审题|对数型复合函数的综合应用

前言

审题是求解数学题目之前，必须过好的一关，审题能力是解题的关键能力之一，本博文结合一个比较复杂的函数例子，说明该如何审题，如何组织解答过程，以期对学生的思维有所启迪。

例说审题

【节选改编】已知函数 (f(x)=log _{a} x(a>0， a eq 1))， 若函数(g(x)=ax^2-x)，且函数(y)(=)(f[g(x)])在区间([2,4])上是增函数， 求实数 (a) 的取值范围 .

〔审题分析〕由于 (g(x)=a x^{2}-x)， 则函数 (y=f[g(x)]=log _{a}left(a x^{2}-x ight))，则到此，我们知道题目给定了复合函数(f[g(x)])，内函数为(g(x))，外函数为(f(x))，题目要求复合函数在区间([2,4])上是增函数，则我们需要考虑以下的因素：

①确定外函数的单调性，外函数是对数函数，底数不确定，故到时候需要针对底数分类讨论(只能分类为(0<a<1)和(a>1)两种)，因为只有针对底数分类讨论才能说清楚外层的单调性；

②确定内函数的单调性，对于内层函数而言是二次函数，图象为开口向上的抛物线，要确定其单调性，需要针对对称轴(x=cfrac{1}{2a})和给定区间([2,4])的位置关系分类，如果要内函数在([2,4])上单调递增，需要对称轴在(2)的左侧或(2)处，此时用表达式(cfrac{1}{2a}leqslant 2)来刻画；如果要内函数在([2,4])上单调递减，需要对称轴在(4)的右侧或(4)处，此时用表达式(cfrac{1}{2a}geqslant 4)来刻画；

③确保内函数在区间([2,4])上都有意义，即确定内函数的定义域为([2,4])(这一点容易遗忘)，需要对(forall xin [2,4])，(ax^2-x>0)必须恒成立，但是我们不是把所有(x)都代入验证，由于是恒成立问题，当内函数在区间([2,4])上单调递减时，只需要其最小值(g(4)>0)即可；当内函数在区间([2,4])上单调递增时，只需要其最小值(g(2)>0)即可，

当考虑清楚了以上的各种因素，我们就可以借助上述的分析框架，书写解答过程了。

〔解答〕： 由于 (g(x)=a x^{2}-x)， 则函数 (y=f[g(x)]=log _{a}left(a x^{2}-x ight)).

由函数 (g(x)=a x^{2}-x) 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线 (x=cfrac{1}{2 a})，

① 当 (0<a<1)时（外函数是单调递减的），要使得复合函数 (f[g(x)]) 在区间 ([2，4]) 上单调递增，

则(g(x)=ax^2-x)在([2,4])上单调递减，且(g(x)_{min}>0)，

即 (left{egin{array}{l}cfrac{1}{2 a} geq 4\ g(4)=16a-4>0end{array} ight.)，

解得， (ain varnothing)，

② 当 (a>1)时，要使得复合函数 (f[g(x)]) 在区间 ([2，4]) 上单调递增，

则(g(x)=ax^2-x)在([2,4])上单调递增，且(g(x)_{min}>0)，

即 (left{egin{array}{l}cfrac{1}{2a} leq 2\ g(2)=4a-2>0end{array} ight.)，

解得(a>cfrac{1}{2})，又由于(a>1)，故(a>1)，

综上， 满足题意的实数 (a) 的取值范围是 ((1，+infty)).