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  • 分段函数中的参数分离

    前言

    当我们理解和掌握了一般函数的分离参数的求解方法之后,还需要注意分段函数中的参数分离方法和技巧。

    典例剖析

    【2022届高三一轮复习用题】已知函数 (f(x)=left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}-m, x>1, \ 2 x+a-m, x leqslant 1,end{array} ight.) 其中(a>0)(a eq 1), 若 (exists) (m) (in)(R) ,使得函数(f(x))(2)个零点, 则实数 (a) 的取值范围为(qquad)

    $A.(0,cfrac{1}{2})cup(1,2)$ $B.(0,1) cup(1,2)$ $C.(0,1) cup(2,+infty)$ $D.(0, cfrac{1}{2}) cup(2,+infty)$

    〔分析〕:由题目可知,若令(f(x)=0),则(f(x)=left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}-m=0, x>1, \ 2 x+a-m=0, x leqslant 1,end{array} ight.)

    (left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}=m, x>1, \ 2 x+a=m, x leqslant 1,end{array} ight.) 故我们想到分离参数(m)后,利用数形结合求解;

    〔解析〕: 令 (f(x)=0)(g(x)=left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}, x>1, \ 2 x+a, x leqslant 1,end{array} ight.)

    则 原函数有两个零点问题就转化为方程 (g(x)=m)有两个不同解的问题,

    从而转化为形,则转化为 (y=g(x))(y=m) 的图象有两个交点,

    显然当 (0<a<1) 时,存在实数(m),使得(y=g(x))(y=m) 的图象有两个交点;

    (a>1) 时, 只需 (2+a>2a), 解得 (1<a<2) .

    综上所述,实数 (a) 的取值范围为 ((0 , 1)cup(1,2)), 故选(B) .

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