求函数的解析式

前言

函数的解析式是函数的重要性质之一，要研究函数，我们往往需要以函数的解析式为依托和切入，如果知道了函数的解析式，那么我们也许通过观察就能很快发现函数的一些简单的性质，比如(f(x)=x+x^3)，看到这个解析式，我们就能知道函数的定义域和值域都是(R)，是奇函数，是单调递增函数，过点((0，0))等。所以我们必须切实掌握求函数的解析式的常用方法。对常用的基本方法详细说明如下：

配凑法

操作说明：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。

例1已知函数(f(x))满足条件 (f(sqrt{x}+1)=x+2sqrt{x})，求(f(x))，求(f(x))的解析式；

分析： (f(sqrt{x}+1)=x+2sqrt{x}=(sqrt{x}+1)^2-1)，

注意右端需要配凑出以(sqrt{x}+1)为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；

令(sqrt{x}+1=t)，则新元(tge 1)

故解析式为(f(t)=t^2-1(tge 1))，再将自变量替换为我们适应的(x)，

则所求的解析式为(f(x)=x^2-1(xge 1))。

例1-2 已知(f(x+cfrac{1}{x})=x^3+cfrac{1}{x^3})，求(f(x))的解析式；

分析：注意到(x^3+cfrac{1}{x^3}=(x+cfrac{1}{x})^3-3(x+cfrac{1}{x}))，

令(t=x+cfrac{1}{x})，则新元(t in(-infty，-2]cup[2，+infty))

故所求解析式为(f(x)=x^3-3x(|x|ge 2))

解后反思：

1、配凑法是结构化的方法，要注意式子两端的对应性，比如左端的自变量整体是(sqrt{x}+1)，那么右端就必须围绕它来做文章；

2、但凡使用了换元之处，就一定需要注意新元和旧元的取值范围的一致性。

3、例1-2中的(t=x+cfrac{1}{x})，其实是一个对勾函数，这时高三数学中的一个高频函数，需要特别注意，要对其性质非常清晰才行。

换元法

操作说明：将未知的或无法掌握的解析式问题转化为已知的解析式问题。

例2【代数换元】求函数(f(x)=4^x+3cdot 2^x+1)的值域。

分析：注意到函数的结果特点，

做代数换元令(2^x=t>0)，

则原函数就转化为(f(x)=g(t)=t^2+3t+1，tin(0，+infty))上的值域

例2-2【三角换元】求函数(f(x)=x+sqrt{1-x^2})的值域。

分析：求定义域得到(xin[-1，1])，

故做三角换元令(x=cos heta, hetain[0，pi])，

则函数(f(x)=x+sqrt{1-x^2})

(=cos heta+sqrt{1-cos^2 heta})

(=cos heta+|sin heta|)

(=sin heta+cos heta)

(=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in[-sqrt{2}，sqrt{2}])，

故函数的值域为([-sqrt{2}，sqrt{2}])。

例2-3【三角换元】求函数(f(x)=sinx+cosx+sinxcosx)的值域。

分析：令(t=sinx+cosx=sqrt{2}sin(x+cfrac{pi}{4}))，

则可知(tin[-sqrt{2}，sqrt{2}])，

又由((sinx+cosx)^2=t^2)得到(sinxcosx=cfrac{t^2-1}{2})，

故此时原函数经过换元就转化为二次函数在闭区间上的值域问题了

(f(x)=g(t)=t+cfrac{t^2-1}{2}=cfrac{1}{2}t^2+t-cfrac{1}{2})，(tin[-sqrt{2}，sqrt{2}])，

解后反思：

1、上述的三个求值域的问题，实际上都先是个求解析式的问题，不过没有人提示我们用换元法，需要我们有一定的数学素养。

同时还暗含了转化划归的一个策略，即将未知的转化为已知的，将复杂的转化为简单的，将高级的转化为低级的。

2、换元法首要注意的一点就是，换元前后的变量取值的一致性。

3、第三个例题的转化非常特殊，注意特别注意。引申比如(sinxpm cosxpm 2sinxcosx)的转化；

例1 定义在((0，+infty))上的单调函数(f(x))，(forall xin(0，+infty))，(f[f(x)-2lnx]=1)，则方程(f(x)-)(f'(x)=1)的解所在的区间是【】

