前言
自定义概念
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定集:集合(A={xmid -2leq xleq 7}),由于其左右端点是固定不变化的,故我们可以形象的称其为定集;
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动集:集合(B={xmid m+1< x<2m-1 }),其左右端点是随着(m)的取值变化的,故我们可以形象的称其为动集;这样两个集合的关系就可能随着(m)的取值发生变化。
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仿二次方程:比如(ax^2+3x-2=0),由于题目没有告诉(a)的取值,那么它就可能是一次方程(3x-2=0),也可能是二次方程(ax^2+3x-2=0(a eq 0)),故当我们看到仿二次方程时,我们就应该想到分类讨论,由于思维定势的缘故,最容易漏掉(a=0)的情形;
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仿二次函数:(y=ax^2+3x-2)就是仿二次函数,包含了一次函数和二次函数两种情形;
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仿二次不等式:(ax^2+3x-2ge 0)就是仿二次不等式,包含了一次不等式和二次不等式两种情形;很显然题目中出现这个就是想看看,你的思维是否严密。
易错提示
题目中出现(Asubseteq B)时,常常意味着集合(A)有两种情形:(A=varnothing)和(A eq varnothing)。
(Asubseteq BLongleftrightarrow Acap B=A);(Asubseteq BLongleftrightarrow Acup B=B);
基础习题
分析:({0,3,4,5})
分析:({2,5,6})
分析:({(0,6),(1,5),(2,2)})
分析:集合(A)为定集,集合(B)为动集,又因为出现了条件(Bsubseteq A),故需要针对集合(B)分类讨论如下:
1、当集合(B=varnothing)时,则有(m+1ge 2m-1),解得(mleq 2);
2、当集合(B eqvarnothing)时,必须满足三个条件,即 (left{egin{array}{l}{m+1< 2m-1}\{ -2 leq m+1}\{2m-1 leq7}end{array} ight.),解得(2<mleq 4);
综上所述:实数(m)的取值范围是({mmid mleq 4})。
分析:自行画出草图可知,若存在满足题意的实数(m),则必满足条件(egin{cases} m+1 < -2 \ 2m-1 >7end{cases}),解得(min varnothing)。故这样的实数不存在。
分析:自行画出草图可知,先列出条件(egin{cases}&m+1leq-2\&1-2m ge 7end{cases}),解得(mleq -3),接下来验证(m=-3)是否满足题意。
当(m=-3)时,(A=[-2,7]),(B=[m+1,1-2m]=[-2,7]),此时(A=B),不满足题意,舍去,故实数(m)的取值范围为({mmid m<-3})。
分析:本题目就对应相等的方向上有(A ightarrow B)和(B ightarrow A)两个方向,但是由(B ightarrow A)比较简单,故求解如下
由(0=2x),推出集合A中分母为0,故只能是(0=cfrac{y-1}{x}),故(y=1),此时集合(A={2x,0,1}),集合(B={x^2,x+1,0}),这时候的对应要么(2x=x^2)要么(2x=x+1),
当(2x=x^2)时,解得(x=0或x=2),当(x=2)时,集合(A={4,0,1}),集合(B={4,3,1}),验证都不满足题意;
当(2x=x+1)时,解得(x=1),验证得到此时(A={2,0,1}=B={1,2,0}),满足题意,则(x=1),故(x+y=2)。
分析:应该比较容易想到(Mcap N)的元素个数就是两个函数的图像的交点个数,但难点是这两个函数图像的交点,绝大多数学生会画错的,在(x<0)处有一个交点,在(x>0)处应该有两个交点,因为(x=2)或(x=4)时,(x^2=2^x)。故所求的元素个数是(3)个。
分析:由题目可知,本题实质是求集合(A)的所有子集的个数,故有(2^3=8)个。
分析:由于要求(Acup B={-1,0,1}),故集合(B)的构成分为两步:第一步必须选必选元素(0),第二步从可选元素(-1,1)中分别选出(0)个,(1)个,(2)个元素,即就是求集合({-1,1})的所有子集的个数,故有(2^2=4)个。
分析:由于给定的方程(ax^2-3x+2=0)是仿二次方程,故需要针对(a)分类讨论:
当(a=0)时,(x=cfrac{2}{3}),此时(A={cfrac{2}{3}})满足题意;
当(a eq 0)时,二次方程必须有两个相等的根,由(Delta=0)得到(a=cfrac{9}{8}),
故(a=0)或(a=cfrac{9}{8})。
(1)求(a)的值,并写出(A)的所有子集。
(2)若集合(B={xin Rmid x^2+(m-3)x+m=0}),((C_RA)cap B=varnothing),求实数(m)的集合。
【解析】(1)因为(1in A),所以(2×1^2+a×1-a^2=0),解得(a=-1)或(a=2)
当(a=2)时,(A={1,-2}),与已知(-2 otin A)矛盾,所以(a eq 2)
当(a=-1)时,(A={ xin Rmid 2x^2-x-1=0}={1,-cfrac{1}{2}}),符合题意。
