常用数学模型整理

导言

收集和理解高中数学中的各种常见的模型，对理解高中数学内容会有很大的帮助。现举例如下，待有空再整理。

集合包含模型

比如，集合(A)为定集，集合(B)为动集，且题设中有条件(Bsubseteq A)，则常常需要针对集合(B)分类讨论：(B=varnothing)或者(B eqvarnothing)；

二次函数恒成立模型

• 希望能理解和掌握以下的常用转化。^[1]

• 已知[仿二次]函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0)在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{a=b=0}\{cge 0}end{array} ight.)。
• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.)；
• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a<0}\{Delta leq 0}end{array} ight.)；
• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要条件的写法有两种形式：
  其一是(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{m<-cfrac{b}{2a}<n}\{f(-cfrac{b}{2a})ge 0}end{array} ight.)；
  其二是(Delta leq 0)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)
• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{f(m)leq 0}\{f(n)leq 0}end{array} ight.)；

求参数范围模型

• 参数的判断原则，题目中求谁的范围，那么谁就是参数，另一个很自然就归并为自变量了。

• A、函数型恒成立

①一元一次型，求解方法：变换主元法^[2]

②一元二次(R)型，求解方法： 二次项系数+ (Delta)法^[3]

③一元二次区间型，求解方法：分类讨论或分离参数法^[4]

• B、最值型恒成立

解题必备：必备值域求法；分类讨论、数形结合思想；学会分离变量法；区别最值型恒成立和有解问题。

①(Aleq f(x))在(xin[a，b])上恒成立(或 (Age f(x)))，等价于(Aleq f(x)_{min})或(Age f(x)_{max})。

②（注意具体题目中可能A为代数式，如(A=m^2+2m)）

(g(m)leq f(x))在(xin［a，b］)上恒成立形式(或(g(m)ge f(x)))，等价于(g(m)leq f(x)_{min})，(xin［a，b］)时(或(g(m)ge f(x)_{max}))。

③(forall xin D，f(x)>g(x))型 同时注意“单变量”和“双变量”类型在转化时的区别,直接型恒成立和间接型恒成立

• C、绝对值型恒成立

• ①(|f(x_1)-f(x_2)|leq c) 即就是 (|f(x_1)-f(x_2)|leq f(x)_{max}－f(x)_{min}leq c)

• ②$forall x_1， x_2in D $， (|f(x_1)-f(x_2)|leq a|x_1-x_2|)^[5]

恒成立(能)(恰)模型

相关阅读：1、恒成立、能成立和恰成立三类命题赏析；2、恒成立能成立和恰成立习题；

二次方程根的分布模型

1、相关阅读：一元二次方程根的分布；

方程有解模型

1、相关阅读：方程有解习题；

2、相关阅读：函数的零点和极值点；

• 可以转化为方程有解的题目：

① 函数(f(x))有极值点；则导函数方程(f '(x)=0)在给定区间有解，且解为变号零点。

② 函数(f(x))在给定区间不单调(Longrightarrow)函数(f(x))有极值点(Longrightarrow)则导函数方程(f '(x)=0)在给定区间有解，且解为变号零点。

抽象不等式模型

(f(M)ge f(N))，函数的定义域为(D)，脱掉(f)后等价于从两个角度转换，即单调性+定义域两个角度。^[6]

