网上看到一题目的解法的启示

引例已知函数(f(x)=2ax^2-x-1)在区间((0，1))上仅有一个零点，求实数(a)的取值范围。

【法1】：(某搜题软件的解法)由于(f(x)=0)在区间((0，1))上仅有一个根，有以下两种情形：

①(f(0)f(1)<0)；②(egin{cases} a eq 0 \ Delta=0 end{cases})且解在((0，1))上，

由①得(-1(2a-2)<0)，解得(a>1)，

由②得(1+8a=0)，但此时代入方程得到(x=-2 otin(0，1))上，舍去，

综上可知(a>1).

【法2】：如果注意到仿二次函数(f(x))恒过点((0，-1))，即(f(x)=-1)已经满足，结合其图像的可能情形，

只能是二次函数且开口向上，由根的存在性定理可知，必须且只需满足条件(f(1)>0)，解得(a>1).

• 导数法+分离参数

【法3】：原题转化为方程(2ax^2=x+1)在区间((0，1))上仅有一个根，

即方程(2a=cfrac{x+1}{x^2})在区间((0，1))上仅有一个根，

即函数(y=2a)和函数(g(x)=cfrac{x+1}{x^2}=cfrac{1}{x}+cfrac{1}{x^2})在区间((0，1))上仅有一个交点，

以下用导数方法研究函数(g(x))的单调性，以便手工做出其大致图像。

(g'(x)=-cfrac{1}{x^2}-cfrac{1}{x^3})，故(xin (0，1))，(g'(x)<0)恒成立，故(g(x))在区间((0，1))上单调递减，

(g(x)_{min} ightarrow g(1)=2)，要使两个函数图像有一个交点，

则须有(2a>2)，解得(a>1).

同类题已知函数(f(x)=ax^2-4x+1)在区间((0，1))上仅有一个零点，求实数(a)的取值范围。

分析：此题也可以用法2和法3求解，但感觉法3简单，所以针对函数在某区间仅有一个零点的问题，首选导数和分离参数法。