对数运算

前言

注意以下两种核心运算的比较：

(4^{frac{1}{2}log_2{10}}=(4^{frac{1}{2}})^{log_2{10}}=2^{log_2{10}}=10)

(4^{frac{1}{2}+log_2{10}}=4^{frac{1}{2}}cdot 4^{log_2{10}}=2cdot 2^{2log_2{10}}=2cdot 2^{log_2{10^2}}=200)

对数公式

(a^b=N)(指数式)(Longleftrightarrow) (b=log_aN)(对数式)；

对数的性质：(log_a1=0)，(log_aa=1)；

对数的运算法则：

(log_aMN=log_aM+log_aN)；注意字母的取值，(a>0)且(a eq1)，(M>0)且(N>0)，学生在做变换时容易忘记(M>0)且(N>0)；

(log_acfrac{M}{N}=log_aM-log_aN)；(log_aM^n=nlog_aM)；

对数恒等式：(a^{log_aN}=N)从左到右使用，是指数式的化简；从右到左使用，是常数指数化，在求解指数型不等式时需要用到；；(log_aa^{N}=N)从左到右使用，是对数式的化简；从右到左使用，是常数对数化，在求解对数型不等式时需要用到；；

对数换底公式：(log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a eq 1;c>0,c eq 1;b>0))

常用公式1：(log_abcdot log_bccdot log_cd= log_ad)；(log_abcdot log_bccdot log_ca= log_aa=1)；

(log_abcdot log_ba=1)；(lne=1)；(lg2+lg5=lg10=1)；

常用公式2：(log_{a^m}{b^n}=cfrac{n}{m}log_ab(m，nin R，a>0，a eq 1，b>0))

③正用、逆用、变用公式；

(log_aM+log_aN=log_aMN)；(log_aM-log_aN=log_acfrac{M}{N})；

(nlog_aM=log_aM^n)；(cfrac{n}{m}log_ab=log_{a^m}{b^n})

④错用公式：(log_a(M+N)=log_aM+log_aN)；(log_a(Mcdot N)=log_aMcdot log_aN)；

典例剖析

求值： (lg sqrt{5}+lg sqrt{2}-4^{log _{2} 3}-left(3 frac{3}{8} ight)^{frac{1}{3}}+left(frac{1}{64} ight)^{-frac{2}{3}}=)__________

解：原式(=lgsqrt{10}-2^{2log_{2} 3}-left(cfrac{27}{8} ight)^{frac{1}{3}}+left[left(cfrac{1}{4} ight)^{3} ight]^{-frac{2}{3}})

(=cfrac{1}{2}-9-cfrac{3}{2}+16=6)

化简 (log _{2.5} 6.25+lg 0.001+2 ln sqrt{e}-2^{1+log _{2} 3}=)___________

解：原式(=log _{2.5} 2.5^2+lg 0.001+ln e-2 imes 2^{log _{2} 3})

(=2+lg 10^{-3}+1-6=2-3+1-6=-6)

计算： (log _{3}sqrt{27}+lg 25+lg 4-7^{log _{7} 2}+log _{4} 2=)________

解: (log _{3} sqrt{27}+lg 25+lg 4-7^{log _{7} 2}+log _{4} 2)

(=cfrac{1}{2} log _{3} 27+(lg 25+lg 4)-2+cfrac{1}{2} log _{4} 4=cfrac{3}{2}+2-2+cfrac{1}{2}=2)

计算: (log _{3} frac{sqrt[4]{27}}{3} cdot log _{sqrt{3}}left[4^{frac{1}{2} log _{2} 10}-(lg 5)^{2}-lg 2 cdot lg 50 ight]=)___________

解：原式(=log _{3} frac{3^{frac{3}{4}}}{3} cdot log _{sqrt{3}}left[(4^frac{1}{2})^{log _{2} 10}-lg 5 cdot lg 5-lg 2 cdot(lg 5+lg 10) ight])

(=log _{3} frac{3^{frac{3}{4}}}{3} cdot log _{sqrt{3}}left[2^{log _{2} 10}-lg 5 cdot lg 5-lg 2 cdot(lg 5+lg 10) ight])

(=(cfrac{3}{4}-1)cdotlog _{sqrt{3}}[10-lg 5 cdot(lg 5+lg 2)-lg 2])

(=-cfrac{1}{4} log _{sqrt{3}} 9=-cfrac{1}{4}cdotcfrac{2}{frac{1}{2}}cdotlog_33=-1)

计算: (125^{frac{2}{3}}+left(frac{1}{2} ight)^{-2}-left(frac{1}{27} ight)^{-frac{1}{3}}+100^{frac{1}{2}}+cfrac{lg 3+frac{1}{4} lg 9-lg sqrt{3}}{lg 81-lg 27}=)__________

解： 原式 (=125^{frac{2}{3}}+(cfrac{1}{2})^{-2}-(cfrac{1}{27})^{-frac{1}{3}}+100^{frac{1}{2}}+cfrac{lg 3+frac{1}{4} lg 9-lg sqrt{3}}{lg 81-lg 27})

(=25+4-3+10+cfrac{lg 3+lg 9^{frac{1}{4}}-lg sqrt{3}}{lg frac{81}{27}}=36+cfrac{lg 3}{lg 3}=37)