• 引例：已知函数(f(x)=2015^x-log_{2015}(sqrt{x^2+1}-x)-2015^{-x}+2)，求解不等式(f(3x+1)+f(x)>4)
  分析：此类题目一般的思路是把左右转化为形如(f(M)≥f(N))，然后再脱掉(f),就可以求解了，但是左边需要这样的性质：(f(x)+f(y)=f(xy))，
  右边也需要将4(f)化，经过尝试，这个性质(f(x)+f(y)=f(xy))并不满足，由原题可得(f(0)=2)，也并不能顺利的将4(f)化，所以我们得变换思路。
  先考虑函数的奇偶性，发现(f(-x)+f(x)=4),这样将右端的4做一个代换，就得到(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x))，整理后就成了(f(3x+1)>f(-x))，
  接下来用单调性脱掉符号(f)即可求解。
  解析：由题目可知函数的定义域为(R)，函数的各个部分(2015^x)单增，(-log_{2015}(sqrt{x^2+1}-x))单增，(-2015^{-x}+2)单增，所以(f(x))单增，
  又(f(-x)+f(x)=4)，所以带入原不等式得到(f(3x+1)+f(x)>f(x)+f(-x))，
  故有(f(3x+1)>f(-x))，定义域为(R)，单增，则有(3x+1>-x)，解得(x>-cfrac{1}{4})。
  解后反思：
  【题目原始模型】(log_2 (x+1)>log_2 (2-x))，由于单调性，定义域是隐含已知的，故转化为不等式组(egin{cases} &0 < x+1 \ &0 <2-x \ &2-x<x+1end{cases})
  【题目抽象模型】(已知函数f(x)的定义域是[-1,1])，且满足(forall x_1，x_2in [-1，1]，(x_1-x_2)cdot(f(x_1)-f(x_2))>0)，解不等式(f(2x-1)>f(2-3x))，仿上，你会转化吗？
  【再增加难度】(已知函数f(x)的定义域是[-1,1])，且满足(forall x_1，x_2in [-1，1]，(x_1-x_2)cdot(f(x_1)-f(x_2))>0)，(f(x)+f(y)=f(xy))，解不等式(f(2x-1)+f(2-3x)>f(0))，仿上，你会转化吗？
  【再增加难度】(已知函数f(x)的定义域是[-1,1])，且满足(forall x_1，x_2in [-1，1]，(x_1-x_2)cdot(f(x_1)-f(x_2))>0)，(f(-x)+f(x)=0)，解不等式(f(2x-1)+f(2-3x)>0)，仿上，你会转化吗？

函数不等式模型

• 实质：带有前提条件的替换^[7]

已知函数(f(x) = egin{cases}log_2^x &x>0 \ 2^x &xleq 0 end{cases})，若(f(a)ge 1)，求(a)的取值范围。
分析：原函数不等式等价于不等式组(egin{cases}a>0\log_2^age 1 end{cases})或者(egin{cases} aleq 0 \ 2^age 1 end{cases})，

三角函数模型

• 涉及三角函数相关的变换的问题中，最多见的变形方向就是转化为正弦型；^[8]

(y=asinx+bcosx) (Longrightarrow) (y=Asin(omegacdot x+phi)+k)后，可以常规化得求周期、值域、对称轴、对称中心、单调区间、奇偶性等。
引例1设(alpha)，(etain [0，pi])，且满足(sinalpha coseta-cosalpha sineta=1)，则(sin(2alpha-eta)+sin(alpha-2eta))的取值范围是【】

$A.[-sqrt{2}，1]$ $B.[-1，sqrt{2}]$ $C.[-1，1]$ $D.[1，sqrt{2}]$

简析：$sin(alpha-eta)=1$，又$alpha-etain [-pi，pi]$，则可得到$alpha-eta=cfrac{pi}{2}$，代入$sin(2alpha-eta)+sin(alpha-2eta)$，得到 $sin(2alpha-eta)+sin(alpha-2eta)=cdots=-sqrt{2}sin(eta-cfrac{pi}{4})in [-sqrt{2}，1]$，故选$A$. 引例2已知函数$f(x)=cos(2x-cfrac{pi}{3})-2sin(x-cfrac{pi}{4})sin(x+cfrac{pi}{4})$， (1).求函数$f(x)$图像的对称轴方程； 分析：注意到$(cfrac{pi}{4}+x)+(cfrac{pi}{4}-x)=cfrac{pi}{2}$，则$sin(x+cfrac{pi}{4})=cos(cfrac{pi}{4}-x)$，且满足$cos(cfrac{pi}{4}-x)=cos(x-cfrac{pi}{4})$，故$f(x)=cfrac{1}{2}cos2x+cfrac{sqrt{3}}{2}sin2x-2sin(x-cfrac{pi}{4})cos(x-cfrac{pi}{4})=cfrac{1}{2}cos2x+cfrac{sqrt{3}}{2}sin2x-sin(2x-cfrac{pi}{2})=cdots=sqrt{3}sin(2x+sqrt{3})$，接下来使用模型函数求其对称轴方程；下同。 (2).求函数$f(x)$在区间$[-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{2}]$上的值域；

