分析:若甲做对了,则在第二行和第三行中的红色的对号应该只有一个,而叉号有两个;
若乙做对了,则在第二行和第三行中的蓝色的对号应该只有一个,而叉号有两个;
若丙做对了,则在第二行和第三行中的绿色的对号应该只有一个,而叉号有两个;
故只有甲做对了。
三人 | 若甲✔ | 乙✔ | 丙✔ | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
说的 | ✘ | ✔ | ✔ | ✘ | ✘ | ✔ | ✔ | ✔ | ✘ |
做的 | ✔ | ✘ | ✘ | ✘ | ✔ | ✘ | ✘ | ✘ | ✔ |
分析:由题目可知,暂时可以写出这样的表达式
(A(B、D、E、F)),
(B(A、C、E、F)),
(C(B、D、E、F)),
(D(A、C、E、F)),
(E(C、D)),故由此可以知道,和(A、B)比赛的不可能有(E),
这样全部条件都满足,显然和(F)比赛的有$A、B、C、D$4个人,即4局。
分析:由题目可知四人中有两个人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一个是罪犯,
假设甲乙说的都是真话,则罪犯是丙,丙说的是假话,而丁说的就是真话,和题目两人真话两人假话不符;
假设甲丙说的真话,则罪犯是乙,此时乙说的是假话,丙说的假话,符合题意,故罪犯是乙。
(A.乙可以知道四人的成绩) (hspace{1cm}) (B.丁可以知道四人的成绩) (hspace{1cm}) (C.丙、丁可以知道对方的成绩) (hspace{1cm}) (D.乙、丁可以知道自己的成绩)
分析:由于甲看了乙、丙两人的成绩,那么结合“甲还是不知道自己的成绩”可知,乙、丙两人的成绩必然是一个优秀,一个良好;
否则如果这两人都是优秀,则甲一定是良好,与已知条件不符;那么甲和丁两人的成绩必然是一个优秀,一个良好;
而且乙看了丙的成绩,自然知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,自然就知道自己的成绩,
故选D,乙、丁可以知道自己的成绩。
令(k=1,2,3,cdots,n),则得到以下(n)个式子:
(1cdot 2=cfrac{1}{3}(1cdot 2cdot 3-0cdot 1cdot 2))
(2cdot 3=cfrac{1}{3}(2cdot 3cdot 4-1cdot 2cdot 3))
(3cdot 4=cfrac{1}{3}(3cdot 4cdot 5-2cdot 3cdot 4))
(cdots,cdots)
(ncdot (n+1)=cfrac{1}{3}[ncdot (n+1)cdot (n+2)-(n-1)cdot ncdot (n+1)))
累加得到:
(1cdot 2+2cdot 3+3cdot4+cdots+ncdot(n+1)=cfrac{1}{3}n(n+1)(n+2))。
据此,类比得到:依托式子(kcdot(k+1)cdot(k+2)=cfrac{1}{4}[kcdot(k+1)cdot(k+2)cdot(k+3)-(k-1)cdot kcdot(k+1)cdot(k+2)])
可以得到下式:
(1cdot 2cdot 3+2cdot 3cdot 4+3cdot 4cdot 5+cdots+ncdot(n+1)cdot (n+2)=cfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3))。
我们令(k=1,2,3,cdots,n),则得到以下(n)个式子:
((n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1),
(n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1),
((n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1),
(cdots,cdots)
(2^3-1^3=3cdot 1^2+3cdot 1+1),
累加得到((n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+cdots+n^2)+3(1+2+3+cdots+n)+n),整理得到(1^2+2^2+cdots+n^2=cfrac{1}{6}ncdot(n+1)cdot(2n+1))。
类比上述的方法,我们由((n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1),可以得到(1^3+2^3+3^3+cdots+n^3=cfrac{1}{4}n^2(n+1)^2=[cfrac{n(n+1)}{2}]^2)。
我们由((n+1)^2-n^2=2n+1),可以得到(1+2+3+cdots+n=cfrac{n(n+1)}{2})。
注意:平面内的直角三角形(Rightarrow)空间中的直三面角,如图所示,(PA、PB、PC)两两垂直,
过点P做下底面ABC的垂线,垂足是O,连接AO并延长交BC于点D,则由PA(perp)面PBC可知,
PA(perp)BC,从而可知AD(perp)BC,PD(perp)BC,令(S_{Delta PAB}=S_1),
(S_{Delta PBC}=S_2),(S_{Delta PAC}=S_3),(S_{Delta ABC}=S),