所以A的所有子集为(varnothing),({1}),({-cfrac{1}{2}}),({1,-cfrac{1}{2}})。
(2)因为((C_RA)cap B=varnothing),所以(Bsubseteq A),由于方程(x^2+(m-3)x+m=0)的判别式(Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9),所以按照判别式的符号分类讨论如下:
①当(Delta<0)即(1<m<9)时,集合B为空集,符合题意。
②当(Delta=0)即(m=1)或(m=9)时,若(m=1),则(B={1}),符合题意,若(m=9),则(B={-3}),不符合题意,舍去。
③当(Delta>0)即(m<1)或(m>9)时,集合(B)有两个元素,所以(B=A),所以(egin{cases}-cfrac{1}{2}+1=-(m-3)\(-cfrac{1}{2}) imes1=mend{cases})矛盾,舍去。所以实数(m)的值构成的集合为([1,9))。
【解析】选(D),由(x in A),(y in A)得(x-y=0)或(x-y=pm1)或(x-y=pm2)或(x-y=pm3)或(x-y=pm4),
所以集合(B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3), (5,3),(5,4)}),
所以集合(B)有10个元素。
分析:由题目可知,集合(A)有且仅有两个子集,说明集合(A)应该为单元素集合,从而说明仿二次方程((k+2)x^2+2kx+1=0),可能有一次方程和二次方程两种情形。
当(k=-2)时,原方程变形为一次方程(-4x+1=0),仅有一个解,适合题意;
当(k eq -2)时,原方程要仅有一个解,则必须(Delta =0),即((2k)^2-4cdot(k+2)cdot 1=0),解得(k=2)或(k=-1),满足题意,
综上所述,实数(k)的取值为(pm 2或-1),故选(D)。
分析:由于(x,yin M),集合(M={0,1,2}),故点((x,y))的所有取值情形有(9)种,
即有((0,0)),((0,1)),((0,2)),((1,0)),((1,1)),((1,2)),((2,0)),((2,1)),((2,2)),
将其分别代入条件(x-2y+1ge 0)和(x-2y-1leq 0)验证,可知,(N={(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)}),
故集合(N)的非空真子集的个数为(2^4-2=14),选(B)。
分析:由(a+2leq 2)且(age -cfrac{1}{2}),得到(ain [-cfrac{1}{2},0]),故选(B)。
分析:训练解不等式和集合运算,选(C).
提示:(Acap B={1,2}),故选(D).
分析:训练解不等式和集合运算,选(C).
分析:(Acup B=(-1,2)),由题目可知((-1,2)subseteq C),集合(C={xmid mx+1>0}),
当(m>0)时,(x>-cfrac{1}{m}),则(C=(-cfrac{1}{m},+infty)),则(-cfrac{1}{m}leqslant -1),解得(mleqslant 1),故(0<mleqslant 1);
当(m=0)时,(C=R),满足题意;
当(m<0)时,(x<-cfrac{1}{m}),则(C=(-infty,-cfrac{1}{m})),则(-cfrac{1}{m}geqslant 2),解得(mgeqslant -cfrac{1}{2}),故(-cfrac{1}{2}leqslant m <0);
综上所述,实数(m)的取值范围是([-cfrac{1}{2},1]);
分析:由题目可知,((x-a)(x-1)<0),
当(a=1)时,解集为(varnothing),满足解集中至多包含(2)个整数,符合题意;
当(a>1)时,解集为((1,a)),若要解集中至多包含(2)个整数,则需要(aleqslant 4),故(1<aleqslant 4);
当(a<1)时,解集为((a,1)),若要解集中至多包含(2)个整数,则需要(ageqslant -2),故(-2leqslant a < 1);
综上所述,实数(a)的取值范围是([-2,4]);
拔高习题
分析:集合(P)中分别有50个元素,(Q)中分别有3个元素,两两相乘,不计重复共有(50 imes 3=150)个元素,其中重复元素可以这样统计:
当(xin P,y=2)时,(xy)一定时偶数,而(xin P,y=3)与(xin P,y=5)时的(xy)值为奇数,二者不会重复;
但是(xin P,y=3)与(xin P,y=5)时的(xy)值都是奇数,有可能重复;具体的重复的个数计算如下:
令(3(2k_1-1)=5(2k_2-1)),(k_1,k_2in N^*,1leq k_1,k_2leq 50),变形为(k_2=cfrac{3k_1+1}{5}),当(k_1=3,8,13,18,23,28,33,38,43,48)时,对应的(k_2in N^*),故重复的元素有10个,故集合(T=)中元素的个数为(150-10=140)个。
分析:集合(A)表示圆心在((1,0)),半径为(1)的圆,集合(B)表示直线(x+y+m=0)的右上方区域,要使得(Asubseteq B),
则圆要在直线(x+y+m=0)的右上方区域,则圆心到直线的距离(d=cfrac{|1+0+m|}{sqrt{2}}geqslant 1),解得(mgeqslant sqrt{2}-1),或者(mleqslant -sqrt{2}-1),
结合图形舍去(mleqslant -sqrt{2}-1),故(mgeqslant sqrt{2}-1),即所求范围为(min [sqrt{2}-1,+infty)).
