对线性规划的思考【中阶和高阶辅导】

前言

线性规划内容，是高中阶段体现数形结合思想最突出的数学素材；

预备知识

• 倾斜角和斜率的关系；直线的倾斜角的范围( hetain [0，pi))；

• 分式裂项；

• 直线的斜截式方程；

• 直线的旋转+平移；

• 点到直线的距离；

考查角度

案例 设(x，y)满足约束条件(left{egin{array}{l}{xge 0}\{yge x}\{4x+3yleq 12}end{array} ight.)，求下列代数式的值：

• 截距型：求(z=2x-y)的取值范围。

引申：如求(4x^2-4xy+y^2+3=(2x-y)^2+3=z^2+3)

• 斜率型：求(z=cfrac{y+2}{x-1})的取值范围。

引申：如求(z=cfrac{x-1}{y+2})，

引申：(z=cfrac{(y+2)^2}{(x-1)^2})，

引申：求(z=cfrac{2y+4}{3x-3}=cfrac{2}{3} imes cfrac{y+2}{x-1})，

引申：求(z=cfrac{x+2y+3}{x+1}=1+2 imes cfrac{y+1}{x+1})

• 距离型：求(z=sqrt{x^2+2x+1+y^2-4y+4}=sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2})。

引申：如求(z=sqrt{x^2+2x+y^2-4y})，

引申：(z=x^2+2x+y^2-4y)，

引申：(z=cfrac{1}{x^2+2x+y^2-4y})，

• 综合型：求(|2x-y|)的取值范围；求(sqrt{2x-y})的取值范围。

• 你试着总结过这些命题的角度吗？如：

截距+常数，截距的倍数，截距的平方；

斜率+常数，斜率的倍数，斜率的平方；

距离+常数，距离的倍数，距离的平方等等。

作图难点

• 约束条件中是线性函数

【例】(egin{cases} y^2-x^2 leq0 \ 1leq xleq 3end{cases})先转化为(egin{cases} y-x ge 0 \ y+x leq 0 \ 1leq xleq 3end{cases}) 或者(egin{cases} y-x leq 0 \ y+x ge 0 \ 1leq xleq 3end{cases})

• 约束条件中有非线性函数

【例】(egin{cases} yge x^2 \ 0leq xleq 2 \ 0leq yleq 2 end{cases})

• 约束条件中有绝对值函数

【例】$|x|+|y|leq 1 $必须转化为线性的约束条件

(egin{cases} xge 0 \ yge 0 \ x+y leq 1 end{cases})或者(egin{cases} xge 0 \ y< 0 \ x-y leq 1 end{cases})或者(egin{cases} x< 0 \ yge 0 \ -x+y leq 1 end{cases})或者(egin{cases} x< 0 \ y< 0 \ -x-y leq 1 end{cases})

• 约束条件中有参数的情形；

设(k>1)，在约束条件(egin{cases} yge x \ yleq kx \ x+yleq 1end{cases})下，

角度例说

例1设不等式组(egin{cases}x + y ge 3\x - y ge - 1\ 2x - y le 3end{cases})表示的平面区域为D.

（1）求目标函数(z=2x-3y)的最值.

（2）求目标函数(z=x^2+y^2-6x-4y+10)的最值.

（3）求目标函数(z=cfrac{y}{x})的最值；目标函数(z=cfrac{x^2+y^2}{xy})的最值；

分析：(z=cfrac{x^2+y^2}{xy}=cfrac{x}{y}+cfrac{y}{x}=k+cfrac{1}{k})；

（4）求目标函数(z=cfrac{2y-5}{x+2})的最值；求目标函数(z=cfrac{y-4}{2x-3})的最值；

（5）若目标函数(z=ax+y)取最小值时的最优解有无穷多个，求(a)值；

分析：难点，注意目标函数的旋转和平移；(-a=-1)或(-a=2)；

（6）若目标函数(z=ax+y)取最小值时的最优解仅为一个，求(a)的取值范围；

分析：难点，注意目标函数的旋转和平移；((-infty，-2)cup(-2，1)cup (1，+infty))；

（7）若目标函数(z=ax+y)的最小值是(-2)，求(a)的值；

分析：难点，注意目标函数的旋转和平移；

①当(0<-a<2)时，即(-2<a<0)时，过点(A(2，1))取到最小值，为(2a+1=-2)，解得(a=-cfrac{3}{2})，

②当(-a>2)时，即(a<-2)时，过点(C(4，5))取到最小值，为(4a+5=-2)，解得(a=-cfrac{7}{4})，

③当(-a<-1)时，即(a>1)时，过点(B(1，2))取到最小值，为(a+2=-2)，解得(a=-4)，

综上所述，(a=-cfrac{3}{2})；

（8）求函数(|3x-4y+12|)的取值范围。

法1：先求出(z=3x+4y+12)的取值范围，再求(|3x-4y+12|)的取值范围。

法2：(|3x-4y+12|=5 imescfrac{|3x-4y+12|}{sqrt{3^2+4^2}})，所求即可行域中的动点(P(x，y))到直线(3x-4y+12=0)的距离的5倍；

（9）求直线(3x-y-1=0)与区域(D)的公共点的个数。

（10）若平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的最短距离为多少？

分析：平面区域夹在两条平行直线之间，通过旋转可以看出，只有平行线中的一条和某条边界重合(比如(BC))，另一条过边界点(比如(A))时距离是最小的，故转化为比较三个点线距的大小。

（11）已知(left{egin{array}{l}{x-y-1leq 0}\{x+y-6leq 0}\{xge 1}end{array} ight.)，求(xcdot y) 的取值范围；([0，9])

分析：从形入手分析，令(xcdot y=k)，则(y=cfrac{k}{x})，图像

（12）若(ax-y+1-a=0)恒成立，求(a)的取值范围；

分析：转化为(y=ax+1-a)，将参数放置在斜率和截距两个位置，不利于观察总结；

或转化为(a=cfrac{y-1}{x-1})，显然后者的转化思路更利用解决问题；