推理与证明习题

例1【类比推理】【2019届高三理科数学月考三试题】甲、乙、丙三人各自独立地做同一道数学题，当他们把答案公布出来后，甲说：“我做错了”；乙说：“丙作对了”；丙说：“我做错了”；在一旁的老师看了他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三人中有一个人做对了，有一个人说对了”。请问他们中做对了的人是__________。

分析：若甲做对了，则在第二行和第三行中的红色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

若乙做对了，则在第二行和第三行中的蓝色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

若丙做对了，则在第二行和第三行中的绿色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

故只有甲做对了。

三人	若甲✔			乙✔			丙✔
说的	✘	✔	✔	✘	✘	✔	✔	✔	✘
做的	✔	✘	✘	✘	✔	✘	✘	✘	✔

例2【逻辑推理】六名同学(A、B、C、D、E、F)举行象棋比赛，采用单循环赛制，即参与比赛的每两个人之间仅赛一局。第一天(A、B)各参加了3局比赛，(C、D)各参加了3局比赛，(E)参加了2局比赛，且(A)和(C)没有比赛过，(B)和(D)没有比赛过，那么(F)在第一天参加的比赛局数是（）局。

分析：由题目可知，暂时可以写出这样的表达式

(A(B、D、E、F))，

(B(A、C、E、F))，

(C(B、D、E、F))，

(D(A、C、E、F))，

(E(C、D))，故由此可以知道，和(A、B)比赛的不可能有(E)，

这样全部条件都满足，显然和(F)比赛的有$A、B、C、D$4个人，即4局。

例4【类比推理】法官审理偷盗案件，四名嫌疑人供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一个是小偷”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一个是罪犯，由此可判断罪犯是（乙）。

分析：由题目可知四人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一个是罪犯，

假设甲乙说的都是真话，则罪犯是丙，丙说的是假话，而丁说的就是真话，和题目两人真话两人假话不符；

假设甲丙说的真话，则罪犯是乙，此时乙说的是假话，丙说的假话，符合题意，故罪犯是乙。

例3【逻辑推理】【2017全国卷2文科第9题理科第7题高考真题】甲、乙、丙、丁四位同学一起向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中，有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则【】

(A.乙可以知道四人的成绩) (hspace{1cm}) (B.丁可以知道四人的成绩) (hspace{1cm}) (C.丙、丁可以知道对方的成绩) (hspace{1cm}) (D.乙、丁可以知道自己的成绩)

分析：由于甲看了乙、丙两人的成绩，那么结合“甲还是不知道自己的成绩”可知，乙、丙两人的成绩必然是一个优秀，一个良好；

否则如果这两人都是优秀，则甲一定是良好，与已知条件不符；那么甲和丁两人的成绩必然是一个优秀，一个良好；

而且乙看了丙的成绩，自然知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，自然就知道自己的成绩，

故选D，乙、丁可以知道自己的成绩。

例4【类比推理】已知(kcdot(k+1)=cfrac{1}{3}[kcdot(k+1)cdot(k+2)-(k-1)cdot kcdot(k+1)])，

令(k=1，2，3，cdots，n)，则得到以下(n)个式子：

(1cdot 2=cfrac{1}{3}(1cdot 2cdot 3-0cdot 1cdot 2))

(2cdot 3=cfrac{1}{3}(2cdot 3cdot 4-1cdot 2cdot 3))

(3cdot 4=cfrac{1}{3}(3cdot 4cdot 5-2cdot 3cdot 4))

(cdots,cdots)

(ncdot (n+1)=cfrac{1}{3}[ncdot (n+1)cdot (n+2)-(n-1)cdot ncdot (n+1)))

累加得到：

(1cdot 2+2cdot 3+3cdot4+cdots+ncdot(n+1)=cfrac{1}{3}n(n+1)(n+2))。

据此，类比得到：依托式子(kcdot(k+1)cdot(k+2)=cfrac{1}{4}[kcdot(k+1)cdot(k+2)cdot(k+3)-(k-1)cdot kcdot(k+1)cdot(k+2)])

可以得到下式：

(1cdot 2cdot 3+2cdot 3cdot 4+3cdot 4cdot 5+cdots+ncdot(n+1)cdot (n+2)=cfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3))。

