分式函数的单调性及应用

前言

关于分式函数，我们的普遍感受是这类函数不太好掌握，当涉及到单调性的应用问题时，我们应该想到图像法和导数法，更应该意识到此时应用导数法有很大的出错可能，而且出错以后往往想不清楚错在哪里。

部分分式

$f(x)$=$cfrac{x}{x-1}$我们称$cfrac{x}{x-1}$为整体分式，由于分子分母位置都有自变量，如果不对其作相应的变形，则我们根本看不透其单调性；$quad$=$cfrac{x-1+1}{x-1}$$=$$1+cfrac{1}{x-1}$我们称$1+cfrac{1}{x-1}$为部分分式；其中第一部分$1$为整式，第二部分$cfrac{1}{x+1}$为分式，由于整体不是分式，故称为部分分式；不过这个等价变形太好了，自变量只出现在部分分式的分母位置上，这样非常方便判断单调性，也方便我们做函数的图像

[方法储备]：上述变形中最常用的两个变形为换元法和配凑法；

变换之路

作函数(g(x)=cfrac{x}{x-1})的图像；

分析：准备作图前的变换，(g(x)=cfrac{x}{x-1}=1+cfrac{1}{x-1})；

选(y=cfrac{1}{x})为变换作图的模板函数，开始变换如下，

[基本作图]：(y=cfrac{1}{x}) (Rightarrow) (y=cfrac{1}{x-1}) (Rightarrow) (y=1+cfrac{1}{x-1}) (Rightarrow) 对称中心为((1,1))；

[快速作图]：相当于基本作图的简化版本，首先找到对称中心((1,1))，过此点分别作直线(x=1)和(y=1)，这是两条渐*线；由两条渐*线将*面分为类似的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限，此时观察部分分式的分子[请确保分式的前面是(+)号，如果是(-)号，将减号移到分子上，部分分式的前面仍然写加号]，如果分子为正，则在类第Ⅰ和类第Ⅲ象限内作函数的图像，如图所示；

如果分子为负，则在类第Ⅱ和类第Ⅳ象限内作函数的图像；

作函数(y=cfrac{5x+1}{2x-1})的图像；

分析：先做相应的变形，(y=cfrac{5x+1}{2x-1}=cfrac{5(x+frac{1}{5})}{2(x-frac{1}{2})}=cfrac{5}{2}cdot cfrac{x+frac{1}{5}}{x-frac{1}{2}})

(=cfrac{5}{2}cdot (1+cfrac{frac{7}{10}}{x-frac{1}{2}})=cfrac{5}{2}+cfrac{frac{7}{4}}{x-frac{1}{2}})

快速作图：对称中心为((cfrac{1}{2},cfrac{5}{2}))；(cfrac{7}{4}>0)，在类第Ⅰ和第Ⅲ象限作图，如下所示：

引申结论：

• ①函数(f(x)=b+cfrac{c}{x-a})，(a)，(b)，(c)为常数，则其对称中心为((a,b))；
• ②如果(c>0)，则单调递减区间为((-infty,a))和((a,+infty))；如果(c<0)，则单调递增区间为((-infty,a))和((a,+infty))；
• ③其解析式必然满足(f(x)+f(2a-x)=2b)；

相关变形

• 这些变形是在分式函数中很常用的：分子分母同乘法(igg [cfrac{2^{-x}}{2^{-x}+1})(=)(cfrac{2^{-x}cdot 2^x}{(2^{-x}+1)cdot 2^x})(=)(cfrac{1}{2^x+1}igg])，分式裂项法(igg[cfrac{b+c}{a})(=)(cfrac{b}{a})(+)(cfrac{c}{a}igg])，配凑法，换元法，需要切实掌握；

(f(x)=cfrac{2^x+3}{1+2^{x+1}}=cfrac{cfrac{1}{2}(1+2^{x+1})+cfrac{5}{2}}{1+2^{x+1}}=cfrac{1}{2}+cfrac{5}{2(1+2^{x+1})})

