关键词
数学学习 层次化
摘 要
本文以函数的奇偶性这一数学概念的学习层次为引子，旨在告诉学习如何学习数学的概念，如何学习数学，以帮助学习构建数学学习的框架，减轻学生的学习负担。
高中数学，一直是学生提升数学素养，参加高考的拦路虎，许多学生学得非常辛苦，但收效甚微，苦不堪言。教学生怎样学习一直是数学工作者的头等大事。从教几年的经验，让我对此有了一点浅薄的感悟，加以整理，以供参考。
函数的奇偶性，是高中数学的一个很重要的概念，也是函数研究中的一个重要的性质。学生对此往往糊里糊涂，不明就里。究其原因，最主要的是学生不清楚，这一概念到底需要掌握到什么程度才好。
课本上的文字叙述是这样的：
对于函数(f(x)) 定义域中的任意一个自变量(x)，如果函数满足(f(-x)= - f(x))，则称函数是奇函数；如果函数满足(f(-x)= f(x))，则称函数是偶函数。
从文字表述中，我们至少应该达到的
基础知识层次[低级]
1、从“如何…，那么…”这一假设句式可以看出，不是所有的函数都有奇偶性，只有满足这些条件的函数才有这一性质。
2、由于接受对应法则(f)作用的自变量(x)和 (–x)，是一对相反数，说明函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称。
3、判断函数奇偶性的方法: ①定义法 ②图像法
4、判断函数奇偶性的步骤 ①判断定义域是否关于原点对称， ②判断(f(-x)= - f(x))或(f(-x)= f(x))是否成立， ③做出结论。
5、相应的配套练习
以上的知识层次往往是老师教给学生的(color{Red}{“鱼”})。属于这一概念的浅层次的认知。仅仅做到这些还不够，还需要主动出击，努力达到
简单应用层次[中级]
比如用这一性质来研究曾经学习过的函数（此时学生往往用到的方法是图像法）
幂函数：正比例函数 (y=kx(k eq0))（奇函数）； 反比例函数(y=cfrac{k}{x}(k eq0))；
二次函数: (y=ax^2(a eq0))（偶函数）； 三次函数: (y=ax^3(a eq0))（奇函数）；
指数函数: (y=a^x(a eq1，a>0))（无奇偶性）
对数函数: (y=log_a^{;;x}(a eq1，a>0))（无奇偶性）
三角函数：(y=Asin)(omega)(x) ， (奇函数)等等
以上基本初等函数组合的延伸应用：（这些知识往往不能用图像法来解决，需要回归定义）
由此还能解决二次函数(y=ax^2+bx+c(a eq0)) 为偶函数的充要条件是(b=0) ，由此推广得到以下结论：
多项式函数(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e) 为奇函数的充要条件是(a=c=e=0)
多项式函数(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e) 为偶函数的充要条件是(b=d=0)
函数(f(x)) 是奇函数，并且在(x=0)处有定义，则(f(0)=0) ，
例题：已知函数(f(x)=cfrac{2^x+a}{1+2^x}) 为奇函数，求(a)的值。
法一：定义法，由(f(-x)= - f(x)) 恒成立，求出(a= -1)
法二：简单方法，函数是奇函数，并且在(x=0)处有定义，则(f(0)=0) ，求出(a= -1)
例题：判断函数(f(x)=x+sinx+)(cfrac{2}{x}) 的奇偶性。奇函数
到此我们还应该体会，学习了函数的奇偶性，我们能干什么？做更多函数的图像，认识更多函数的奇偶性，比如求解析式，
例题：已知函数(f(x))是奇函数，当(x>0) 时，(f(x)=x^2+2x) ，求(x<0) 时的解析式
往前发展，纵深发展
灵活应用层次[高级]
1、抽象函数的奇偶性判断
已知函数(f(x)) 的定义域是(R)，并且满足(f(x)+f(y)=fleft(cfrac{x+y}{1+xy} ight)) ，试判断函数的奇偶性。
分析：令(x=y=0) ,则(f(0)+f(0)=f(0)) ，所以 (f(0)=0)
令(y= -x) ，则(f(x)+f(-x)=f(0)=0) ，所以(f(x)+f(-x)=0) ，故函数(f(x)) 是奇函数。
想到用这样的方法解决问题，还取决于对定义式的变形应用(f(x)+f(-x)=0).
2、主动利用函数的奇偶性求值
已知函数(f(x)=ax^5+x^3+x-1),(f(2)=3)，求(f(-2))的值。
分析：尽管函数(f(x))没有奇偶性，但注意到(quadunderline{ax^5+x^3+x}quadLongrightarrow g(x))是奇函数，
所以可以这样处理
令(ax^5+x^3+x=g(x))，由于(quad f(2)=g(2)-1=3),
故(quad g(2)=4)，又(quad g(-2)= -g(2)= -4),
所以(f(-2)=g(-2)-1=-g(2)-1= -5)
3、奇偶性和其他函数性质的综合应用
已知奇函数(f(x))是定义在((-2,2))上的减函数，若(f(m-1)+f(2m-1)>0)，求实数(m)的取值范围。
分析：这类题目往往需要综合运用函数的各种性质来解题，
由于函数(f(x))是定义在((-2,2))上的，故首先必须满足以下条件:(egin{cases} -2 < m-1 < 2 \ -2 <2m-1 <2 end{cases})
同时我们需要去掉不等式(f(m-1)+f(2m-1)>0)中的符号(f)，这样才能变成我们能解的不等式，为此，我们需要先变形为(f(m-1)> - f(2m-1))，并且还需要把右式的负号给化到符号(f)内部，为的是顺利利用函数的单调性去掉符号(f)，这时就必须利用奇偶性，由于函数(f(x))是奇函数则(- f(2m-1)=f[-(2m-1)]=f(1-2m))，原不等式变形为(f(m-1)> f(1-2m))，这时借助函数的单调性即减函数，就可以顺利的去掉符号(f)，得到(m-1<1-2m)
综上，需要同时满足条件：(egin{cases} -2 < m-1 < 2 \ -2 <2m-1 <2 \ m-1<1-2mend{cases})
解之得，(m)的取值范围为(min left{ mmid cfrac{1}{2}<m<cfrac{2}{3}
ight}) .
如果学生的数学学习都能经过这样的层次化的学习：
(color{Blue}{基础知识层次Rightarrow简单应用层次Rightarrow灵活应用层次})
相信他们对数学概念的理解肯定会逐步深化，应用会得心应手。