$A.(0，cfrac{1}{2})$ $B.(cfrac{1}{2}，1)$ $C.(1，2)$ $D.(2，4)$

分析：令内层函数(f(x)-2lnx=t)，则(f(t)=1)且(f(x)=t+2lnx)，

又由已知得到(f(t)=t+2lnt)，故有(t+2lnt=1)，

观察得到(t=1)，即得到函数的解析式(f(x)=2lnx+1)；

又(f'(x)=cfrac{2}{x})，故所求方程为(2lnx+1-cfrac{2}{x}=1)，

即(2lnx-cfrac{2}{x}=0)； 令(g(x)=2lnx-cfrac{2}{x})，

(g(1)=2ln1-2<0，g(2)=2lnx-1>0)，故有解区间为 (C.(1，2)) .

例2已知函数(f(x))的定义域为(R)，且对于任意实数(x)，都满足(f[f(x)-e^x]=e+1)，求(f(ln2))的值。

分析：本题实质是求抽象复合函数的解析式，令内函数(f(x)-e^x=t)，

则有(f(x)=e^x+t)，又由题目可知，(f(t)=e+1)，故有(f(t)=e^t+t)，

则(e^t+t=e+1)，观察可知(t=1)，即有(f(x)-e^x=1)，

(f(x)=e^x+1)，所以(f(ln2)=e^{ln2}+1=3)。

例3设函数(f(x))在((0，+infty))内可导，且(f(e^x)=x+e^x)，则(f'(1))=________

法1：换元法，令(e^x=t)，则(x=lnt)，由已知可知(f(t)=lnt+t)，

即(f(x)=lnx+x)，故(f'(x)=cfrac{1}{x}+1)，

令(x=1)，得到(f'(1)=2).

法2：复合函数求导法，由(f(e^x)=x+e^x)，

两边对(x)求导，得到(f'(e^x)cdot e^x=1+e^x)，

即(f'(e^x)=cfrac{1}{e^x}+1)，令(e^x=1)，

即(x=0)，代入得到(f'(1)=cfrac{1}{1}+1=2).

待定系数法

操作说明：适用于已知函数的类型， 比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

例3已知一次函数(f(x))满足条件(f(f(x))=x+2)，求(f(x))的解析式；

分析：由于函数(f(x))是一次函数，故我们可以合理的设函数(f(x)=ax+b)，

则(f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=x+2)，

故有(a^2=2)，(ab+b=1)，

解得(a=1，b=1)，故所求为(f(x)=x+1)；

解后反思：当已知了函数的类型，比如一次函数(需要知道两个点的坐标)、二次函数(需要知道三个点的坐标)、指数函数(需要知道一个点的坐标)、对数函数(需要知道一个点的坐标)、幂函数(需要知道一个点的坐标)，等我们就可以用待定系数法求解析式了。

例3-1已知二次函数(f(x))满足(f(2)=-1)，(f(-1)=-1)，且(f(x))的最大值是(8)，试确定此二次函数的解析式。

法1：一般式，设(f(x)=ax^2+bx+c(a eq 0))，

由题意得(egin{cases}4a+2b+c=-1\a-b+c=-1\ cfrac{4ac-b^2}{4a}=8end{cases})，

解得(egin{cases}a=-4\b=4\c=7end{cases})，

故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

法2：顶点式，设(f(x)=a(x-m)^2+n)，由题意得(n=8)，又(f(2)=f(-1))，

故函数的对称轴是(x=cfrac{2+(-1)}{2}=cfrac{1}{2})，故(m=cfrac{1}{2})。

则(y=f(x)=a(x-cfrac{1}{2})^2+8)，

又(f(2)=-1)，(a(2-cfrac{1}{2})^2+8=-1)，

解得(a=-4)，故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

法3：两根式(零点式)，由已知(f(x)+1=0)的两根(x_1=2)，(x_2=-1)，

故可设(f(x)+1=a(x+1)(x-2))，即(f(x)=ax^2-ax-2a-1)，

又函数(f(x)_{max}=8)，即(cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8)，

解得(a=-4)或(a=0(舍去))，故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

方程组法

操作说明：适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形

例4若函数(f(x))满足(f(x)+2f(1-x)=x)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(1-x)替换原方程中的(x),得到(f(1-x)+2f(x)=1-x)，