例5【类比推理】类似上式的变形，我们利用((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1)，可以得到(1^2+2^2+cdots+n^2=cfrac{1}{6}ncdot(n+1)cdot(2n+1))

我们令(k=1，2，3，cdots，n)，则得到以下(n)个式子：

((n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1)，

(n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1)，

((n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1)，

(cdots,cdots)

(2^3-1^3=3cdot 1^2+3cdot 1+1)，

累加得到((n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+cdots+n^2)+3(1+2+3+cdots+n)+n)，整理得到(1^2+2^2+cdots+n^2=cfrac{1}{6}ncdot(n+1)cdot(2n+1))。

类比上述的方法，我们由((n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1)，可以得到(1^3+2^3+3^3+cdots+n^3=cfrac{1}{4}n^2(n+1)^2=[cfrac{n(n+1)}{2}]^2)。

我们由((n+1)^2-n^2=2n+1)，可以得到(1+2+3+cdots+n=cfrac{n(n+1)}{2})。

例6【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论(a^2+b^2=c^2)，类比到空间会得到什么结论？

注意：平面内的直角三角形(Rightarrow)空间中的直三面角，如图所示，(PA、PB、PC)两两垂直，

过点P做下底面ABC的垂线，垂足是O，连接AO并延长交BC于点D，则由PA(perp)面PBC可知，

PA(perp)BC，从而可知AD(perp)BC，PD(perp)BC，令(S_{Delta PAB}=S_1)，

(S_{Delta PBC}=S_2)，(S_{Delta PAC}=S_3)，(S_{Delta ABC}=S)，

则有(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2)

证明如下：(S_1^2+S_2^2+S_3^2=cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2))；

而(S^2=cfrac{1}{4}BC^2cdot AD^2)，(BC^2=b^2+c^2)，(AD^2=PA^2+PD^2)，(PD^2=cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}(等面积法))，

故代入得到(S^2=cfrac{1}{4}(b^2+c^2)(a^2+cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2})=cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2))，故有(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2)。

例7【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论(cos^2A+cos^2B=1)，类比到空间会得到什么结论？

注意：平面内的直角三角形(Rightarrow)空间中的直三面角，如图所示，PA、PB、PC两两垂直，过点P做下底面ABC的垂线，垂足是O，

连接AO并延长交BC于点D，则由PA(perp)面PBC可知，PA(perp)BC，从而可知AD(perp)BC，PD(perp)BC，

即(angle PDO=alpha)为侧面PBC和下底面ABC的夹角，同理(angle PEO=eta)为侧面PAB和下底面ABC的夹角，

(angle PFO=gamma)为侧面PAC和下底面ABC的夹角，

则(cosalpha=sinangle PAD=cfrac{PD}{AD})，故(cos^2alpha=sin^2angle PAD=cfrac{PD^2}{AD^2})

(=cfrac{cfrac{1}{4}PD^2cdot BC^2}{cfrac{1}{4}AD^2cdot BC^2}=cfrac{(S_Delta PBC)^2}{(S_Delta ABC)^2})；

同理(cos^2eta=sin^2angle PCE=cfrac{PE^2}{CE^2}=cfrac{cfrac{1}{4}PE^2cdot AB^2}{cfrac{1}{4}CE^2cdot AB^2}=cfrac{(S_Delta PAB)^2}{(S_Delta ABC)^2})；

故(cos^2gamma=sin^2angle PBF=cfrac{PF^2}{BF^2}=cfrac{cfrac{1}{4}PF^2cdot AC^2}{cfrac{1}{4}BF^2cdot AC^2}=cfrac{(S_Delta PAC)^2}{(S_Delta ABC)^2})；

又由上题可知，((S_Delta PAC)^2+(S_Delta PBC)^2+(S_Delta PAB)^2=(S_Delta ABC)^2)，

即(cos^2alpha+cos^2eta+cos^2gamma=cfrac{(S_Delta PAC)^2+(S_Delta PBC)^2+(S_Delta PAB)^2}{(S_Delta ABC)^2}=1).

