函数图像变换中的规律总结

前言

在高中的教学中，经常会用到函数图像。而作函数图像的角度有三个：描点法；变换法；同解变形法 ^[1]；其中使用最多的是变换法作图的方法和思路。函数图像的变化是一个很重要的内容。学生普遍感觉难，其实掌握了变换的实质[坐标的替换]，都可以轻松搞定，而且能用函数的变换延申到非函数比如曲线的变换。

变换原理

• 其实质就是坐标的替换，用下面的例子体会一下：

1、已知圆(C:x^2+y^2=4)经过(phi:egin{cases}x'=3x\y'=2yend{cases})变换后所得的曲线(C')是什么？

分析：由(phi:egin{cases}x'=3x\y'=2yend{cases})得到(phi':egin{cases}x=cfrac{x'}{3}\y=cfrac{y'}{2}end{cases})，

代入圆(C:x^2+y^2=4)得到((cfrac{x'}{3})^2+(cfrac{y'}{2})^2=4)，即(cfrac{x'^2}{9}+cfrac{y'^2}{4}=4)，

即变换后所得的曲线(C')是(cfrac{x^2}{36}+cfrac{y^2}{16}=1)。

解后反思：此变换实际上就是伸缩变换。

2、已知函数(y=x^2)经过(phi:egin{cases}x'=x+3\y'=yend{cases})变换后所得的函数解析式是什么？

分析：由变换(phi:egin{cases}x'=x+3\y'=yend{cases})得到变换(phi':egin{cases}x=x'-3\y=y'end{cases})，

代入函数(y=x^2)得到(y'=(x'-3)^2)，即变换后的函数为(y=(x-3)^2)。

解后反思：此变换实际上就是左右平移变换。

3、将函数(y=2sin(3x+cfrac{pi}{3}))图像上所有点的横坐标扩大4倍，将纵坐标扩大到原来的2倍，得到的函数解析式是什么？

分析：涉及的变换为(phi:egin{cases}x'=4x\y'=2yend{cases})，变形得到变换(phi':egin{cases}x=cfrac{x'}{4}\y=cfrac{y'}{2}end{cases})，

代入函数(y=2sin(3x+cfrac{pi}{3}))得到函数(cfrac{y'}{2}=2sin(3(cfrac{x'}{4})+cfrac{pi}{3}))，

即函数(y=4sin(cfrac{3x}{4}+cfrac{pi}{3}))。

解后反思：此变换实际上就是周期变换和振幅变换的综合。

案例解析

最具有代表性的函数解析式模型 [(y=Asin(omegacdot x+phi)+k)]

• 左右平移，其实质是用(x+phiRightarrow x) [只替换单独的自变量(x)，保留(x)前面原有的系数]

口诀：左加右减[由平移得解析式]或加左减右[由解析式确定平移方向]

引例1如 (y=2sin(3color{Red}{x}+cfrac{pi}{4})+1)向右平移一个单位，得到 (y=2sin[3(color{Red}{x-1})+cfrac{pi}{4}]+1)

引例1-1反之，由 (y=2sin[3(color{Red}{x-1})+cfrac{pi}{4}]+1) 变换得到(y=2sin(3color{Red}{x}+cfrac{pi}{4})+1) ，

由于是用(x+1)替换的(x)，所以应该向左平移一个单位。

• 上下平移，其实质是用(y+kRightarrow y)[只替换单独的因变量(y)，保留(y)前面原有的系数]

口诀：上减下加[由平移得解析式]或减上加下[由解析式确定平移方向]

引例2(y=2sin(3x+cfrac{pi}{4})+1)向上平移一个单位，是用(y-1Rightarrow y) ，

整理得到(color{Red}{y-1}=2sin(3x+cfrac{pi}{4})+1) ，即(y=2sin(3x+cfrac{pi}{4})+2)

疑问，为什么关于(y)的变换和关于(x)的变换实质是一样的呢？

我们用图像作以解释，当把坐标系绕直线(y=x)旋转(180^{circ})，(y)轴就成了(x)轴，即(y)和(x)轴一样，没有啥特殊之处，故变换的实质一样。

• 横向伸缩[类似周期变换]，其实质是用 (omega_1 xRightarrow x)[是用新的(omega_1 x)替换单独的自变量(x)，原来的系数(omega)依然代入运算]

