统计章节的几个难点

前言

我们已经知道了给定一组数据，计算其众数、中位数、平均数、方差，标准差等的算法公式，但是将一组数据制作成频率分布直方图时，数据信息会有所损失，故相关数据的求解会和前面所用的方法有点不太一样了。

用图算数据

给定频率分布直方图，计算其众数、中位数、平均数、方差，标准差等的算法思路如下：

1、方差：以计算出的平均数为依托，代入公式求解。

2、众数：直方图中最高矩形的中点横坐标

3、中位数：中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值，即面积等分线所对应的横坐标。

4、平均数：每个矩形的分组的中点值乘以每个对应矩形的面积再求和。

5、给定频数分布表求平均数：每个矩形的分组的中点值乘以频数再求和，最后除以样本容量。

6、给定频率分布表求平均数平均数：每个矩形的分组的中点值乘以每个对应矩形的频率再求和。

典例剖析

例1【2017高考真题卷Ⅱ文科19题改编】【题文】如右图所示，求该频率分布直方图的众数、中位数、平均数、方差。

考点：频率分布直方图，众数、中位数、平均数、方差

分析：以上图为例，

• 求众数：

“旧养殖法”的众数为(47.5)；“新养殖法”的众数为(52.5)；

• 求中位数：

“旧养殖法”的中位数先判断其大概位置，由于(25-50)之间的面积和为(0.62)，25-45之间的面积和为(0.42)，

故中位数一定位于(45-50)之间，设中位数为(x)，则(0.42+(x-45) imes0.04=0.50)，求得(x=47)，即中位数为(47)。

• 求平均数：比如“旧养殖法”的平均数的计算

(ar{x}=27.5 imes5 imes0.012+32.5 imes5 imes0.014+37.5 imes5 imes0.024)

(+42.5 imes5 imes0.034+47.5 imes5 imes0.040+52.5 imes5 imes0.032)

(+57.5 imes5 imes0.020+62.5 imes5 imes0.012+67.5 imes5 imes0.012)

(=47.1)；

“新养殖法”的平均数的计算

(ar{y}=37.5 imes5 imes0.004+42.5 imes5 imes0.020+47.5 imes5 imes0.044)

(+52.5 imes5 imes0.068+57.5 imes5 imes0.046)

(+62.5 imes5 imes0.010+67.5 imes5 imes0.008)

(=52.35)；

求方差：比如“新养殖法”的方差计算

(S^2=(37.5-52.35)^2 imes 0.004 imes 5+(42.5-52.35)^2 imes 0.020 imes 5+(47.5-52.35)^2 imes 0.044 imes 5)

(+(52.5-52.35)^2 imes 0.068 imes 5+(57.5-52.35)^2 imes 0.046 imes 5)

(+(62.5-52.35)^2 imes 0.010 imes 5+(67.5-52.35)^2 imes 0.008 imes 5)

(=?)

感悟反思：

1、深入理解频率分布直方图，掌握众数、中位数、平均数、方差的算法；

2、为什么平均数要这样计算？

比如给定数据(1，2，3，4，5)的平均数的算法是(ar{x}=cfrac{1+2+3+4+5}{5}=3)，

那么给定数据(2，2，4，4，4)的平均数的算法是

(ar{x}=cfrac{2+2+4+4+4}{5}=cfrac{2 imes 2+4 imes 3}{5})

(=2 imes cfrac{2}{5}+4 imes cfrac{3}{5})，

表达式中的(cfrac{2}{5})和(cfrac{3}{5})的含义就是(cfrac{频数}{样本容量}=频率)。

• 2、利用茎叶图估算平均数、方差

• 3、利用给定数据估算平均数、方差