思维|奇偶性周期性对称性的高阶认知

前言

当三个性质出现在题目中时，如何准确区分这些容易混淆的性质，是我们应该具备的高阶素养。

常用性质

• 周期性

典型的范式如(f(x+2)=f(x))，则(T=2)；

其等价变形如(f(x+1)=f(x-1))，则(T=2)；

其他表现形式如(f(x+2)=-f(x))，则(T=2 imes2=4)等，

• 奇偶性

典型的范式如(f(-x)=-f(x))，等价变形如(f(-x)+f(x)=0)；

则函数为奇函数，关于点((0，0))对称；

典型的范式由(f(-x)=f(x))，等价变形如(f(-x)-f(x)=0)；

则函数为偶函数，关于直线(x=0)对称；

• 对称性

典型的范式如由(f(2-x)+f(x)=2)，注意等价变形(f(2-x)=2-f(x))；

则可知函数关于点((1，1))对称；

对称中心((x_0，y_0))的求法如下：

(x_0=cfrac{(2-x)+x}{2}=1)，(y_0=cfrac{y_1+y_2}{2}=cfrac{f(2-x)+f(x)}{2}=1)；

典型的范式如由(f(4-x)=f(x))，注意等价变形(f(4-x)-f(x)=0)；

则可知函数关于直线(x=2)对称，

其中对称轴(x=x_0)的求法如下：(x_0=cfrac{(4-x)+x}{2}=2)；

廓清认知

当三个性质出现在题目中时，如何准确区分这些容易混淆的性质，是我们应该具备的高阶素养。

【周期性】两个自变量的整体相加不能消掉(x)的就表现为周期性由于周期性体现的是函数图像的左右平移，其实质是用(x+phi)替换(x)，故自变量前面的符号是相同的；；

如由(f(x+2)=f(x))，则(T=2)，如由(f(x+2)=-f(x))，则(T=4)，

【对称性】两个自变量的整体相加能消掉(x)的就表现为对称性对称性体现的是图像的对称，其横坐标必然会针对对称轴向左右平移相同的(|x|)个单位，故其自变量前面的符号是相反的；；

如由(f(-x)+f(x)=0)，对称中心为((0，0))，即奇函数；特殊的对称性。

如由(f(4-x)+f(x)=2)，对称中心为((2，1))，即一般的对称性，中心对称；

如由(f(-x)-f(x)=0)，对称轴为(x=0)，即偶函数，特殊的对称性；

如由(f(2-x)-f(x)=0)，对称轴为(x=1)，即一般的对称性，轴对称；

思维盲点

函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

• 对称性+奇偶性(Longrightarrow)周期性的变形例子

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(2-x)=f(x))，

则由(egin{align*} f(2-x)&=f(x) \ - f(-x)&= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow)周期(T=4)

• 奇偶性+周期性(Longrightarrow)对称性的变形例子

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(x+4)=-f(x))，

则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)

• 对称性+周期性(Longrightarrow)奇偶性的变形例子

如，已知函数(f(x))的周期是2，且满足(f(2+x)=f(-x))，

则由(egin{align*} f(2+x) &=f(-x) \ f(2+x) &= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(-x)= f(x)Longrightarrow)函数(f(x))是偶函数。

难点突破

• 函数性质综合应用中的难点，注意对比两个例子中的单调性和图像，比如

（1）.已知定义在(R)上的奇函数(f(x))，在((0，+infty))上单调递增，则函数图像可能是①，而不可能是②；

（2）.已知定义在(R)上的奇函数(f(x))，在([0，+infty))上单调递增，则函数图像可能是②，而不可能是①；

• 注意，还需要加强的是数学应用意识；即由文字语言到数学符号语言；

比如知道对称轴(x=1)，我们应该能顺利写出(f(x+2)=f(-x))，或(f(-x+2)=f(x))，或(f)(()(1)(+)(x)())(=)(f)(()(1)(-)(x)())，其实这几种表达形式的实质都是相同的，具体选用哪一个看我们的题目需要；再比如，知道函数的对称中心((1，1))，你就应该能写出(f(2-x)+f(x)=2)，或(f(1-x)+f(1+x)=2)等等；

