争鸣|两个易混概率题

前言

案例剖析

例1有(20)件产品，其中(5)件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽(2)件．求以下情况下的概率：

①第一次抽到次品的概率；

分析：由于仅仅考虑第一次抽取的情况，故所求概率(P=cfrac{C_5^1}{C_{20}^1}=cfrac{1}{4})；

②第一次和第二次都抽到次品的概率；

分析：抽取时要考虑到次序，即所求概率(P=cfrac{C_5^1 imes C_4^1}{C_{20}^1 imes C_{19}^1}=cfrac{1}{19})；

或理解为所求概率(P=cfrac{C_5^1}{ C_{20}^1} imes cfrac{C_4^1}{C_{19}^1}=cfrac{1}{19})；

③在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．

分析：本问属于条件概率问题，

令“第一次抽到次品”为事件(A)，“第二次抽到次品”为事件(B)，

则“在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品 ”为事件((B|A))，

由前面两问可知，(P(A)=cfrac{1}{4})，(P(AB)=cfrac{1}{19})，

故由条件概率公式可得，(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)}=cfrac{4}{19})

例1-对照 从混有(5)张假钞的(20)张百元钞票中任意抽出(2)张，将其中(1)张放到验钞机上检验发现是假钞，则另(1)张也是假钞的概率为【　　】

$A.cfrac{1}{19}$ $B.cfrac{17}{38}$ $C.cfrac{4}{19}$ $D.cfrac{2}{17}$

错解：本题目容易将模型转化为上述的((3))来求解，故选了(C)，其实是有问题的。

分析：条件概率，设事件(A)表示“抽到的两张都是假钞”，事件(B)表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求概率为(P(A|B))，

又(P(AB)=P(A)=cfrac{C_5^2}{C_{20}^2})，(P(B)=cfrac{C_{5}^2+C_{5}^1cdot C_{15}^1}{C_{20}^2})，

由公式(P(A|B)=cfrac{P(AB)}{P(B)}=cfrac{C_5^2}{C_{5}^2+C_{5}^1cdot C_{15}^1}=cfrac{10}{10+75}=cfrac{2}{17})。

解后反思：你会发现两个题目的背景非常的类似，但是有区别，题目1的③的抽取涉及到次序，但题目2的抽取其实没有次序。由此题得到的启示：

1、无放回的抽取时，我们一般不用组合数求解，常用分步乘法。

2、当题目不涉及次序时，可以考虑用组合数求解，涉及次序时一般用排列数求解。其实也就是分步乘法原理。