故有(cos^2alpha+cos^2eta+cos^2gamma=1)

例8【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论(cfrac{1}{CD}=cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b})，类比到空间会得到什么结论？

分析：在直角三角形中，用等面积法很容易证明(cfrac{1}{CD}=cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b})；

右图中，在直角三角形PAD中，容易得到(cfrac{1}{PO}=cfrac{1}{PA}+cfrac{1}{PD})；

在直角三角形PBC中，容易得到(cfrac{1}{PD}=cfrac{1}{PB}+cfrac{1}{PC})；

故有(cfrac{1}{PO}=cfrac{1}{PA}+cfrac{1}{PB}+cfrac{1}{PC})；

例9【类比推理】正三角形内的任意一点到三边的距离之和为一个定值，类比到空间，得到正四面体内的任意一点到四个面的距离之和是一个定值；

如左图，正三角形内任意一点O到三边的距离分别为(a、b、c)，

则由等面积法可知(S_{Delta AOB}+S_{Delta AOC}+S_{Delta BOC}=cfrac{1}{2}(a+b+c)cdot AB=cfrac{1}{2}ABcdot h)，

又(h=cfrac{sqrt{3}}{2}AB)，故(a+b+c=h)，

故正三角形内的任意一点到三边的距离之和为一个定值(正三角形棱长的(cfrac{sqrt{3}}{2})倍)；

如右图，类比推理，用等体积法容易知道(a+b+c+d=h)，

其中(a，b，c，d)分别是正四面体内部任意一点到四个面的距离，

(h)为正四面体的高(正四面体棱长的(cfrac{sqrt{6}}{3})倍)。

例10【类比推理】某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是 【 】

$A.小赵、小谭 $ $B.小马、小宋$ $C.小马、小谭$ $D.小赵、小宋$

分析：小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；

小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；

小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；

这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭，故选A.

例11【类比推理】若等差数列({a_n})的前(n)项之和为(S_n)，则一定有(S_{2n-1}=(2n-1)a_n)成立。若等比数列({b_n})的前(n)项之积为(T_n)，类比等差数列的性质，则有

$A.T_{2n-1}=(2n-1)+b_n$

$B.T_{2n-1}=(2n-1)b_n$

$C.T_{2n-1}=(2n-1)^{b_n}$

$D.T_{2n-1}=(b_n)^{2n-1}$

分析：在等差数列({a_n})中，(a_1+a_{2n-1}=2a_n)，(a_2+a_{2n-2}=2a_n)，(cdots)，

(a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n)，(a_n=a_n)，这(n)个式子相加得到(S_{2n-1}=(2n-1)a_n)；

在等比数列({b_n})中，(b_1 imes b_{2n-1}=(b_n)^2)，(b_2 imes b_{2n-2}=(b_n)^2)，

(cdots)，(b_{n-1} imes +b_{n+1}=(b_n)^2)，(b_n=b_n)，

这(n)个式子相乘得到(T_{2n-1}=(b_n)^{2n-1}).

反思总结：证明方法的类比，结论的类比。

例12【类比推理】【2017•青岛模拟】36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为(36=2^2×3^2)，所以36的所有正约数之和为((1+3+3^2)+(2+2×3+2×3^2)+(2^2+2^2×3+2^2×3^2)=(1+2+2^2)(1+3+3^2)=91)，参照上述方法,可求得200的所有正约数和为 【 】

$A.217$ $B.400$ $C.465$ $D.500$

分析：类比求36的所有正约数之和的方法，因为(200=2^3×5^2)，所以200的所有正约数和为((1+2+2^2+2^3)(1+5+5^2)=465)。故选(C).

例13【类比推理】半径为(r)的圆的面积(S=pi r^2),周长(C=2pi r)，若将(r)看作((0，+infty))上的变量,则((pi r^2)′=2pi r)，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；

对于半径为(R)的球，若将(R)看作((0，+infty))上的变量，类比圆的上述性质,可得球的相关性质为________________________(语言叙述).

