复合函数的零点

前言

典例剖析

【2021·昆明模拟】 已知函数 (f(x))( (x)(in R) )是奇函数，且当 (x)(in)((0，+infty)) 时是减函数，若 (f(1))(=)(0)，则函数 (y)(=)(f)((x^{2})(-)(2|x|)) 的零点共有【(qquad)】

$A.4$ $B.5$ $C.6$ $D.7$

法1：常规通用的解法，方便快捷不易出错，

根据题意， 函数 (y=f(x)) 是定义域为 (R) 的奇函数， 则 (f(0)=0)，

当 (x in(0，+infty)) 时是减函数， 且 (f(1)=0)， 则函数在 ((0，+infty)) 上只有 一个零点，

又由于函数 (y=f(x)) 是奇函数且当 (x in(0，+infty)) 时是减函数， 则 (f(x)) 在 ((-) (infty， 0) )上是减函数，

又由 (f(1)=0)， 则 (f(-1))(=)(-f(1))(=)(0)， 则函数在 ((-infty，0))上只有一个零点.

故函数 (y=f(x)) 共有(3)个零点， 依次为 (-1) ， (0) ， (1).

则对于函数 (y=fleft(x^{2}-2|x| ight))，

当 (x^{2}-2|x|=-1) 时，解得(x=pm 1)原方程等价于(|x|^2)(-)(2|x|)(+)(1)(=)(0)，即(()(|x|)(-)(1)()^2)(=)(0)，即(|x|)(=)(1)，解得(x)(=)(pm 1)；；

当 (x^{2}-2|x|=0) 时，解得 (x=pm 2) 或 (x=0) ；

当 (x^{2}-2|x|=1) 时，解得 (x=1+sqrt{2}) 或 (x=-1-sqrt{2}) ；

故函数 (y=fleft(x^{2}-2|x| ight)) 的零点共有 (7) 个.

〔解后反思〕对于求解复合函数(f[g(x)])的零点而言，我们一般先求解外函数(f(u))的零点(u_0)[注意(f(u_0))(=)(0)]，然后令(g(x))(=)(u_0)，通过解方程就可以求得复合函数(f[g(x)])的零点。

法2：学生解法，[他们能想到做出复合函数的图象，找出零点，思路是对的，但作图中出了问题，又找不到错误的地方]

为便于做复合函数的图像，我们分别作出内外两层函数的图象如下图：

能看出来，内函数(g(x)=x^2-2|x|)为偶函数，外函数为奇函数，故复合函数(f[g(x)])为偶函数，

复合函数的定义域为(R)，我们重点做([0，+infty))上的图象；

当(x=0)时，(g(0)=0)，则(f[g(x)]=f(0)=0)，故函数图象上有点((0,0))，

当(0<x<1)时，内函数(g(x))单调递减，且(g(x)in (-1,0))，此时外函数也单调递减，故(f[g(x)])单调递增，此时我们作图时将(y)轴视为渐近线，

当(x=1)时，(g(1)=0)，故(f[g(1)]=f(0)=0)，故当(xin (0,1])时，(f[g(x)])由 (-infty)增大到 (0)；

当(1<x<2)时，内函数(g(x))单调递增，且(g(x)in (-1,0))，此时外函数也单调递减，故(f[g(x)])单调递减，

当(x=2)时，(g(2)=0)，则(f[g(2)]=f(0)=0)，故当(xin [1,2))时，(f[g(x)])由 (0)减小到(-infty)；故此时我们作图时将直线(x=2)视为渐近线，且函数图象上有点((2,0))，

由(x^2-2|x|=1)，解得(x=1+sqrt{2})，当(2<x<1+sqrt{2})时，内函数(g(x))单调递增，且(g(x)in (0,1))，此时外函数也单调递减，故(f[g(x)])单调递减，

当(x=1+sqrt{2})时，(f[g(1+sqrt{2})]=f(1)=0)，故当(xin (2,1+sqrt{2}])时，(f[g(x)])由 (+infty)减小到 (0)，且直线(x=2)为渐近线，；

当(x>1+sqrt{2})时，内函数(g(x))单调递增，且(g(x)in (1,+infty))，此时外函数单调递减，故(f[g(x)])单调递减，故当(xin (1+sqrt{2},+infty))时，(f[g(x)])由 (0)减小到 (-infty)；

然后利用偶函数，做出(y)轴左侧部分的图象，从图象可以看出，函数 (y=fleft(x^{2}-2|x| ight)) 的零点共有 (7) 个.