD=k),则(BD=sqrt{5}k),直线(BD_1)与平面(ABCD)所成角的为(angle D_1BD),则由(sinangle D_1BD=cfrac{2}{3}),可以设(DD_1=2m)(BD_1=3m),则(BD=sqrt{5}m)

    故可以令(m=k=1),则长方体的三维(AB=2)(AD=1)(DD_1=2),接下来的思路可以有两个:

    思路1:平移法,将异面直线(CD_1)(BD_1)通过平移放置到同一个三角形( riangle AVD_1)中,这样(AC=sqrt{5})(AD_1=sqrt{5})(CD_1=2sqrt{2}),则异面直线(CD_1)(BD_1)所成的角即为(angle AD_1C),由余弦定理可知(cos angle AD_1C=cfrac{sqrt{10}}{5}).故选(A).

    思路2:空间向量法,不作平移,直接利用直线的方向向量的夹角来求解;

    如图,正四面体(P-ABC)中,(D)(E)分别是(AB)(PC)的中点,则直线(AE)(PD)所成角的余弦值是多少?

    法1:空间向量法,如图所示,(PFperp)(ABC)(F)(Delta ABC)的中心,

    以点(D)为坐标原点,以(DF)(DB)以及与(FP)平行的直线分别为(x)(y)(z)轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    令正四面体的棱长为(2),则得到以下点的空间坐标

    (D(0,0,0))(A(0,-1,0))(B(0,1,0))

    (C(-sqrt{3},0,0))(P(-cfrac{sqrt{3}}{3},0,cfrac{2sqrt{6}}{3}))(E(-cfrac{2sqrt{3}}{3},0,cfrac{sqrt{6}}{3}))

    则有(overrightarrow{PD}=(cfrac{sqrt{3}}{3},0,-cfrac{2sqrt{6}}{3}))(overrightarrow{AE}=(-cfrac{2sqrt{3}}{3},1,cfrac{sqrt{6}}{3}))

    令异面直线(PD)(AE)的夹角为( heta),则有(cos heta)

    (=cfrac{|cfrac{sqrt{3}}{3}cdot (-cfrac{2sqrt{3}}{3})+0cdot 1+(-cfrac{2sqrt{6}}{3}cdot cfrac{sqrt{6}}{3})|}{sqrt{(cfrac{sqrt{3}}{3})^2+(-cfrac{2sqrt{6}}{3})^2}cdot sqrt{(-cfrac{2sqrt{3}}{3})^2+1^2+(cfrac{sqrt{6}}{3})^2}}=cfrac{2}{3})

    说明:向量的夹角范围为([0,pi]),两异面直线的夹角范围([0,cfrac{pi}{2}])

    法2:立体几何法,先作再证后算。

    思路:异面直线所成的角,一般是经过平移,使其相交,构建三角形来计算。

    过点(A)(AM//BC),过点(B)(BM//AC)(AM)于点(M)

    (F)(H)(G)分别是线段(PB)(AM)(BD)的中点,连接(HF)(FG)(HG)

    则有 (EF;;{}_{=}^{//}AH) ,则(AE//FH),又(PD//FG),故(angle HFG)为两条异面直线所成的角。

    设正四面体的棱长为(2),则(AE=FH=PD=sqrt{3})(FG=cfrac{sqrt{3}}{2})

    又在(Delta AHG)中,(AH=1)(AG=cfrac{3}{2})(angle HAG=60^circ)

    由余弦定理可知,(HG=cfrac{sqrt{7}}{2})

    (Delta HFG)中,(HF=sqrt{3})(FG=cfrac{sqrt{3}}{2})(HG=cfrac{sqrt{7}}{2})

    由余弦定理可知(cosangle HFG=cfrac{2}{3})

    高阶例题

    【2019届宝鸡理数质检Ⅲ第11题】异面直线 (a)(b) 所成的角为 (cfrac{pi}{6}) ,直线 (aperp c) ,则异面直线 (b)(c) 所成角的范围是【(quad)

    $A.[cfrac{pi}{3},cfrac{pi}{2}]$ $B.[cfrac{pi}{6},cfrac{pi}{2}]$ $C.[cfrac{pi}{3},cfrac{2pi}{3}]$ $D.[cfrac{pi}{6},cfrac{5pi}{6}]$

    分析:由于求异面直线所成角的范围,故需要先明确其允许的最大范围,是((0,cfrac{pi}{2}]),怎么理解呢?采用简单原则,当同一平面内的两条直线相交时形成两对对顶角,其中的邻角互补,这样我们刻画其位置关系时,仅仅只需要([0,cfrac{pi}{2}])范围内的角就足够了,不需要范围为([0,pi]),那么异面直线所成角的范围就成了((0,cfrac{pi}{2}])