则有(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2)
证明如下:(S_1^2+S_2^2+S_3^2=cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2));
而(S^2=cfrac{1}{4}BC^2cdot AD^2),(BC^2=b^2+c^2),(AD^2=PA^2+PD^2),(PD^2=cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}(等面积法)),
故代入得到(S^2=cfrac{1}{4}(b^2+c^2)(a^2+cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2})=cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)),故有(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2)。
注意:平面内的直角三角形(Rightarrow)空间中的直三面角,如图所示,PA、PB、PC两两垂直,过点P做下底面ABC的垂线,垂足是O,
连接AO并延长交BC于点D,则由PA(perp)面PBC可知,PA(perp)BC,从而可知AD(perp)BC,PD(perp)BC,
即(angle PDO=alpha)为侧面PBC和下底面ABC的夹角,同理(angle PEO=eta)为侧面PAB和下底面ABC的夹角,
(angle PFO=gamma)为侧面PAC和下底面ABC的夹角,
则(cosalpha=sinangle PAD=cfrac{PD}{AD}),故(cos^2alpha=sin^2angle PAD=cfrac{PD^2}{AD^2})
(=cfrac{cfrac{1}{4}PD^2cdot BC^2}{cfrac{1}{4}AD^2cdot BC^2}=cfrac{(S_Delta PBC)^2}{(S_Delta ABC)^2});
同理(cos^2eta=sin^2angle PCE=cfrac{PE^2}{CE^2}=cfrac{cfrac{1}{4}PE^2cdot AB^2}{cfrac{1}{4}CE^2cdot AB^2}=cfrac{(S_Delta PAB)^2}{(S_Delta ABC)^2});
故(cos^2gamma=sin^2angle PBF=cfrac{PF^2}{BF^2}=cfrac{cfrac{1}{4}PF^2cdot AC^2}{cfrac{1}{4}BF^2cdot AC^2}=cfrac{(S_Delta PAC)^2}{(S_Delta ABC)^2});
又由上题可知,((S_Delta PAC)^2+(S_Delta PBC)^2+(S_Delta PAB)^2=(S_Delta ABC)^2),
即(cos^2alpha+cos^2eta+cos^2gamma=cfrac{(S_Delta PAC)^2+(S_Delta PBC)^2+(S_Delta PAB)^2}{(S_Delta ABC)^2}=1).
故有(cos^2alpha+cos^2eta+cos^2gamma=1)
分析:在直角三角形中,用等面积法很容易证明(cfrac{1}{CD}=cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b});
右图中,在直角三角形PAD中,容易得到(cfrac{1}{PO}=cfrac{1}{PA}+cfrac{1}{PD});
在直角三角形PBC中,容易得到(cfrac{1}{PD}=cfrac{1}{PB}+cfrac{1}{PC});
故有(cfrac{1}{PO}=cfrac{1}{PA}+cfrac{1}{PB}+cfrac{1}{PC});
如左图,正三角形内任意一点O到三边的距离分别为(a、b、c),
则由等面积法可知(S_{Delta AOB}+S_{Delta AOC}+S_{Delta BOC}=cfrac{1}{2}(a+b+c)cdot AB=cfrac{1}{2}ABcdot h),
又(h=cfrac{sqrt{3}}{2}AB),故(a+b+c=h),
故正三角形内的任意一点到三边的距离之和为一个定值(正三角形棱长的(cfrac{sqrt{3}}{2})倍);
如右图,类比推理,用等体积法容易知道(a+b+c+d=h),
其中(a,b,c,d)分别是正四面体内部任意一点到四个面的距离,
(h)为正四面体的高(正四面体棱长的(cfrac{sqrt{6}}{3})倍)。
分析:小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ,如果小马说假话,则小赵、小宋、小谭说的都是假话,不合题意,所以小马说的是真话;
小赵说:“一定没有我,肯定有小宋”是假话,否则,小谭说的是真话,这样有三人说真话,不合题意;
小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”是真话;小谭说:“小赵说的对”,是假话;
这样,四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的,且“迟到之星”是小赵和小谭,故选A.