数列中求通项公式，求和公式

累加法、累乘法模型

错位相减法，

模型函数

研究透彻函数(f(x)=sinx)的性质，可以正向迁移研究(y=Asin(omegacdot x+phi)+k)的各种性质；

平行线法求切线模型

理解和掌握常见的求曲线的切线的思路和方法。^[9]

例函数(y=kx)与函数(y=lnx)相切于点(Q)，求点(Q)的坐标。((e，1))

分析：设函数(y=kx)与函数(y=lnx)切点为(Q(x_0,y_0))，则有

(left{egin{array}{l}{y_0=kx_0}\{ y_0=lnx_0 }\{k=f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}}end{array} ight.)；

从而解得(x_0=e，y_0=1，k=cfrac{1}{e})，

故切点(Q)的坐标为((e，1))，此时的切线的斜率为(k=cfrac{1}{e}) 具体参见课件

例【引申为曲线上的点到直线上的点的最小值，平行线法。】直线(y=x)上的动点为(P)，函数(y=lnx)上的动点是(Q)，求(|PQ|)的最小值。
【等价题目】直线(y=x)上的点为(P(x，y))，函数(y=lnx)上的点是(Q(m，n))，求(sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2})的最小值。
思路：平行线法，设和直线(y=x)平行且和函数(y=lnx)相切的直线为(y=x+m)，
切点为(P_0(x_0,y_0))，则有(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；
从而解得(x_0=1,y_0=0,m=-1)所以所求的点点距的最小值，就转化为切点(P_0(1,0))到直线(y=x)的点线距，
或者两条直线(y=x,y=x-1)的线线距了。

部分分式模型+对号函数模型

均值不等式模型

高频等价转化

函数(y=f(x))有(n)个零点 (Longleftrightarrow) 方程(f(x)=0)有(n)个不同的根 (Longleftrightarrow) 两个函数图像(y=f(x)，y=0)有(n)个不同的交点，思想方法：数形结合。

解不等式模型

①用代数方法解 如(x^2-3|x|+2>0)

②用图像解 如坐标系中给出函数(f(x))和(g(x))的图像，求解(f(x)>g(x))等，

再如(f(x)=x(x+2)(e^{x-1}-1)>0)， 法1：图像法， 法2：代数方法

③用导数解，如((x-1)f'(x)>0)，比较(f(0)+f(2)>2f(1))。

④构造函数解不等式 用"左-右"=(g(x)),利用导数知识求解。

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1. ↩︎

2. 如引例1、(f(a)=(x-2)a+(x^2-4x+4)>0)在(ain［-1，1］)恒成立，求(a)的取值范围。 ↩︎

3. 如引例2、 $ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 对 (xin R)恒成立，求(a)的取值范围。 ↩︎

4. 如引例3、$ f(x)=ax^2+2ax+3>0 $ 在 (xin［-1，1］)恒成立，求(a)的取值范围。相关阅读：二次函数恒成立习题；
   【思路对比】
   引例4、$f(x)=x^2 +ax-2ageqslant 0 $ 在区间 $ x in［a，b］$ 上恒成立的转化思路
   法1：二次函数法+分类讨论法【针对对称轴和给定区间的位置关系及判别式常常分3类情况讨论】
   法2：分离参数法
   引例5、$ f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a>0 $ 在区间 (xin［a，b］) 上恒成立的转化思路 (f(a)leq 0)且(f(b)leq 0) ↩︎

5. 思路提示：利用题目的条件，去掉两边的绝对值符号，变形为 (f(x_2)-f(x_1)leq a(x_1-x_2))，再变形为(f(x_2)+ax_2leq f(x_1)+ ax_1) ，接下来构造新函数(g(x)=f(x)+ax)，研究新函数的性质解题。 ↩︎

6. ↩︎
7. ↩︎
8. ↩︎
9. ↩︎