抽象函数的对称性验证

前言

抽象函数的性质往往不太好想，所以举个例子，加以验证。作为学生，不需要知道那么严谨的逻辑证明，只要会用结论就行了。

图像说明

• 轴对称函数所举的例子：(f(x)=cfrac{1}{4}(x-2)^2)；具体函数(Rightarrow)抽象函数；

【结论】若函数(f(x))满足条件(f(x)=f(4-x))，

则函数是轴对称图形，其对称轴是(x=cfrac{(x)+(4-x)}{2})(=2)；

• 中心对称函数所举的例子：(g(x)=(x-1)^3)；具体函数(Rightarrow)抽象函数；

【结论】若函数(g(x))满足条件(g(x)+g(2-x)=0)，

则函数是中心对称图形，其对称中心是((x_0，y_0))，

具体坐标算法为(x_0=cfrac{(x)+(2-x)}{2}=1)，(y_0=cfrac{y_1+y_2}{2})(=cfrac{g(x)+g(2-x)}{2})(=cfrac{0}{2}=0)；

逻辑证明

• 函数(f(x))的对称轴为直线(x=2)的充要条件是函数(f(x))满足(f(x)=f(4-x))。

充分性：函数(f(x))满足(f(x)=f(4-x))，取其上任意一点((x_0，y_0))，

则有(y_0=f(x_0))，则有(f(x_0)=f(4-x_0)=y_0)，

说明点((x_0，y_0))和点((4-x_0，y_0))都在函数图像上，

而这两个点关于直线(x=cfrac{x_0+(4-x_0)}{2}=2)对称，

又由于点的任意性可知，函数关于直线(x=2)对称；

必要性：函数(f(x))的对称轴为直线(x=2)，

取其上任意一点((x_0，y_0))，则有(y_0=f(x_0))，

而点((x_0，y_0))关于直线(x=2)的对称点是((4-x_0，y_0))，

故有(y_0=f(x_0)=f(4-x_0))，即(f(x_0)=f(4-x_0))，

又由于点的任意性可知，函数必然满足(f(x)=f(4-x))。[证毕]

使用方法：

若函数(f(x))满足(f(x)=f(2-x))，

则是关于直线(x=cfrac{x+(2-x)}{2}=1) 对称的；

自然若函数(f(x))满足(f(1-x)=f(1+x))，

则也是关于直线(x=cfrac{(1-x)+(1+x)}{2}=1) 对称的；

其实表达式(f(x)=f(2-x))和(f(1-x)=f(1+x))刻画的是同一回事，

用(1-x)替换(f(x)=f(2-x))中的(x)，就能得到(f(1-x)=f(1+x))。

用此理论，我们还可以主动刻画函数的对称性，

其一用图像刻画，其二用数学语言表达为(f(0.5-x)=f(1.5+x))；

• 函数(f(x))的对称中心是((1，1))的充要条件是函数(f(x))满足(f(x)+f(2-x)=2)。

充分性：函数(f(x))满足(f(x)+f(2-x)=2)，取其上任意一点((x_0，y_0))，

则必有(y_0=f(x_0))，

又由于点((x_0，y_0))关于点((1，1))的对称点为((2-x_0，2-y_0))，

(f(x_0)+f(2-x_0)=2)，得到(y_0+f(2-x_0)=2)，

即(2-y_0=f(2-x_0))，说明点((2-x_0，2-y_0))也在函数图像上，

又由于点的任意性可知，函数图像上任意点关于点((1，1))的对称点也在函数图像上；

必要性：函数(f(x))的对称中心为点((1，1))，

取其上任意一点((x_0，y_0))，其在图像上，则有(y_0=f(x_0))，

而其对称点((2-x_0，2-y_0))也在图像上，故有(2-y_0=f(2-x_0))，

即(2-f(x_0)=f(2-x_0))，即(f(x_0)+f(2-x_0)=2)；

又由于点的任意性可知，函数图像上任意点都满足(f(x)+f(2-x)=2)；[证毕]

使用方法：

若函数(f(x))满足(f(x)+f(2-x)=4)，则其关于点成中心对称，

对称中心的坐标((x_0，y_0))这样求解，

(x_0=cfrac{x+(2-x)}{2}=1)，(y_0=cfrac{f(x)+(2-x)}{2}=2)，

即对称中心为((1，2))；

自然若函数(f(x))满足(f(-x)+f(2+x)=2)，则也是关于点((1，1))对称的，

同理我们也可以这样刻画一个函数关于点((1，1))对称。

我们就说函数满足条件(f(0.5-x)+f(1.5+x)=2)或者(f(3-x)+f(-1+x)=2)；

典例剖析

所举的函数例子虽说不是抽象函数，但对称性的验证同样适用。

例1【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数(f(x)=lnx+ln(2-x))，则【】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

分析：由于函数(f(x))是复合函数，定义域要使(x>0，2-x>0)，即定义域是((0，2))，

又(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1])，则由复合函数的单调性法则可知，

在((0，1))上单增，在((1，2))上单减，故排除(A)，(B)；

若函数(y=f(x))关于点((1，0))对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)+f(2-x)=0)；

若函数(y=f(x))关于直线(x=1)对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)=f(2-x))；

接下来我们用上述的结论来验证，由于(f(x)=lnx+ln(2-x))，

(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx)，即满足(f(x)=f(2-x))，故函数(y=f(x))的图像关于直线(x=1)对称，选(C)；

再来验证(D)，发现(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)] eq 0)，(D)选项不满足。故选(C)。

例2【2018高三文科训练题】已知函数(f(x)=lg(4x-x^2))，则【】

$A.f(x)$在$(0，4)$上单调递增

$B.f(x)$在$(0，4)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称

分析：令内函数(g(x)=4x-x^2>0)，得到定义域((0，4))，又(g(x)=-(x-2)^2+4)，故内函数在((0，2])单减，在([2，4))单增，外函数只有单调递增，故复合函数(f(x))在((0，2])单减，在([2，4))单增，故排除(A)、(B)；

要验证(C)选项，只需要验证(f(x)=f(4-x))即可，这是(y=f(x))的图像关于直线(x=2)对称的充要条件；

而(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x))，故选(C)。

若要验证(D)选项，只需要利用(y=f(x))的图像关于点((2，0))对称的充要条件，即验证(f(x)+f(4-x)=0)即可。自行验证，不满足。

故本题目选(C).