分析:在等差数列({a_n})中,(a_1+a_{2n-1}=2a_n),(a_2+a_{2n-2}=2a_n),(cdots),
(a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n),(a_n=a_n),这(n)个式子相加得到(S_{2n-1}=(2n-1)a_n);
在等比数列({b_n})中,(b_1 imes b_{2n-1}=(b_n)^2),(b_2 imes b_{2n-2}=(b_n)^2),
(cdots),(b_{n-1} imes +b_{n+1}=(b_n)^2),(b_n=b_n),
这(n)个式子相乘得到(T_{2n-1}=(b_n)^{2n-1}).
反思总结:证明方法的类比,结论的类比。
分析:类比求36的所有正约数之和的方法,因为(200=2^3×5^2),所以200的所有正约数和为((1+2+2^2+2^3)(1+5+5^2)=465)。故选(C).
对于半径为(R)的球,若将(R)看作((0,+infty))上的变量,类比圆的上述性质,可得球的相关性质为________________________(语言叙述).
分析:半径为(R)的球体积(V= cfrac{4}{3}pi R^3),表面积(S=4pi R^2),显然$ (cfrac{4}{3}pi R^3)′=4pi R^2$,
即球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
分析:本题考察逻辑与推理中的不完全归纳法,策略:当5节课不好思考时,先减少课时思考;
当只有1节课时,比如结果((1,优))或((1,差)),优秀课最多是1节,
当只有2节课时,比如结果((2,差))或((1,优)),优秀课最多是2节,
当只有3节课时,比如结果((3,差))或((2,中))或((1,优)),优秀课最多是3节,
解释:从第一个维度评判,第一节课是优秀课,从第二个维度评判,第三节课是优秀课,
评判第二节课时,由于2>1,中好于差,故第二节课从两个维度都不亚于其他课,那么也是优秀课。
当只有4节课时,比如结果((4,差))或((3,中))或((2,良))或((1,优)),优秀课最多是4节,
当只有5节课时,比如结果((5,差))或((4,次差))或((3,中))或((2,良))或((1,优)),优秀课最多是5节,
分析:由于正三角形的内切圆半径(r)与外接圆半径(R)之比为(r:R=1:2),
故(cfrac{S_1}{S_2}=cfrac{picdot r^2}{picdot R^2}=(cfrac{1}{2})^2=cfrac{1}{4}),
正四面体的内切球半径(r)与外接球半径(R)之比为(r:R=1:3),
故(cfrac{V_1}{V_2}=cfrac{cfrac{4}{3}cdot picdot r^3}{cfrac{4}{3}cdotpicdot R^3}=(cfrac{1}{3})^3=cfrac{1}{27})。
分析:逐个假设正确,进行逻辑推理,结果是丙说的是正确的,此时丙得(10)元,甲得(20)元。
分析:设男医生为(a)个,女医生为(b)个,女护士为(c)个,男护士为(d)个,则由题目可知
(egin{cases}&a+b+c+d=17\&a+bge c+d\&c>a\&a>b\&dge 2end{cases}),由于(b-dge c-a>0),故(b>d),
故得到(c>a>b>dge 2)。
当(d=2)时,我们可以依次给其他三个变量赋值,比如(c(5)>a(4)>b(3)>d(2)),此时不满足和为17;
再换一组比如(c(8)>a(4)>b(3)>d(2)),又不满足(a+bge c+d),
这样一路测试下来,只有(c(6)>a(5)>b(4)>d(2))是满足所有条件的,而且此时只有(b-1=3),
还满足刚才的式子,说明那个人只能是女医生;
当(d>2),比如(d=3)时,仿上赋值(c(6)>a(5)>b(4)>d(3)),或者其他的赋值方式,都是不符合题意的,
综上所述,那个人只能是女医生;故选C.
反思总结 :这样的题目我们往往不知道从何入手,但是当我们把题目转化为不等式组这个数学模型时,我们就有了切入点了。
补充证明:等面积法;
(cfrac{1}{2} imes BC imes P_a+cfrac{1}{2} imes AC imes P_b+cfrac{1}{2} imes AB imes P_c=S)
(cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{S}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{S}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{S}=1)
(cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{cfrac{1}{2} imes BC imes h_a}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{cfrac{1}{2} imes AC imes h_b}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{cfrac{1}{2} imes AB imes h_c}=1)
(cfrac{P_a}{h_a}+cfrac{P_b}{h_b}+cfrac{P_c}{h_c}=1)