函数的整体奇偶性与部分奇偶性

前言

在学习函数的奇偶性时，学习和理解的是整体奇偶性，但在高考的考查中常常涉及函数的部分奇偶性，要是打不开这个思维的症结，就很难解决这类问题。比如，函数(f(x))(=)(x)(+)(sinx)整体具有奇偶性，是奇函数，但是函数(g(x))(=)(x)(+)(sinx)(+)(1)整体不具有奇偶性，但其组成部分(y)(=)(x)(+)(sinx)却具有奇偶性。

特别的，原来没有奇偶性的函数，如(h(x)=e^x)或(g(x)=e^{-x})，进行四则运算后，又有了奇偶性。

如(f(x))(=)(e^x)(+)(cfrac{1}{e^x})(=)(e^x)(+)(e^{-x})，偶函数；如(f(x))(=)(e^x)(-)(cfrac{1}{e^x})(=)(e^x)(-)(e^{-x})，奇函数；

典例剖析

• 整体具有奇偶性

已知函数(g(x)=f(2x)+x^2)是奇函数，且(f(2)=3)，则(f(-2))=【(qquad)】

$A.-2$ $B.-5$ $C.-1$ $D.-3$

解：由于函数(g(x))为奇函数，故满足(g(-x)+g(x)=0)；

令(x=1)，则得到(g(1)=f(2)+1)，令(x=-1)，则得到(g(-1)=f(-2)+1)，

两式相加，得到(g(1)+g(-1)=f(2)+1+f(-2)+1=0)，即(f(2)+f(-2)+2=0)

又(f(2)=3)，代入求得(f(-2)=-5)，故选(B).

【抽象函数】【函数性质的综合应用】已知函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，且对任意实数(m)，(n)都满足(f(m))(+)(f(n-m))(=)(f(n))，若(f(1))(=)(-1)，则满足(-1)(leq)(f(x-1))(leq)(1)的(x)的取值范围是【(qquad)】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

分析：本题目的难点之一是用赋值法确定函数的奇偶性，

令(m=n=0)，得到(f(0)+f(0-0)=f(0))，则(f(0)=0)，

再令(n=0)，得到(f(m)+f(-m)=f(0)=0)，即(f(-m)=-f(m))，

即函数(f(x))为奇函数，故由(f(1)=-1)，得到(f(-1)=1)，

这样原不等式(-1leq f(x-1)leq 1)可变形为(f(1)leq f(x-1)leq f(-1))，

又由于函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，

则去掉对应法则的符号得到，(-1leq x-1leq 1)，

解得(0leq xleq 2)，故选(C)。

• 部分具有奇偶性

已知函数(f(x)=cfrac{x^2+x+1}{x^2+1})，若(f(a)=cfrac{2}{3})，求(f(-a))的值；

分析：在使用函数的奇偶性解题是要注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，

(f(x)=cfrac{x^2+1+x}{x^2+1}=1+cfrac{x}{x^2+1})，而原函数的局部(g(x)=cfrac{x}{x^2+1})有奇偶性，

且(g(x)=cfrac{x}{x^2+1})是奇函数，满足(g(-x)+g(x)=0)，

故(f(-x)+f(x)=1+g(-x)+1+g(x)=[g(-x)+g(x)]+2=2)，即(f(-a)+f(a)=2)，

解得(f(-a)=2-cfrac{2}{3}=cfrac{4}{3}).

其实，本题还能推出函数(f(x))关于点((0，1))对称。

反思：注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，恰当利用，能方便我们的解题。

设函数(f(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x+1)，若(f(3)=10)，则(f(-3))=【(qquad)】

$A.-8$ $B.-10$ $C.-9$ $D.-11$

分析：令(g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x)，

则(g(x))为奇函数，则(g(-x)=-g(x))，

这样(f(x)=g(x)+1)，由于(f(3)=g(3)+1=10)，

令(f(-3)=m=g(-3)+1)，两式相加得到，

(g(3)+1+g(-3)+1=10+m)，即(g(3)+g(-3)+2=10+m)，即(2=10+m)，

解得(m=-8)，即(f(-3)=-8)，故选(A)。

若定义在(R)上的偶函数(f(x))和奇函数(g(x))满足(f(x)+g(x)=e^x)，则(g(x))= 【(qquad)】

$A.e^x-e^{-x}$ $B.cfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ $C.cfrac{1}{2}(e^{-x}-e^x)$ $D.cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

分析：由题目可知，(f(-x)=f(x))，(g(-x)=-g(x))，

又由于(f(x)+g(x)=e^x)①，则(f(-x)+g(-x)=e^{-x})，即(f(x)-g(x)=e^{-x})②，

联立①②解方程，可得(g(x)=cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x}))，故选(D)。