(1).(0in A),(1in A);
(2).对任意(x,yin A),(x+yin A),(x-yin A),(xyin A),(cfrac{x}{y}in A(y eq 0)),则称(A)为一个数域,那么命题:
①有理数集(Q)是一个数域;
②若(A)为一个数域,则(Qsubseteq A);
③若(A),(B)都是数域,则(Acap B)也是一个数域;
④若(A),(B)都是数域,则(Acup B)也是一个数域;
其中真命题的序号为___________。
欲理解如下:比如整数集(Z)就不是一个数域,整数集(Z)满足(0in Z),(1in Z);但是不满足条件二,比如(1in Z),(2in Z),但是(cfrac{1}{2} otin Z),故整数集(Z)不是一个数域;同理,自然数集(N)不是数域[同理(cfrac{1}{2} otin N),],无理数集(C_RQ)不是数域[比如(cfrac{sqrt{2}}{sqrt{2}}=1 otin C_RQ)];
详细分析如下:
对于①而言,有理数集(Q)显然满足条件一,对于任意两个有理数,其四则运算的结果一定是有理数,则满足条件二,故有理数集(Q)是一个数域;即①正确;且有理数集(Q)是最小的数域;
对于②而言,理解了有理数集(Q)是最小的数域,则容易知道②正确;
[解释:由于(A)为数域,则(0in A),(1in A),则对任意正整数(min Z^+),必然有(m=1+1+1+cdots in A),进而能得到整数集;继而对(forall m,nin z^+),(mpm nin A),(mnin Q),(pm cfrac{m}{n}in A),显然后半部分构成了分数集;而任意一个有理数可表成两个整数的商,故(Qin A)]
对于③而言,正确,令(C=Acap B),则由(A),(B)都是数域,则(0,1in A)且(0,1in B),故(0,1in C);又由于对任意(x,yin A),对任意(x,yin B),则一定有(x+yin A),(x-yin A),(xyin A),(cfrac{x}{y}in A(y eq 0))且一定有(x+yin B),(x-yin B),(xyin B),(cfrac{x}{y}in B(y eq 0)),故必然有(x+yin C),(x-yin C),(xyin C),(cfrac{x}{y}in C(y eq 0)),即(C)满足条件一和二,故(C)是数域,也就是(Acap B)是数域,故③正确;
对于④而言,我们前面说明无理数集不能构成数域,但是形如(M={a+sqrt{2}b (a,bin Q)})的无理数集合却是可以构成数域的,说明如下:
令(a=b=0),则(0in M),令(a=1,b=0),则(1in M),故满足条件一;
任取集合(M)中的两个数(a_1+sqrt{2}b_1(a_1,b_1in Q))和(a_2+sqrt{2}b_2(a_2,b_2in Q)),
容易说明他们的和与差((a_1pm a_2)+(b_1pm b_2)sqrt{2}in M),
其乘积((a_1+sqrt{2}b_1)(a_2+sqrt{2}b_2)=cdots=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)sqrt{2}in M),
其商(说明一个即可)(cfrac{a_1+sqrt{2}b_1}{a_2+sqrt{2}b_2}=cfrac{(a_1+sqrt{2}b_1)(a_2-sqrt{2}b_2)}{(a_2+sqrt{2}b_2)(a_2-sqrt{2}b_2)}=cfrac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(-a_1b_2+a_2b_1)sqrt{2}}{a_2^2-2b_2^2}in M)
即集合(M)满足条件二;综上所述,形如(M={a+sqrt{2}b (a,bin Q)})的无理数集合可以构成数域,
为了说明④错误,我们取(M={a+sqrt{2}b (a,bin Q)}),(N={a+sqrt{3}b (a,bin Q)}),
此时容易说明(1+sqrt{2})和(1+sqrt{3})的和(2+sqrt{2}+sqrt{3})并不在其并集(Mcup N)中,
故若(A),(B)都是数域,则(Acup B)却不一定是数域;故④错误;
综上所述,正确命题的序号为①②③;
对应练习
[解析] 解方程(x-cfrac{1}{x}=0),得(x=1)或(x=-1),所以(A={1,-1}),又(Acup B={-1,0,1}),
所以(B={0})或({0,1})或({0,-1})或({0,1,-1}),故集合(B)共有(4)个,故选(C).