这样的变换推广后，也适用类周期函数

口诀：(0<omega_1<1) 时，伸长到原来的(cfrac{1}{omega_1}) 倍；(omega_1>1) 时，缩短到原来的(cfrac{1}{omega_1})倍。

引例3如(y=2sin(3color{Red}{x}+cfrac{pi}{4})+1)，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，即(omega_1=cfrac{1}{2})，

所以得到的解析式为(y=2sin[3(color{Red}{cfrac{1}{2}x})+cfrac{pi}{4}]+1)

课件演示

• 纵向伸缩[类似振幅变换]，其实质是用(cfrac{y}{A_1}Rightarrow y) [单独的因变量(y)]

口诀：(0<A_1<1) 时，缩短到原来的(A_1) 倍；(A_1>1) 时，伸长到原来的(A_1) 倍。

引例4如(y=2sin(3x+cfrac{pi}{4})+1)，横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，(A_1=2)，

所以用(cfrac{y}{2} ightarrow y) 得到(color{Red}{cfrac{y}{2}}=2sin(3x+cfrac{pi}{4})+1)，整理得到(y=4sin(3x+cfrac{pi}{4})+2)

• 对称变换[关于谁对称，谁不变]

关于(y)轴对称，其实质是用(-xRightarrow x)；

例如(y=2sin(3color{Red}{x}+cfrac{pi}{4})) 关于y轴对称得到解析式 (y=2sin[3(color{Red}{-x})+cfrac{pi}{4}])

关于(x)轴对称，其实质是用(-yRightarrow y)；

例如(color{Red}{y}=2sin(3x+cfrac{pi}{4})) 关于x轴对称得到解析式 即 (color{Red}{-y}=2sin(3x+cfrac{pi}{4}))

关于直线(x=1)对称，其实质是用(2-xRightarrow x)；

例如(y=2sin(3color{Red}{x}+cfrac{pi}{4})) 关于直线x=1对称得到解析式(y=2sin[3(color{Red}{2-x})+cfrac{pi}{4}])

关于直线(y=1)轴对称，其实质是用(2-yRightarrow y)；

例如如(color{Red}{y}=2sin(3x+cfrac{pi}{4}))关于直线y=1对称得到解析式 (color{Red}{2-y}=2sin(3x+cfrac{pi}{4}))

关于直线(y=x)对称，(x ightarrow y)， (yRightarrow x)；

例如(color{Red}{y}=2sin(3x+cfrac{pi}{4})) 关于直线(y=x)对称得到解析式(color{Red}{x}=2sin(3y+cfrac{pi}{4}))

关于原点((0，0))对称，$-xRightarrow x；-yRightarrow y $；

例如(y=2sin(3x+cfrac{pi}{4}))关于原点((0，0))对称得到解析式 (color{Red}{-y}=2sin[3(color{Red}{-x})+cfrac{pi}{4}]).

• 曲线对称

以((x-2)^2+(y+1)^2=1)为例子，可以利用数学软件(Desmos)，自行验证，以加深理解。

关于(y)轴对称，得到((-x-2)^2+(y+1)^2=1) ；

关于(x)轴对称，得到((x-2)^2+(-y+1)^2=1) ；

关于直线(x=1)对称，得到((2-x-2)^2+(y+1)^2=1)；

关于直线(y=1)对称，得到((x-2)^2+(2-y+1)^2=1)；

关于直线(y=x)对称，得到((y-2)^2+(x+1)^2=1)；

关于原点((0，0))对称，得到((-x-2)^2+(-y+1)^2=1)；

典例剖析

例1给定命题，函数(f(x)=sin(2x+cfrac{pi}{4}))和函数(g(x)=cos(2x-cfrac{3pi}{4}))的图像关于原点对称，试判断命题的真假。

【分析】：如果函数(f(x))的图像和函数(g(x))的图像关于原点对称，则函数(f(x))上的任意一点((x_0，y_0))关于原点的对称点((-x_0，-y_0))，必然在函数(g(x))的图像上。

解答：先化简函数(g(x)=cos(2x-cfrac{3pi}{4})=cos(2x-cfrac{pi}{4}-cfrac{pi}{2}))，

(g(x)=cos[cfrac{pi}{2}-(2x-cfrac{pi}{4})]=sin(2x-cfrac{pi}{4}))，

(f(x)=sin(2x+cfrac{pi}{4}))