分析：半径为(R)的球体积(V= cfrac{4}{3}pi R^3)，表面积(S=4pi R^2)，显然$ (cfrac{4}{3}pi R^3)′=4pi R^2$，

即球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

例14【类比推理】【2016-2017宝鸡市第一次质量检测16题】我市在“录像课评比”活动中，。。。

分析：本题考察逻辑与推理中的不完全归纳法，策略：当5节课不好思考时，先减少课时思考；

当只有1节课时，比如结果((1,优))或((1,差))，优秀课最多是1节，

当只有2节课时，比如结果((2,差))或((1,优))，优秀课最多是2节，

当只有3节课时，比如结果((3,差))或((2,中))或((1,优))，优秀课最多是3节，

解释：从第一个维度评判，第一节课是优秀课，从第二个维度评判，第三节课是优秀课，

评判第二节课时，由于2>1，中好于差，故第二节课从两个维度都不亚于其他课，那么也是优秀课。

当只有4节课时，比如结果((4,差))或((3,中))或((2,良))或((1,优))，优秀课最多是4节，

当只有5节课时，比如结果((5,差))或((4,次差))或((3,中))或((2,良))或((1,优))，优秀课最多是5节，

例15【类比推理】【2019届高三理科数学资料用题】在平面几何中有如下结论：正三角形(ABC)的内切圆面积为 (S_1)，外接圆面积为(S_2)，则(cfrac{S_1}{S_2}=cfrac{1}{4})，推广到空间可以得到类似结论。已知正四面体(P-ABC)的内切球体积为(V_1)，外接球体积为 (V_2)，则(cfrac{V_1}{V_2}=cfrac{1}{27})。

分析：由于正三角形的内切圆半径(r)与外接圆半径(R)之比为(r：R=1：2)，

故(cfrac{S_1}{S_2}=cfrac{picdot r^2}{picdot R^2}=(cfrac{1}{2})^2=cfrac{1}{4})，

正四面体的内切球半径(r)与外接球半径(R)之比为(r：R=1：3)，

故(cfrac{V_1}{V_2}=cfrac{cfrac{4}{3}cdot picdot r^3}{cfrac{4}{3}cdotpicdot R^3}=(cfrac{1}{3})^3=cfrac{1}{27})。

例16【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】【逻辑推理】将(10)元、(20)元、(50)元随机分给甲、乙、丙三人，现有以下说法，甲：我比乙多40元；乙：我只有10元；丙：甲比我多10元。若以上说法中只有一个是正确的，则甲分得________元。

分析：逐个假设正确，进行逻辑推理，结果是丙说的是正确的，此时丙得(10)元，甲得(20)元。

例17【2018宝鸡市高三数学第一次质量检测第10题】某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名。无论是否把我算在内，下面说法都是对的。在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士。”请你推断说话人的性别与职业是【】

$A.男医生$ $B.男护士$ $C.女医生$ $D.女护士$

分析：设男医生为(a)个，女医生为(b)个，女护士为(c)个，男护士为(d)个，则由题目可知

(egin{cases}&a+b+c+d=17\&a+bge c+d\&c>a\&a>b\&dge 2end{cases})，由于(b-dge c-a>0)，故(b>d)，

故得到(c>a>b>dge 2)。

当(d=2)时，我们可以依次给其他三个变量赋值，比如(c(5)>a(4)>b(3)>d(2))，此时不满足和为17；

再换一组比如(c(8)>a(4)>b(3)>d(2))，又不满足(a+bge c+d)，

这样一路测试下来，只有(c(6)>a(5)>b(4)>d(2))是满足所有条件的，而且此时只有(b-1=3)，

还满足刚才的式子，说明那个人只能是女医生；

当(d>2)，比如(d=3)时，仿上赋值(c(6)>a(5)>b(4)>d(3))，或者其他的赋值方式，都是不符合题意的，

综上所述，那个人只能是女医生；故选C.

反思总结 ：这样的题目我们往往不知道从何入手，但是当我们把题目转化为不等式组这个数学模型时，我们就有了切入点了。

补充证明：等面积法；

(cfrac{1}{2} imes BC imes P_a+cfrac{1}{2} imes AC imes P_b+cfrac{1}{2} imes AB imes P_c=S)

(cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{S}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{S}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{S}=1)

(cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{cfrac{1}{2} imes BC imes h_a}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{cfrac{1}{2} imes AC imes h_b}+cfrac{cfrac{1}{2} imes BC imes P_a}{cfrac{1}{2} imes AB imes h_c}=1)

(cfrac{P_a}{h_a}+cfrac{P_b}{h_b}+cfrac{P_c}{h_c}=1)