提示:仿一次方程,分类讨论,选(D).
法1:直接法,(A=[-2,5]),(B=[m+1,2m-1]),
由于(Acap B eq varnothing),则(B eq varnothing),
则(left{egin{array}{l}{m+1leqslant 2m-1}\{-2leqslant m+1leqslant 5}end{array} ight.)①或(left{egin{array}{l}{m+1leqslant 2m-1}\{-2leqslant 2m-1leqslant 5}end{array} ight.)②,
解①得到,(2leqslant mleqslant 4);解②得到,(2leqslant mleqslant 3);
求其并集,得到(2leqslant mleqslant 4);故选(C);
法2:间接法,(A=[-2,5]),(B=[m+1,2m-1]),先求(Acap B=varnothing),
①当(B=varnothing)时,则(m+1>2m-1),解得(m<2);
②当(B eq varnothing)时,要使得(Acap B=varnothing),
则(left{egin{array}{l}{mgeqslant 2}\{m+1>5}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{mgeqslant 2}\{2m-1<-2}end{array} ight.)
解得(m>4),
综上可知,(Acap B=varnothing)时,(m<2)或(m>4),
故(Acap B eqvarnothing)时,(2leqslant mleqslant 4),故选(C);
提示:由(Acap B=B),得到(Bsubseteq A);分类讨论如下:
当(B=varnothing),(Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)<0),解得(a<-1);
当(B)为单元素集时,即(B={0})或(B={-4}),详述如下,
当(B={0})时,将(x=0)代入方程得到(a^2-1=0),解得(a=1)或者(a=-1),
接下来验证如下,当(a=1)时,(B={0,-4}),不符前提(B={0}),故舍去;再验证(a=-1)时,(B={0}),符合前提(B={0});
当(B={-4})时,将(x=-4)代入方程得到(a^2-8a+7=0),解得(a=-1)或者(a=-7),
接下来验证如下,当(a=-7)时,(B={4,12}),不符前提(B={-4}),故舍去;再验证(a=-1)时,(B={0}),符合前提(B={-4}),故舍去;
即(B={0})时,(a=-1)符合题意;
当(B)为双元素集时,即(B={0,-4})时,由根与系数关系得到,
(left{egin{array}{l}{Delta=4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\{x_1+x_2=-2(a+1)=-4②}\{x_1x_2=a^2-1=0③}end{array} ight.)
最快的解法是口算②式,得到(a=1),代入③式口算验证成立,再代入①式口算验证成立,故上述混合组的结果为(a=1).
综上所述,得到参数的取值范围是(ain(-infty,-1]cup {1}).
转化划归
能转化为集合的包含与否关系的题目
- 充分不必要、必要不充分的转化;
【解析】先化简命题(p),由((x-m)^2>3(x-m)),得到(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0),
即(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0),即((x-m)[x-(m+3)]>0),
则有(p:x>m+3)或(x<m;q:-4<x<1);
因为(p)是(q)成立的必要不充分条件,则({xmid-4<x<1}subseteq {xmid x>m+3或x<m}),
所以(m+3≤-4)或(m≥1),即(m≤-7)或(m≥1),
故(m)的取值范围为((-infty,-7]cup[1,+infty))。
- 已知函数的单调区间,求参数的取值范围(参数包含在给定区间的端点处)。
法1:集合法,先用导数的方法求得函数(f(x))的单调递减区间,(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)),
令(f'(x)<0),解得(xin (-2,1)),即其单调递减区间为([-2,1]),此处必须写成闭区间,否则会丢掉参数的个别取值。
而题设又已知函数在([a,a+1])上单调递减,故([a,a+1]subseteq [-2,1]),即问题转化为集合的包含关系问题了。
此时只需要满足(left{egin{array}{l}{-2leqslant a}\{a+1leqslant 1}end{array} ight.),解得(-2leqslant aleqslant 0),
故参数(a)的取值范围为([-2,0])。
法2:导数法,由题设可知,(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)),由于函数在区间([a,a+1])上单调递减,
则(f'(x)=3(x+2)(x-1)leq 0)在区间([a,a+1])上恒成立,则(left{egin{array}{l}{f'(a)leqslant 0}\{f'(a+1)leqslant 0}end{array} ight.)
即(left{egin{array}{l}{3(a+2)(a-1)leqslant 0}\{3(a+3)aleqslant 0}end{array} ight.),解得(left{egin{array}{l}{-2leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 0}end{array} ight.),则(ain [-2,0])。