在函数(f(x))图像上任意取一点(P(x_0，y_0))，

则其关于原点的对称点为(P'(-x_0，-y_0))，

将点(P(x_0，y_0))代入函数(f(x))，得到(y_0=sin(2x_0+cfrac{pi}{4}))

则(-y_0=-sin(2x_0+cfrac{pi}{4}))，即(-y_0=sin(2cdot(-x_0)-cfrac{pi}{4}))，

即点(P'(-x_0，-y_0))在函数(g(x)=sin(2x-cfrac{pi}{4}))上，

也即点(P'(-x_0，-y_0))在函数(g(x)=cos(2x-cfrac{3pi}{4}))上，

又由点(P(x_0，y_0))的任意性可知，

函数(f(x))和函数(g(x))的图像必然关于原点对称，

故为真命题。辅助图像

例2【2019高一期末考试题】要得到(y=cos(2x-cfrac{pi}{6}))的图像，只需要将函数(y=cos2x)的图像【】

$A.向左平移cfrac{pi}{12}个单位$ $ B.向左平移cfrac{pi}{6}个单位$ $C.向右平移cfrac{pi}{12}个单位$ $D.向右平移cfrac{pi}{6}个单位$

分析：由于左右平移的实质是用(x+phi)替换(x)，故将函数(y=cos2x)替换后得到(y=cos(2x+2phi))，

由于(y=cos(2x+2phi))和(y=cos(2x-cfrac{pi}{6}))完全相同，故(2phi=-cfrac{pi}{6})，解得(phi=-cfrac{pi}{12})，

即其实我们是用(x-cfrac{pi}{12})替换(x)，故向右平移(cfrac{pi}{12})个单位，故选(C).

例3【2019高三理科数学启动卷，2019陕西省二检试卷第8题】要得到函数(y=sin(2x+cfrac{pi}{3}))，需要将函数(y=cos(2x-cfrac{pi}{3}))的图像【】

$A.向左平移cfrac{pi}{12}个单位$ $ B.向右平移cfrac{pi}{12}个单位$ $C.向左平移cfrac{pi}{4}个单位$ $D.向左平移cfrac{pi}{4}个单位$

分析：本题目要求将源函数(y=cos(2x-cfrac{pi}{3}))，变换得到目标函数(y=sin(2x+cfrac{pi}{3}))，为此，我们需要先将二者的函数名称做统一；

法1：源函数(y=cos(2x-cfrac{pi}{3})=sin(cfrac{pi}{2}-2x+cfrac{pi}{3})=sin(-2x+cfrac{5pi}{6}))，这种变换要得到目标函数(y=sin(2x+cfrac{pi}{3}))，不仅仅是左右平移；故需要调整使用的公式；

源函数(y=cos(2x-cfrac{pi}{3})=sin(cfrac{pi}{2}+2x-cfrac{pi}{3})=sin(2x+cfrac{pi}{6}))，用替换法，由(2(x+phi)+cfrac{pi}{6}=2x+cfrac{pi}{3})，得到(phi=cfrac{pi}{12})，即使用(x+cfrac{pi}{12})替换单独的自变量(x)后得到目标函数，故需要(向左平移cfrac{pi}{12})，则选(A)；

法2：将目标函数(y=sin(2x+cfrac{pi}{3}))变换为余弦函数，略；

例4【2019江西师大附中联考】若函数(y=f(2x-1))是偶函数，则函数(y=f(2x+1))的图像的对称轴是【】

$A.x=-1$ $B.x=0$ $C.x=cfrac{1}{2}$ $D.x=-cfrac{1}{2}$

分析：函数(y=f(2x-1))图像到函数(y=f(2x+1))的图像的变换只涉及左右平移变换，

而左右平移变换的本质即用(x+phi)替换单独的自变量(x)整理得到的，

故用(x+phi)替换(y=f(2x-1))中的单独的自变量(x)，整理得到(f[2(x+phi)-1]=f(2x+1))，

由(2(x+phi)-1=2x+1)解得(phi=1)，即上述替换是用(x+1)替换(x)得到的，

故由左加右减的口诀得到，应该将函数(y=f(2x-1))向左平移(1)个单位，得到函数(y=f(2x+1))，

而(y=f(2x-1))的对称轴是(x=0)[(y)轴]，故函数(y=f(2x+1))的对称轴为(x=-1)。故选(A)。

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1. 利用方程的同解变形法，如(y=sqrt{1-x^2})，主要涉及隐函数的图像的做法。 ↩︎