理解代数式的本质提高学生数学素养

如何理解

在小学阶段我们学习的数学，主要针对数字运算，称为“算术”，在初中和高中阶段我们学习的数学，开始有了字母，用字母代替数字思维，称为“代数”。

那么我们到底该如何理解代数呢？不妨借助以下的案例来思考体会；

均值不等式案例

【案列1】均值不等式中$a$、$b$的内涵

初次学习时，我们用到的是这样的表达式：(a+bge 2sqrt{ab})，(a>0)，(b>0)；

但是具体题目中更多的是用到这样的式子：

$x+cfrac{2}{x}geqslant 2sqrt{2}(x >0)$；

$cfrac{2}{x}+cfrac{x}{2}geqslant 2(x >0)$；

$2^x+2^ygeqslant 2sqrt{2^{x+y}}$；

$log_a^b+log_b^ageqslant 2(log_a^b >0)$；

$sinx+cfrac{1}{sinx}geqslant 2(0 < sinx leqslant 0)$；

$cfrac{a^2+b^2}{ab}=cfrac{a}{b}+cfrac{b}{a}geqslant 2(a，b>0)$；

看了以上这么多的式子，你能想到用一个式子统一刻画吗？

仔细想想，再看看是不是能用$ a+bge2sqrt{ab}(a，b>0)$来表示！

反思：要注意理解(a、b)的内涵，如(a、b)可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

数列案例

【案列2】数列中的$a_n$的内涵

比如你见到这样的式子 (a_{n+1}－a_n = m) ((m)常数)你一定会反应出数列({a_n})是等差数列，继续往下看，你会解读下列的等差数列吗？：

①(cfrac{1}{a_{n+1}}－cfrac{1}{a_n} = m)，则数列({cfrac{1}{a_n}})是首项为(cfrac{1}{a_1})，公差为(m)的等差数列；

②(cfrac{1}{S_{n+1}}－cfrac{1}{S_n} = m)，则数列({cfrac{1}{S_n}})是首项为(cfrac{1}{a_1})，公差为(m)的等差数列；

③(cfrac{a_{n+1}}{n+1}－cfrac{a_n}{n} = m)，则数列({cfrac{a_n}{n}})是首项为(cfrac{a_1}{1})，公差为(m)的等差数列；

④(cfrac{n}{a_{n+1}+(n+1)}－cfrac{n-1}{a_n+n} = m)，则数列({cfrac{n-1}{a_n+n}})是首项为(cfrac{1-1}{a_1+1})，公差为(m)的等差数列；

⑤((a_{n+1}+(n+1))－(a_n + n) = m)， 则数列({a_n+n})是首项为(a_1+1)，公差为(m)的等差数列；

⑥(a_{n+1}^2－a_n^2 = m)，则数列({a_n^2})是首项为(a_1^2)，公差为(m)的等差数列；

⑦(log_m^\,{a_{n+1}^2}－log_m^\,{a_n^2} = p)，则数列({log_m^\,{a_n^2}})是首项为(log_m^\,{a_1^2})，公差为(p)的等差数列；

⑧(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n)，则数列({a_{n+1}-2a_n})是首项为(a_2-2a_1)，公差为(0)的等差数列；

以上所列举的凡此种种，都是等差数列，

试问，你能将上述的表达式用一个数学式来刻画吗？

$$a_{n+1}-a_n=d(nin N^*，d为常数)$$

因此务必理解透彻(a_{n+1})和(a_n)的“内涵”；

再如下列引例：

①(cfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1} = m)， 则数列({a_n+1})是首项为(a_1+1)，公比为(m)的等比数列；

②(cfrac{a_{n+1}+(n+1)}{a_n + n} = m)，则数列({a_n+n})是首项为(a_1+1)，公比为(m)的等比数列；

③(cfrac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = m)，则数列({a_n^2})是首项为(a_1^2)，公比为(m)的等比数列；

④(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n))，则数列({a_{n+1}-a_n})是首项为(a_2-a_1)，公比为(2)的等比数列；

以上所列举的凡此种种，都是等比数列，

试问，你能将上述的表达式用一个数学式来刻画吗？

[cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(nin N^*，q为常数) ]

不等式案例

【案例3】二次不等式中未知数的内涵

• 如(x^2-3x+2leqslant 0)，如果能理解不等式中的(x)的内涵，(xRightarrow 代数式)，

则可以解决诸如这样的不等式：

$(2^x)^2-3cdot (2^x)+2leqslant 0；$

$(log_2^{;; x})^2-3cdot (log_2^{;;x})+2leqslant 0；$

$(2^x-2)^2-3cdot (2^x-2)+2leqslant 0；$

$(sinx+1)^2-3cdot (sinx+1)+2leqslant 0；$

$(cfrac{1}{x})^2-3cdot (cfrac{1}{x})+2leqslant 0；$

$(|x|+1)^2-3cdot (|x|+1)+2leqslant 0；$

【案例4】不等式证明中

• 由已经知道的结论或者容易证明的结论(e^xge x+1)，

用(cfrac{1}{n})替换(x)，则变形得到：(e^{cfrac{1}{n}}>cfrac{1}{n}+1 (nin N^*))；

• 再如由(lnxleq x-1)，

用(x+1)替换(x)，变形得到$$ln(x+1)leq x，$$

用(cfrac{1}{n})替换(x)，变形得到$$ln(cfrac{1}{n}+1)<cfrac{1}{n}(nin N^*)$$

即可以得到：$$ln(cfrac{1}{n}+1)=ln(n+1)-lnn<cfrac{1}{n}(nin N^*)$$

框图案例

【案例5】程序框图中

比如程序框图的循环体中有这样一句，(t= log_3t)

则执行第一次循环，左边的(t)的内涵为(log_3t)；即(log_3tRightarrow t)；

则执行第二次循环，左边的(t)的内涵为(log_3(log_3t))；即(log_3(log_3t)Rightarrow t)；

则执行第三次循环，左边的(t)的内涵为(log_3[log_3(log_3t)])；即(log_3[log_3(log_3t)]Rightarrow t)；