判别式法求值域

前言

判别式法求值域，使用的频度不是很高，但是其原理需要注意，其常与分式型函数有关。

原理解析

求函数(f(x)=cfrac{2x^2-x+1}{x^2+x+1})的值域。

分析：观察这个分式函数的结构特征，注意到函数的定义域为 (R)，将函数转化为以 (x) 为未知数的一元二次方程[此时的因变量 (y) 看成系数方程的对应系数]，

[(y-2)x^2+(y+1)x+y-1=0 ]

由于这个函数不是空函数，即这个方程一定是有解的，分类讨论如下：

1(^{circ}). 当(y=2)时，此时方程变形为一次方程，简化为(3x+1=0)，

解得(x=-cfrac{1}{3})，故(y=2)的值是满足题意的，

2(^{circ}). 当(y eq 2)时，此时方程为二次方程，那么由定义域为(R)可知，

这个二次方程在实数范围内一定有解，故(Delta ge 0)，

即(Delta =(y+1)^2-4(y-2)(y-1)ge 0)且(y eq 2)，

解得(yin[cfrac{7-2sqrt{7}}{3}，2)cup(2，[cfrac{7+2sqrt{7}}{3}])。

综上所述，函数的值域为(yin[cfrac{7-2sqrt{7}}{3}，cfrac{7+2sqrt{7}}{3}])。

〔解后反思〕：

1、为什么判别式法要求函数的定义域要是(R)？由上述分类讨论中的第二步可知，二次方程在实数范围内一定有解才能得到(Delta geqslant 0)，如果定义域不是(R)(比如是(x eq 2))，那么这时候仅仅限制(Delta ge 0)是不够的，还需要限制(x eq 2)，反倒就体现不出来判别式法的简洁性了。

2、能顺利使用判别式法的分式函数，一般分母的(Delta <0)，这样就保证了定义域是(R)，且都是形如这样的分式函数，如(f(x))(=)(cfrac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f})，或者(f(x))(=)(cfrac{ax+b}{dx^2+ex+f}) 型；

3、这样的函数(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})能用判别式吗？一般怎么求解值域？

分析：大家能看到这个函数的定义域是(x eq 2)，所以我们一般不用判别式法，否则你仅仅利用条件(Delta ge 0)来限制是不够的，肯定要出错，那么我们一般怎么做呢，注意到分子分母的最高次是二倍的关系，故常常朝对勾函数转化，

[h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2}xrightarrow{x-2=t}t+cfrac{1}{t} ]

到此可以看到，函数图像的左右平移变换不会影响值域，故所求函数(h(x))的值域一定和函数(g(t)=t+cfrac{1}{t})的值域是一样的。用基本不等式法，我们知道这个函数的值域是((-infty，-2]cup [2，+infty))。故函数的值域为(h(x)in (-infty，-2]cup [2，+infty))。

廓清认知

• 为什么定义域不是 (R) 的分式函数也能使用判别式法求值域呢？

函数 (y=cfrac{3 x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x-1}) 的值域是_____________ .

解：当定义域不是 (R) [即分母函数的(Deltageqslant 0)]时，我们必须先研究函数的定义域，否则在算理上是有漏洞的，

由(x^{2}+x-1 eq0)，解得(x eqcfrac{-1pmsqrt{5}}{2})，

即定义域为((-infty)(,)(cfrac{-1-sqrt{5}}{2}))(cup)((cfrac{-1-sqrt{5}}{2})(,)(cfrac{-1+sqrt{5}}{2}))(cup)((cfrac{-1+sqrt{5}}{2})(,)(+infty))，

由于函数解析式为 (y=cfrac{3x^{2}+3x+1}{x^{2}+x-1})，将 (y) 视为系数，分式化为整式，

整理得到关于(x)的仿二次方程，即 ((y-3)x^{2}+(y-3)x-(y+1)=0)，分类讨论如下：

当 (y=3) 时， 上述方程即 (0 imes x^2+0 imes0-4=0)，方程无解；

当 (y eq 3) 时，要使方程有解时，需满足 (Delta=(y-3)^{2}+4(y-3)(y+1)geqslant 0) ，

且必须满足(x eqcfrac{-1pmsqrt{5}}{2})，否则原分式函数不存在为了验证(y)的取值能保证分母不为零，此时从正面验证不好做，可以这样考虑，若(y)的取值使得方程变为(x^2)(+)(x)(-)(1)(=)(0)的形式，会解得(x)(=)(cfrac{-1pmsqrt{5}}{2})，而只有当(left{egin{array}{l}y-3=k\y+1=kend{array} ight.)时[方程的系数可能成比例]，方程((y-3))(x^{2})(+)((y-3))(x)(-)((y+1))(=)(0)才会变成(x^2)(+)(x)(-)(1)(=)(0)，而现在的情形是满足(left{egin{array}{l}y-3=k\y+1=kend{array} ight.) 的(y)值是不存在的，说明(y)的取值不会导致原函数分母为零，故此时仅利用(Deltageqslant 0)求解是不会出错的。那么是不是任意的系数都能保证这一点，没有经过严谨的证明我们不好说。，

即 (5y^{2}-14y-3geqslant 0)， 解得 (y leqslant-cfrac{1}{5}) 或 (y>3)，

所以 (y=cfrac{3 x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x-1}) 的值域为 (left(-infty,-cfrac{1}{5} ight] cup(3,+infty)).

对应练习

求函数 (y=cfrac{1}{2x^2+x-1}) 的值域

提示： (y>0) 或 (yleqslant-cfrac{8}{9})