联立两式，则有(egin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\f(1-x)+2f(x)=1-xend{cases})，

解以(f(x))和(f(1-x))为元的二元一次方程组，

解得(f(x)=cfrac{2}{3}-x);

例4-1若函数(f(x))满足(f(x)+2f(2-x)=x)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(2-x)替换原方程中的(x),得到(f(2-x)+2f(x)=2-x)，联立两式，解得(f(x)=?);

例4-2若函数(f(x))满足(f(x)+2f(-x)=x+1)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(-x)替换原方程中的(x)，

例4-3若函数(f(x))满足(f(x)+2f(cfrac{1}{x})=3x)，则(f(x))的解析式为______.

分析：方程组法，用(cfrac{1}{x})替换原方程中的(x),

例4-4若函数(f(x))满足(f(x)+2f(cfrac{2}{x})=3x)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(cfrac{2}{x})替换原方程中的(x),

例4-5已知函数(f(x))的定义域为 ((0,+infty))，且(f(x)=2f(cfrac{1}{x})cdot sqrt{x-1})，则(f(x))=_________;

提示：(f(x)=cfrac{2}{3}sqrt{x}+cfrac{1}{3});

例4-6已知定义在((-1,1))内的函数(f(x))满足(2f(x)-f(-x)=lg(x+1))，则(f(x))=_________;

提示：(f(x)=cfrac{2}{3}lg(x+1)+cfrac{1}{3}lg(1-x))，(xin (-1,1)).

解后反思：由于两个自变量整体的和或者积为定值，故一旦替换，原来(A)位置上就变成了(B)，原来(B)位置上就变成了(A)，这样就构成了方程组，解之即得。

奇偶性法

利用奇偶性求解析式，备注：近年高考的热点，最好不要掌握简洁方式，要老实掌握解析式的求法；

例5【2017全国卷2，文科第14题高考真题】已知函数(f(x))是定义在(R)上的奇函数，(x <0)时，(f(x)=2x^3+x^2)，求(f(2))的值；

法1：当(x >0)时，(-x <0)，(f(-x)=-2x^3+x^2)，

又函数是奇函数，故(f(x)=-f(-x)=2x^3-x^2)，

即(x >0)时的解析式(f(x)=2x^3-x^2)；又(f(0)=0)

故解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{2x^3+x^2，xleqslant 0}\{2x^3-x^2，x>0}end{array} ight.)

故(f(2)=2 imes 2^3-2^2=12)；

法2：求(f(2))的值还可以这样做，不求解析式，利用奇偶性求值。

(f(-2)=-12)，(f(2)=-f(-2)=12)；

例5-1已知(f(x))，(g(x))分别是定义在(R)上的奇函数和偶函数，(f(x)-g(x)=x^3+x^2+1)，求(f(x))和(g(x))的解析式。

分析：由题目可知，奇函数满足(f(x)+f(-x)=0)，偶函数满足(g(x)=g(-x))

又题目已知(f(x)-g(x)=x^3+x^2+1)①，

则有(f(-x)-g(-x)=-x^3+x^2+1)②，

两式相加得到，([f(x)+f(-x)]-[g(x)+g(-x)]=2(x^2+1))，

即(-2g(x)=2(x^2+1))，则(g(x)=-x^2-1)，

代入①式得到，(f(x)=x^3)，

故所求解析式(f(x)=x^3)，(g(x)=-x^2-1)。

例5-2【2016全国卷Ⅲ】已知(f(x))为偶函数，当(xleq 0)时，(f(x)=e^{-x-1}-x)，则曲线(y=f(x))在点((1，2))处的切线方程是___________。

分析：利用偶函数性质求解析式，

设(x>0)，则(-x<0)，则(f(-x)=e^{x-1}+x)，由于(f(x))为偶函数，

所以(f(-x)=f(x))，故(f(x)=e^{x-1}+x)，

即其解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{e^{-x-1}-x，xleqslant 0}\{e^{x-1}+x，x>0}end{array} ight.)