典例列举

【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下条件：

①对任意的(xin R)，都有(f(x+2)=f(x-2)) ；

②函数(y=f(x+2))是偶函数 ；

③当(xin(0，2])时，(f(x)=e^x-cfrac{1}{x}) ，

若已知(a=f(-5))，(b=f(cfrac{19}{2}))，(c=f(cfrac{41}{4}))，则(a)，(b)，(c)的大小关系是【(qquad)】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足(f(x+4)=f(x))，其周期是(4) ；

由②可知(y=f(x))的对称轴是(x=2)，可以表达为(f(x+4)=f(-x)) ，

那么在结合(f(x+4)=f(x))，可知(f(-x)=f(x))，则函数(f(x))还是偶函数 ；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数(f(x))在区间((0，2])上单调递增 ，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了 。

(a=f(-5))(xlongequal{周期性})(f(-1))(xlongequal{奇偶性})(f(1)) ；

(b=f(cfrac{19}{2}))(xlongequal{周期性})(f(cfrac{3}{2}))(=)(f(1.5)) ；

(c=f(cfrac{41}{4}))(xlongequal{周期性})(f(2+cfrac{1}{4}))(xlongequal{已知表达式})(f(cfrac{1}{4}-2))(xlongequal{偶函数})(f(2-cfrac{1}{4}))(=)(f(1.75)) ；

由(f(x))在区间((0，2])上( earrow)，(1<1.5<1.75) ，

则有(f(1)<f(1.5)<f(1.75))，即(a<b<c)，故选(D) 。

【2021西安高三月考】已知(f(x))是定义在(R)上的函数，若(y)(=)(f(x+1))为偶函数，且(f(2+x))(=)(-)(f(2-x))，则(f(x))是【(qquad)】

$A$.周期为$2$的奇函数

$B.$周期为$4$的奇函数

$C.$周期为$2$的偶函数

$D.$周期为$4$的偶函数

分析：本题目对学生的数学素养要求比较高，主要是函数的性质都是用数的形式给出的，好多学生对此很不熟悉；以下逐条分析对各种性质的认知，

其一：比如(y=f(x+1))为偶函数，是为了给出(f(x))的对称性，为什么，[从数的角度解释，不好理解]由(y=f(x+1))为偶函数，则(f(x+1)=f(-x+1))，则(f(x))关于直线(x=1)对称；[从形的角度理解，相对好理解]由于(y=f(x+1))为偶函数，则(f(x+1))的对称轴为直线(x=0)，将其向右平移一个单位((x-1)替换(x))，得到(f(x))，则其对称轴也由(x=0)平移到(x=1)，故(f(x))关于直线(x=1)对称；

其二：(f(2+x)=-f(2-x))，刻画的是函数的中心对称性，将其等价变形为(f(2+x)+f(2-x)=0)，则其关于点((2,0))中心对称，由此我们可以写出(f(4+x)+f(-x)=0)，或写出(f(4-x)+f(x)=0)；

其三：思维的盲点，由对称性和奇偶性结合可以推出周期性，由周期性和对称性结合可以推出奇偶性；由周期性和奇偶性结合可以推出对称性；

解析：由于(y=f(x+1))为偶函数，则(f(x))关于直线(x=1)对称，即(f(x+2)=f(-x))①，

又由于(f(2+x)+f(2-x)=0)，则其关于点((2,0))中心对称，由此得到(f(4+x)+f(-x)=0)②，

则①式代入②式，即(f(x+4)+f(x+2)=0)，此时将(x+2)替换为(x)，即(f(x+2)+f(x)=0)，

即(f(x+2)=-f(x))，故(T=4)；

又由于周期为(4)，则(f(x+4)=f(x))，则对(f(2+x)=-f(2-x))施加周期性，

得到 (f(2+x)=f(2+x-4)=f(x-2))，

即(f(x-2)=-f(2-x))，即(f(x-2)+f(2-x)=0)，

故(f(x))关于点((0,0))对称，即(f(x))为奇函数，综上选(B).