计算: (cfrac{log _{5} 8 cdot log _{2} 5+25^{log _{5} 3}}{lg 4+lg 25}+5 log _{3} 2-log _{3} frac{32}{9}=)______

解：原式 (=cfrac{3 log _{5} 2 cdot log _{2} 5+5^{2 imes log _{5} 3}}{lg 100}+log _{3} 2^{5}-log _{3} cfrac{32}{9})

(=cfrac{3+9}{2}+log _{3} 9=8)

计算: (log _{3} frac{sqrt[4]{27}}{3} cdot log _{5}left[4^{frac{1}{2} log _{2} 10}-(3 sqrt{3})^{frac{2}{3}}-7^{log _{7} 2} ight]+log _{2} 3 cdot log _{3} 8=)_________

解：原式 (=log_{3}frac{3^{frac{3}{4}}}{3}cdot log _{5}left[4^{frac{1}{2} log _{2} 10}-(3 sqrt{3})^{frac{2}{3}}-7^{log _{7} 2} ight]+log _{2} 3 cdot log _{3} 8=)

(=log _{3} 3^{frac{3}{4}-1} cdot log _{5}left[2^{log _{2} 10}-left(3^{frac{3}{2}} ight)^{frac{2}{3}}-7^{log _{2} 2} ight]+log _{2} 3 cdot log _{3} 2^{3})

(=-cfrac{1}{4} cdot log _{5}(10-3-2)+3 log _{2} 3 cdot log _{3} 2=-cfrac{1}{4}+3=cfrac{11}{4})

若 (lg 2=a)， (lg 3=b)， 则 (log_{4} 18=) 【(qquad)】

$A.cfrac{a+3 b}{a^{2}}$ $B.cfrac{a+3 b}{2 a}$ $C.cfrac{a+2 b}{a^{2}}$ $D.cfrac{a+2 b}{2 a}$

解析： (log _{4} 18=cfrac{lg 18}{lg 4}=cfrac{lg 2+2 lg 3}{2 lg 2})，

因为 (lg 2=a)， (lg 3=b), 所以 (log _{4} 18=cfrac{a+2 b}{2 a}) 故选 (mathrm{D}).

设 (g(x)=ln left(2^{x}+1 ight)), 则 (g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)=) 【(qquad)】

$A.-1$ $B.1$ $C.ln2$ $D.-ln2$

详解：(g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)=[g(4)-g(-4)]+[g(-3)-g(3)])

(=left[ln left(2^{4}+1 ight)-lnleft(2^{-4}+1 ight) ight]+left[ln left(2^{-3}+1 ight)-lnleft(2^{3}+1 ight) ight])

(=lncfrac{2^{4}+1}{2^{-4}+1}+lncfrac{2^{-3}+1}{2^{3}+1})

(=ln 2^{4}+ln 2^{-3}=ln left(2^{4} cdot 2^{-3} ight)=ln 2)，故选 (C)

已知函数 (f(x)=ln left(sqrt{1+9 x^{2}}-3 x ight)+1)， 则 (f(lg 2)+fleft(lg cfrac{1}{2} ight)=)【(qquad)】

$A.2$ $B.0$ $C.1$ $D.-1$

详解：由题得 (f(lg 2)+fleft(lg cfrac{1}{2} ight)=f(lg 2)+f(-lg 2))，

令 (F(x)=ln left(sqrt{1+9 x^{2}}-3 x ight)), 则 (F(-x)=ln left(sqrt{1+9 x^{2}}+3 x ight))，

所以 (F(x)+F(-x)=0), 从而可知 (F(x)=ln left(sqrt{1+9 x^{2}}-3 x ight)=f(x)-1) 是奇函数

所以 (f(lg 2)-1+f(-lg 2)-1=0 quad), 即 (f(lg 2)+f(-lg 2)=2)

所以 (f(lg 2)+fleft(lg cfrac{1}{2} ight)=2 quad) 故选 (mathrm{A}).

计算：(f(0)=27^{frac{2}{3}}-2^{log_2^;3} imes log_2^;{frac{1}{8}}+2lg(sqrt{3+sqrt{5}}+sqrt{3-sqrt{5}})-11)；

解：(f(0)=(3^3)^{frac{2}{3}}-3 imes(-3)+lg(sqrt{3+sqrt{5}}+sqrt{3-sqrt{5}})^2-11)，

(=3^2+9+lg(6+2sqrt{(3+sqrt{5})(3-sqrt{5})})-11)

(=3^2+9+lg10-11=8)，故得到(f(0)=8) .

〔解后反思〕：若单独计算(lg(sqrt{3+sqrt{5}}+sqrt{3-sqrt{5}}))，必须经过这样的变形才可以，否则无法计算：

(lg(sqrt{3+sqrt{5}}+sqrt{3-sqrt{5}}))

(=)(cfrac{1}{2} imes2lg(sqrt{3+sqrt{5}}+sqrt{3-sqrt{5}}))

(=)(cfrac{1}{2}lg(sqrt{3+sqrt{5}}+sqrt{3-sqrt{5}})^2)

(=cfrac{1}{2} imeslg10=cfrac{1}{2})