函数的对称性的常用结论

预备知识

①设点(P(a，b))，则点(P)关于直线(x=m)的对称点(Q(2m-a，b))，

即两点(P(a，b)， Q(2m-a，b))关于直线(x=m)对称。

②有关轴对称的概念

函数自身对称

注意：下面的结论只涉及到一个函数；

1、若函数(y=f(x))关于原点((0，0))对称，则(f(-x)=-f(x))或(f(x)+f(-x)=0)，反之亦成立；

2、若函数(y=f(x))关于直线(x=a)对称(当(a=0)时即关于(y)轴对称)，则(f(a+x)=f(a-x))，反之亦成立；

3、若函数(y=f(x))满足(f(a+x)=f(b-x))，函数(y=f(x))的图像关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称，反之亦成立；

4、若函数(y=f(x))图像是关于点(A(a，b))对称，则充要条件是(f(x)+f(2a-x)=2b)。
抽象函数的性质的验证

5、若函数(f(x))是偶函数，其图像关于直线(x=a)对称，则(T=2a(a>0))；^[1]

6、若函数(f(x))是奇函数，其图像关于直线(x=a)对称，则(T=4a(a>0))；^[2]

7、若函数(f(x))的图像关于两条直线(x=a)和(x=b)对称，则(T=2|a-b|)；^[3]

8、若函数(f(x))的图像关于点(M(a，0))和点(N(b，0))对称，则(T=2|a-b|)；^[4]

9、若函数(f(x))的图像关于直线(x=a)和点(M(b，0))对称，则(T=4|a-b|)；^[5]

两个函数对称

以下结论涉及到两个不同的函数，可以用相关点法证明；

1、若函数(y=f(x))与函数(y=g(x))关于原点((0，0))对称，

则函数(f(x))上的任意一点((x_0，y_0))关于原点的对称点((-x_0，-y_0))，必然在函数(g(x))的图像上，反之亦成立；

2、若函数(y=f(x))与函数(y=g(x))关于某点((a，b))对称，

则函数(f(x))上的任意一点((x_0，y_0))关于点((a，b))的对称点((2a-x_0，2b-y_0))，必然在函数(g(x))的图像上，反之亦成立；

3、若函数(y=f(x))与函数(y=g(x))关于(y)轴，即直线(x=0)对称，

则函数(f(x))上的任意一点((x_0，y_0))关于直线(x=0)的对称点((-x_0，y_0))，必然在函数(g(x))的图像上，反之亦成立；

4、若函数(y=f(x))与函数(y=g(x))关于(y)轴，即直线(x=m)对称，

则函数(f(x))上的任意一点((x_0，y_0))关于直线(x=m)的对称点((2m-x_0，y_0))，必然在函数(g(x))的图像上，反之亦成立；

典例剖析

例1设函数(y=f(x))，若恒有(f(a+x)=f(b-x))，则该函数图像是轴对称图形，其对称轴为直线(x=cfrac{a+b}{2})。

证明：设点(A(m，n))是函数(y=f(x))图像上的任意一点，则有(n=f(m))

易知，点(A(m，n))关于直线(x=cfrac{a+b}{2})的对称点(B(a+b-m， n))

由于已知条件恒有(f(a+x)=f(b-x))，

令其中的(x=m-a)，则代入上式可得：(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m))

又(f(m)=n)，(f(m)=f(a+b-m))，∴(n=f(a+b-m))，即点(B(a+b-m， n))也在函数(y=f(x))的图像上。

由点(A(m，n))的任意性可知，函数(y=f(x))的图像关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称。

例2函数(y=f(x+a))的图像与函数(y=f(b-x))的图像关于直线_________对称，并证明。

解：这两个函数图象关于直线(x=cfrac{b-a}{2})对称。

证明：设点(P(x，y))是函数(y=f(x+a))图像上的任意一点，则有(y=f(x+a))

又点(P(x，y))关于直线(x=cfrac{b-a}{2})的对称点(Q(b-a-x， y))

∴(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)])，即有(f[b-(b-a-x)]=y)

∴点(Q(b-a-x，y))在图象(y=f(b-x))上。

即函数(y=f(x+a))图像上的任意一点(P(x，y))，

关于直线(x=cfrac{b-a}{2})的对称点(Q(b-a-x，y))均在函数(y=f(b-x))图像上。

故这两个函数图象关于直线(x=cfrac{b-a}{2})对称。

例3函数(y=f(x-a))的图像与函数(y=f(b-x))的图像关于直线___________对称，并证明。

解：这两个函数图象关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称。

证明：设点(P(x，y))是函数(y=f(x-a))图像上的任意一点，则有(y=f(x-a))

又点(P(x，y))关于直线(x=cfrac{a+b}{2})的对称点(Q(b+a-x，y))

∴(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)])，即有(f[b-(b+a-x)]=y)