由于(x>0)时，(f'(x)=e^{x-1}+1)，所以(f'(1)=e^{1-1}+1=2)，

所以曲线(y=f(x))在点((1，2))处的切线方程为(y-2=2(x-1))，即(2x-y=0)。

对称性法

利用对称性求解析式，备注：近年高考的热点

例6【函数中心对称】已知定义在R上的函数(f(x))满足(f(1-x)+f(1+x)=2)，且当(x>1)时，(f(x)=cfrac{x}{e^{x-2}})，则曲线(y=f(x))在(x=0)处的切线方程是_____。

法1：利用函数的对称性，先求(x<1)时的函数解析式。

由于(f(1-x)+f(1+x)=2)，则有(f(x)+f(2-x)=2)，

故(f(x)=2-f(2-x))；

又当(x<1)时，(2-x>1)

即(x<1)时的解析式为

(f(x)=2-f(2-x)=2-cfrac{2-x}{e^{2-x-2}}=2-cfrac{2-x}{e^{-x}})，

图像演示

则(f'(x)=-cfrac{-1cdot e^{-x}-(2-x)cdot(-e^{-x})}{(e^{-x})^2}=-cfrac{1-x}{e^{-x}})

故(f'(0)=-1)，又(f(0)=0)，即切点为((0 ,0))，

由点斜式可得切线方程为：(y=-x)

法2：由(f(1-x)+f(1+x)=2)，得到函数(f(x))关于点((1，1))中心对称；

令(x=1)，得到(f(0)+f(2)=2)，

又函数(f(x))关于点((1，1))中心对称；

故(f'(0)=f'(2))

则(f'(0)=f'(2)=f'(x)_{|x=2}=-1)，

又(f(0)=2-f(2)=0)，即切点为((0 ,0))，

由点斜式可得切线方程为：(y=-x)

例6-2【函数轴对称】已知定义在R上的函数(f(x))满足(f(x)=f(2-x))，且当(xge 1)时，(f(x)=(x-1)^2)，求函数(f(x))的解析式；

分析：当(x<1)时，(2-x>1)，故有(f(2-x)=(2-x-1)^2=(x-1)^2)，

又(f(x)=f(2-x)=(x-1)^2)，

故(x<1)时，(f(x)=(x-1)^2)，

综上，(f(x)=(x-1)^2(xin R))。

例6-3【两个函数关于某点的对称】已知函数(f(x))的图像与函数(h(x)=x+cfrac{1}{x}+2)的图像关于点(A(1，0))对称，求(f(x))的解析式；

分析：设(f(x))图像上任一点(P(x，y))，

则点(P)关于((0，1))点的对称点(P'(-x，2-y))必在(h(x))的图像上，

即(2-y=-x-cfrac{1}{x}+2)，

即所求解析式为(f(x)=x+cfrac{1}{x}(x eq 0))。

周期性法

利用周期性求解析式，备注：冷门

例7函数(f(x))的周期为2，(0< x <2)时，(f(x)=x^2),求(2< x <4)时的解析式(f(x)).

分析：当(2< x <4)时，(0< x-2<2)，

故(f(x-2)=(x-2)^2)，

又由于(f(x)=f(x-2))，则(f(x)=(x-2)^2)

即(2< x <4)时的解析式(f(x)=(x-2)^2)。

• 7-1、综合几个方法求解

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第10题】已知函数(y=f(x))是定义在(R)上的奇函数，且满足(f(x+2)+f(x)=0)，当(xin [-2，0])时，(f(x)=-x^2-2x)，则当(xin [4，6])时，(y=f(x))的最小值为【】

$A.-8$ $B.-1$ $C.0$ $D.1$

分析：本题目的本质是求解函数(f(x))的解析式；属于利用函数的多个性质求解函数的解析式；

[法1]：由于(f(x+2)+f(x)=0)，即(f(x+2)=-f(x))，故(T=4)，又(y=f(x))是(R)上的奇函数，

故可以先利用奇偶性求得(xin [0，2])上的解析式；

当(xin [0,2])时，(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2 imes (-x)]=x^2-2x)，

再利用周期性求得(xin [4，6])上的解析式；

当(xin [4,6])时，(x-4in [0,2])，(f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2 imes (x-4)=x^2-10x+24)，