(f(x)=cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=cfrac{(e^x-e^{-x})cdot e^x}{(e^x+e^{-x})cdot e^x}=cfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=cfrac{e^{2x}+1-2}{e^{2x}+1}=1-cfrac{2}{e^{2x}+1})

• 那么，如何才能做到随便给个分式，我都有单调性的变形思路呢？

其一，熟练掌握形如(y=cfrac{5x+1}{2x-1})的分式[分子分母都是一次式]变形；其二，深入理解代数式，其中(x)可以替换为指数式(2^x)，可以替换为对数式(log_2x)，或三角式(sin x)等等，故碰到如下的：

(f(x)=cfrac{5cdot3^x+1}{2cdot3^x-1}xlongequal{3^xRightarrow x}cfrac{5(3^x+frac{1}{5})}{2(3^x-frac{1}{2})}=cfrac{5}{2}cdot cfrac{3^x+frac{1}{5}}{3^x-frac{1}{2}})

(=cfrac{5}{2}cdot (1+cfrac{frac{7}{10}}{3^x-frac{1}{2}})=cfrac{5}{2}+cfrac{frac{7}{4}}{3^x-frac{1}{2}})

令(3^x-cfrac{1}{2}=0)，则(x=-log_32)，

故由复合函数法可知，函数(f(x))在((-infty,-log_32))上单调递减，在((-log_32,+infty))上单调递增.

典例剖析

已知函数(f(x)=cfrac{x-a}{2x-1})在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，求参数(a)的取值范围。

法1：导数法，这个方法非常容易出错；

由于函数在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，

故(f'(x)=cfrac{2a-1}{(2x-1)^2}leq 0)在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上恒成立，

即(2a-1leq 0)恒成立，得到(aleq cfrac{1}{2})，

检验，但是当(a=cfrac{1}{2})时，代入原函数得到(f(x)=cfrac{1}{2})，为常函数，则要舍去，故(a<cfrac{1}{2})。

法2：图像法，将函数变形为(f(x)=cfrac{-a+cfrac{1}{2}}{2x-1}+cfrac{1}{2})，

即函数的对称中心是((cfrac{1}{2}，cfrac{1}{2}))，如果要函数在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，

只需要(-a+cfrac{1}{2}>0)即可，故(a<cfrac{1}{2})。

设函数(f(x)=cfrac{ax+1}{x+2a})在区间((-2,+infty))上是增函数，那么(a)的取值范围是__________.

法1：利用数形结合法求解，

由于(f(x)=cfrac{ax+2a^2-2a^2+1}{x+2a}=a+cfrac{1-2a^2}{x+2a})，

由于函数在区间((-2,+infty))上是增函数，

所以 (left{egin{array}{l}1-2a^2<0\-2aleqslant-2end{array} ight.)，解得 (ageqslant 1)，故 (ain [1,+infty)) .

法2：导数法，非常容易出错，

(f'(x)=cfrac{acdot(x+2a)-(ax+1)cdot1}{(x+2a)^2}=cfrac{2a^2-1}{(x+2a)^2})，

由于函数在区间((-2,+infty))上是增函数，

故(f'(x)geqslant 0)在区间((-2,+infty))上恒成立，且函数不是常函数，

故(2a^2-1geqslant0)，解得 (aleqslant -cfrac{sqrt{2}}{2})或 (ageqslant cfrac{sqrt{2}}{2})

验证，当 (a=pmcfrac{sqrt{2}}{2})时，函数(f(x)=pmcfrac{sqrt{2}}{2})，为常函数，故舍去，

则 (a)的取值范围应该是 (a<-cfrac{sqrt{2}}{2})或 (a>cfrac{sqrt{2}}{2}) . 这个解法是错误的。

解后反思：法2为什么会出错，到底错在了哪里，估计好多学生还找不到出错的原因。

当我们只要求(f'(x)geqslant 0)时，并没有保证函数在区间((-2,+infty))上的每一个值都有意义，由图像可以看出函数在((-2,+infty))在某一点处图像是间断的，故这种解法是错误的。