∴点(Q(b+a-x，y))在函数(y=f(b-x))图像上。

即函数(y=f(x-a))图像上的任意一点(P(x，y))，

关于直线(x=cfrac{b+a}{2})的对称点(Q(b+a-x，y))均在函数(y=f(b-x))图像上。

故这两个图象关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称。

反思总结：其实例3可以直接用例2的结论。

这样用：对称轴为(x=cfrac{b-(-a)}{2}=cfrac{b+a}{2})。

例4已知函数(y=f(3-x))与(y=f(1+x))关于直线(x=a)对称，则(a=1)。

法1：用具体函数做例子，将抽象问题具体化，比如(f(x)=x^2)，

则(f(3-x)=(3-x)^2)，(f(1+x)=(1+x)^2)，做出这两个图像可知，

函数(y=f(3-x))与(y=f(1+x))关于直线(x=1)对称，

注意用(cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2)的算法是错误的。

法2：利用图像变换做抽象说明，以函数(f(x))和(f(-x))为模板来解释，

函数(f(x))和(f(-x))关于(y)轴对称，将(f(x))向左1个单位得到(f(x+1))，

将(f(-x))向右3个单位得到(f(-(x-3))=f(3-x))，

故此时的两个函数(f(x+1))与(f(3-x))的对称轴是(x=cfrac{-1+3}{2}=1)。

例5已知函数(y=f(3+x))与(y=f(1-x))关于直线(x=b)对称，则(b=-1)。

法1：仿上法1，得到(b=-1)。

法2：将(f(x))向左3个单位，得到(f(3+x))，将(f(-x))向右1个单位，

得到(f(-(x-1))=f(1-x))，故函数(y=f(3+x))与(y=f(1-x))关于直线(x=-1)对称。

反思总结：

①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了？

若函数(y=f(x))满足(f(a+x)=f(b-x))，函数(y=f(x))的图像关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称，

此时只涉及一个函数，这个函数是轴对称图形，当你做平移变换时，整体跟着动的；

而现在涉及到两个函数，当你对其中的一个做变换时，那么另外一个应该向反方向平移。

②、怎么理解？

例6【两个函数关于某一点对称】

给定命题，函数(f(x)=sin(2x+cfrac{pi}{4}))和函数(g(x)=cos(2x-cfrac{3pi}{4}))的图像关于原点对称，试判断命题的真假。

【分析】：如果函数(f(x))的图像和函数(g(x))的图像关于原点对称，

则函数(f(x))上的任意一点((x_0，y_0))关于原点的对称点((-x_0，-y_0))，必然在函数(g(x))的图像上。

解答：先化简函数(g(x)=cos(2x-cfrac{3pi}{4})=cos(2x-cfrac{pi}{4}-cfrac{pi}{2}))，

(g(x)=cos[cfrac{pi}{2}-(2x-cfrac{pi}{4})]=sin(2x-cfrac{pi}{4}))，

(f(x)=sin(2x+cfrac{pi}{4}))

在函数(f(x))图像上任意取一点(P(x_0，y_0))，

则其关于原点的对称点为(P'(-x_0，-y_0))，

将点(P(x_0，y_0))代入函数(f(x))，得到(y_0=sin(2x_0+cfrac{pi}{4}))

则(-y_0=-sin(2x_0+cfrac{pi}{4}))，即(-y_0=sin(2cdot(-x_0)-cfrac{pi}{4}))，

即点(P'(-x_0，-y_0))在函数(g(x)=sin(2x-cfrac{pi}{4}))上，

也即点(P'(-x_0，-y_0))在函数(g(x)=cos(2x-cfrac{3pi}{4}))上，

又由点(P(x_0，y_0))的任意性可知，

函数(f(x))和函数(g(x))的图像必然关于原点对称，

故为真命题。

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1. 证明：由函数(f(x))是偶函数，得到(f(-x)=f(x)①)；
   又函数图像关于直线(x=a)对称，得到(f(x)=f(2a-x)②)，
   由①②得到，(f(2a-x)=f(-x))，用(-x)替换(x)，
   即(f(x+2a)=f(x))，故(T=2a(a>0))； ↩︎

2. 证明：由函数(f(x))是奇函数，得到(-f(-x)=f(x)①)；
   又函数图像关于直线(x=a)对称，得到(f(x)=f(2a-x)②)，
   由①②得到，(f(2a-x)=-f(-x))，用(-x)替换(x)，
   即(f(x+2a)=-f(x))，故(T=4a(a>0))； ↩︎

3. 证明：由函数(f(x))的图像关于直线(x=a)对称，得到得到(f(x)=f(2a-x)①)；
   又由函数(f(x))的图像关于直线(x=b)对称，得到(f(x)=f(2b-x)②)；
   即(f(2a-x)=f(2b-x))，即(f(x+2a)=f(x+2b))，用(x-2a)替换(x)，
   得到(f(x)=f(x+2(b-a)))，故则(T=2|a-b|)； ↩︎

4. 证明：由函数(f(x))的图像关于点(M(a，0))对称，得到(f(x)+f(2a-x)=0①)；
   又由函数(f(x))的图像关于点(N(b，0))对称，得到(f(x)+f(2b-x)=0②)；
   即(f(2a-x)=f(2b-x))，即(f(x+2a)=f(x+2b))，用(x-2a)替换(x)，
   得到(f(x)=f(x+2(b-a)))，故则(T=2|a-b|)； ↩︎

5. 证明：由函数(f(x))的图像关于直线(x=a)对称，得到(f(x)=f(2a-x)①)；
   又函数(f(x))的图像关于点(M(b，0))对称，得到(f(x)+f(2b-x)=0)，
   故(f(2a-x)=-f(2b-x))，用(-x)替换(x)得到，(f(x+2a)=-f(x+2b))，
   再用(x-2a)替换(x)，得到(f(x)=-f(x+2(b-a)))，
   即(f(x+2(b-a))=-f(x))，故(T=4|a-b|)； ↩︎