接下来求解(xin [4,6])时函数(f(x)=x^2-10x+24)的最小值；

(f(x)=(x-5)^2-1)，(xin [4,6])，故(f(x)_{min}=f(5)=-1)；故选(B);

[法2]：当求得(xin [0,2])时，(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2 imes (-x)]=x^2-2x)，

由于函数的周期为(4)，故函数(f(x))在(xin [0,2])段上的值域和(xin [4,6])段上的值域相同，

故只需要求解(xin [0,2])时，(f(x)=x^2-2x)的最小值即可，(f(x)=(x-1)^2-1)，

故(f(x)_{min}=f(1)=-1)，故(xin [4，6])上的最小值也是(-1)，故选(B);

[法3]：如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉，还可以这样求解如下：

由于周期为(T=4)，故有(f(x+4)=f(x))，又由于函数为奇函数，故(f(x)=-f(-x))，

则得到(f(x+4)=-f(-x))，这个表达式刻画的是函数的对称性，关于点((2,0))成中心对称；

若(xin[0,2])，则此时(f(-x))可解，且(f(x+4))即表达函数在(xin [4,6])上的解析式；

故(f(x+4)=-f(-x)=-[[-(-x)^2-2 imes (-x)]]=x^2-2x)，(xin [0,2])，

直接求(y=x^2-2x)，(xin [0,2])上的最小值即可，同上可知此时(y_{min}=y_{|x=1}=-1)，

故所求的最小值为(-1)，故选(B)；

其实做个代换，即能得到(xin [4,6])上的解析式；分析如下，

由于(f(x+4)=x^2-2x)，(xin [0,2])，令(x+4=t)，则(tin [4,6])，则(xin t-4)

故(f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24)，即(f(x)=x^2-10x+24)，(xin [4,6])；

例7-2【2020届凤翔中学高三文科资料用题】【2018上海崇明二模】设(f(x))是定义在(R)上以(2)为周期的偶函数，当(xin [0,1])时，(f(x)=log_2(x+1))，则函数(f(x))在([1,2])上的解析式是___________.

法1：利用奇偶性和周期性求解；

令(xin [-1，0])，则(-xin[0,1])，则(f(-x)=log_2(-x+1))，又由偶函数得到(f(x)=f(-x)=log_2(-x+1))；

令(xin [1,2])，则(x-2in [-1,0])，则(f(x-2)=log_2[-(x-2)+1]=log_2(3-x))，又由周期性得到(f(x)=f(x-2)=log_2(3-x))；

法2：利用对称性，由(f(x+2)=f(x))以及(f(x)=f(-x))，得到(f(2+x)=f(-x))，即(f(x)=f(2-x))，

当(xin [1,2])时，(2-xin [0,1])，故(f(x)=f(2-x)=log_2[(2-x)+1]=log_2(3-x))；

赋值法

利用赋值法求解析式，备注：冷门

例8已知定义在(R)上的函数(f(x))满足条件(f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1))，且(f(0)=1)，求(f(x))的解析式；

分析：令(y=x)，代入原式得到(f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1))，

即(f(x)-x(x+1)-f(0)=0)，

即(f(x)=x^2+x+1)

例8-1已知函数(f(x)=1+f(cfrac{1}{2})cdot log_2x)，求函数(f(x))的解析式及(f(2))的值。

分析：令(x=cfrac{1}{2})，则(f(cfrac{1}{2})=1+f(cfrac{1}{2})cdot log_2cfrac{1}{2})，

即(f(cfrac{1}{2})=1-f(cfrac{1}{2}))，解得(f(cfrac{1}{2})=cfrac{1}{2})，

故所求解析式为(f(x)=1+cfrac{1}{2}log_2x)，

则(f(2)=1+cfrac{1}{2}=cfrac{3}{2})。

适当化简

定义域优先原则也适用求解析式

例9已知函数(f(x))满足(f(cfrac{2}{x+|x|})=log_2 {sqrt{x|x|}})，求函数解析式(f(x))