    再者我们需要将已知的直线安放在空间,最好的依托就是正方体和长方体等模型,如下图所示,

    当异面直线(a)(b)所成的角为(cfrac{pi}{6}),直线(aperp c),那么异面直线(b)(c)所成角的范围最小是(cfrac{pi}{2}-cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{3}),最大是(cfrac{pi}{2}+cfrac{pi}{6}=cfrac{2pi}{3}),又由于刻画异面直线所成角的范围限制,故只能是([cfrac{pi}{3},cfrac{pi}{2}]),故选(A)

    【2020届宝鸡质检1文数第16题】如图所示,三棱锥(P-ABC)中,(PAperp)平面(ABC)(PA=)(AB)(=AC)(=BC)(=2)(E)(PC)的中点,求异面直线(AE)(PB)所成角的余弦值___________。

    法1:理科学生可以使用建立空间直角坐标系的思路求解;

    法2:平移构造三角形法,取(BC)的中点(F),连接(EF)(AF)

    则由(EF//PB),可知(angle AEF)即为两条异面直线(AE)(PB)所成的角,

    ( riangle AEF)中,容易知道(AE=EF=sqrt{2})(AF=sqrt{3})

    由余弦定理可知,(cosangle AEF=cfrac{1}{4})

    【北京人大附中高二】【2016浙江卷】如图,已知平面四边形(ABCD)(AB=BC=3)(CD=1)(AD)(=)(sqrt{5})(angle ADC=90^{circ}),沿直线(AC)( riangle ACD) 翻折成 ( riangle ACD'),则直线(AC)(BD') 所成角的余弦的最大值为__________。

    法1:几何法,通过作---证---算的步骤完成。

    如图所示,取(AC)的中点(O),由于(AB=BC=3),故(BOperp AC)

    (Rt riangle ACD')中,(AC=sqrt{1^{2}+(sqrt{5})^{2}}=sqrt{6})

    (D'Eperp AC),垂足为(E)(D'E=cfrac{1 imessqrt{5}}{sqrt{6}}=cfrac{sqrt{30}}{6})

    (CO=cfrac{sqrt{6}}{2})(CE=cfrac{DC^{2}}{CA}=cfrac{1}{sqrt{6}}=cfrac{sqrt{6}}{6}),故(EO=CO-CE=cfrac{sqrt{6}}{3})

    过点(B)(BF//AC),过点(E)(EF//BO)(BF)于点(F),则(EFperp AC)

    连接(D'F)(angle FBD')异面直线(AC)(BD')所成的角求作异面直线所成的角,常用的方法是将其中的一条直线平移和另一条共面,此时这两条共面直线所成的角,即两异面直线所成的角。故两异面直线所成的角的范围为((0,cfrac{pi}{2}]),此题目中,由于(AC)//(BF),故(angle FBD')即异面直线(AC)(BD')所成的角(quad)

    则四边形(BOEF)为矩形,所以(BF=EO=cfrac{sqrt{6}}{3})

    (EF=BO=sqrt{3^{2}-(cfrac{sqrt{6}}{2})^{2}}=cfrac{sqrt{30}}{2})

    (angle FED')为二面角 (D'-CA-B)的平面角,设为( heta)

    (D'F^{2}=(cfrac{sqrt{30}}{6})^{2}+(cfrac{sqrt{30}}{2})^{2}-2 imescfrac{sqrt{30}}{6} imescfrac{sqrt{30}}{2} imescos heta)

    (=cfrac{25}{3}-5cos heta geqslant cfrac{10}{3}),当(cos heta=1) 时取等号,

    (BD')的最小值 (BD'_{min}=sqrt{cfrac{10}{3}+(cfrac{sqrt{6}}{3})^{2}}=2)

    故直线(AC)(BD')所成角(alpha)的余弦(Rt riangle BFD')中,(cos)(alpha)(=)(cfrac{邻}{斜}),由于邻边(BF)长度不变,故斜边(BD')最小时,(cosalpha)的值最大;(quad)的最大值([cosalpha]_{max}=cfrac{BF}{BD'}=cfrac{frac{sqrt{6}}{3}}{2}=cfrac{sqrt{6}}{6})

    法2: 也可以考虑使用空间向量法;

    本文来自博客园,作者:静雅斋数学,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/14962356.html

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