分析：本题目主要考察对题目隐含条件的挖掘能力，本题目乍一看似乎很生猛，

但是如果有定义域优先的意识，注意到右端真数位置的(sqrt{x|x|})，

应该知道定义域(xin(0，+infty))，这样所给的解析式就能很快化简了。

即(f(cfrac{2}{x+|x|})=f(cfrac{2}{2x})=f(cfrac{1}{x})=log_2 {sqrt{x|x|}}=log_2 x)，

即(f(cfrac{1}{x})=log_2 x(x>0))，做代换令(cfrac{1}{x}=t(t>0))，

则(f(t)=log_2 cfrac{1}{t}=-log_2 t(t>0))，

故所求的(f(x)=-log _2 x (x>0))。

三角函数法

1、求正弦型函数的解析式；

应用题

实际问题中求解析式(勿忘定义域)

例10 如图，曲边三角形中，线段(OP)是直线(y=2x)的一部分，曲线段(PQ)是抛物线(y=-x^2+4)的一部分．矩形(ABCD)的顶点分别在线段(OP)，曲线段(PQ)和(y)轴上．设点(A（x，y）)，记矩形(ABCD)的面积为(f（x）)．

（Ⅰ）求函数(f（x）)的解析式并指明定义域；

分析：（Ⅰ）结合两点距离公式和面积公式写出面积解析式；

解答：（Ⅰ）由题可知，点(A(x，2x)（x>0）)，点(B(x，-x^2+4))，

故(|AD|=x)，(|AB|=-x^2-2x+4)，

则可知矩形(ABCD)的面积为(f（x）=|AD|cdot |AB|=xcdot (-x^2-2x+4)=-x^3-2x^2+4x)．

令(2x=-x^2+4)，解得(x=pmsqrt{5}-1)，舍去负值，即(x=sqrt{5}-1)，即定义域为(0< x <sqrt{5}-1)，

故函数(f(x))的解析式为(f(x)=-x^3-2x^2+4x(0< x <sqrt{5}-1))。

特殊方法

例4(利用导数求函数的解析式1)

已知函数(f(x)=x^2+2f'(2)cdot x+1)，求函数的解析式(f(x)).

分析：给原式两边同时求导，可得(f'(x)=2x+2f'(2))，

再令(x=2)得到(f'(2)=4+2f'(2))，

解得(f'(2)=-4)，可知(f(x)=x^2-8x+1)。

例4-1(利用导数求函数的解析式2)

设函数(f(x)＝ax－cfrac{b}{x})，曲线(y＝f(x))在点((2，f(2)))处的切线方程为(7x－4y－12＝0)。

(1)求(f(x))的解析式；

分析：方程(7x－4y－12＝0)可化为(y＝cfrac{7}{4}x－3)，

当(x＝2)时，(y＝12).

又(f′(x)＝a＋cfrac{b}{x^2})，于是(2a－cfrac{b}{2}＝12)，

(a＋cfrac{b}{4}＝cfrac{7}{4})，

解得(a＝1，b＝3)，

故(f(x)＝x－cfrac{3}{x})。

例5【特殊方法求解析式】【2018宝鸡市三检文科数学第12题】

已知函数(f(x))在定义域((0，+infty))上是单调函数，若对于任意(xin(0，+infty))都有(f(f(x)-cfrac{1}{x})=2)，则函数(f(x))的解析式为【】

A、(f(x)=x;;;;;) B、(f(x)=cfrac{1}{x};;;;;) C、(f(x)=x+1;;;;;) D、(f(x)=cfrac{1}{x};;;;;)

分析：令自变量位置的整体(f(x)-cfrac{1}{x}=t)，则(f(x)=t+cfrac{1}{x})，且有(f(t)=2)；

又令(f(x)=t+cfrac{1}{x})中的(x=t)，得到(f(t)=t+cfrac{1}{t})，结合(f(t)=2)，

得到(t+cfrac{1}{t}=2)，又定义域是((0，+infty))，解得(t=1)，

故代入(f(x)=t+cfrac{1}{x})得到解析式为(f(x)=cfrac{1}{x}+1)。

例6(利用定积分求函数的解析式)(定积分的结果实质上是个实数)(2014江西卷)

(f(x)=x^2+2int_{0}^{1}f(x)dx)，则(int_{0}^{1}f(x)dx)的值为多少？并求(f(x))的解析式。

分析：注意到表达式(int_{0}^{1}f(x)dx)应该是个实数，故两边同时取定积分得到

(int_{0}^{1}f(x);dx=int_{0}^{1}x^2;dx+int_{0}^{1}[2int_{0}^{1}f(x)dx]dx)，

即就是(int_{0}^{1}f(x);dx=int_{0}^{1}x^2;dx+[2int_{0}^{1}f(x)dx]cdotint_{0}^{1}1cdot dx)，

即(int_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{x^3}{3}|_0^1+[2int_{0}^{1}f(x)dx]cdot x|_0^1)，

即(int_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{1}{3}+2int_{0}^{1}f(x)dx)，

即(int_{0}^{1}f(x);dx=-cfrac{1}{3}).

故(f(x)=x^2-cfrac{2}{3})。

例7【2018豫东豫北十所名校联考】根据如下样本数据：

(x)	3	4	5	6	7
(y)	(4.0)	(a-5.4)	(-0.5)	(0.5)	(b-0.6)

得到的回归直线方程为(hat{y}=hat{b}x+hat{a})，若样本点的中心为((5，0.9))，则当(x)每增加1个单位，(y)就【】

(A.)增加1.4个单位； (qquadqquadqquadqquadqquadqquad) (B.)减少1.4个单位；

(C)增加7.9个单位； (qquadqquadqquadqquadqquadqquad) (D.)减少7.9个单位；

分析：由题意可知，(cfrac{a+b-2}{5}=0.9)，即(a+b=6.5)①，

有样本中心点为((5，0.9))在回归直线上，则(0.9=5b+a)②，

联立①②，解得(b=-1.4)，(a=7.9)，

则回归直线方程为(hat{y}=-1.4x+7.9)。

故可知则当(x)每增加1个单位，(y)就减少1.4个单位；故选(B)。

例8-补遗[2018中考数学]已知反比例函数过点((m，m))和点(2m，-1)，求其解析式。

分析：设反比例函数的解析式为(y=cfrac{k}{x}(k eq 0))，则由反比例函数过点((m，m))和点(2m，-1)，可知

(k=m^2=-2m)，解得(m=0(舍去))或(m=-2)，即(k=m^2=4)，故反比例函数解析式为(y=cfrac{4}{x})。

高阶考查

例1【利用同一法求得解析式】【2018内蒙古赤峰一模】

已知定义在(R)上的函数(f(x))的导函数为(f'(x))，且(f(x)+f'(x)=cfrac{2x-1}{e^x})，若(f(0)=0)，则函数(f(x))的单调递减区间为【】

$A.(-infty，cfrac{3-sqrt{5}}{2})和(cfrac{3+sqrt{5}}{2}，+infty)$

$B.(cfrac{3-sqrt{5}}{2}，cfrac{3+sqrt{5}}{2})$

$C.(-infty，3-sqrt{5})cup(3+sqrt{5}，+infty)$

$D.(3-sqrt{5}，3+sqrt{5})$

分析：由(f(x)+f'(x)=cfrac{2x-1}{e^x})，得到(e^xcdot f(x)+e^xcdot f'(x)=2x-1)，

令(g(x)=e^xcdot f(x))，则(g'(x)=e^xcdot f(x)+e^xcdot f'(x)=2x-1)，则(g(x)=x^2-x+C)，

由于(f(0)=0)，则(g(0)=e^0cdot f(0)=0)，则(g(x)=x^2-x)；

这样从两个不同的角度得到了同一个函数(g(x))，则(g(x)=x^2-x=e^xcdot f(x))，解得(f(x)=cfrac{x^2-x}{e^x})；

接下来用导数的方法，求函数(f(x))的单调区间即可，(f'(x)=cdots=cfrac{-x^2+3x-1}{e^x}=-cfrac{(x-cfrac{3-sqrt{5}}{2})(x-cfrac{3+sqrt{5}}{2})}{e^x})

故单调递减区间为((-infty，cfrac{3-sqrt{5}}{2})和(cfrac{3+sqrt{5}}{2}，+infty))，故选(A)。

例2【2018届广东东莞模拟】已知函数(f(x))，任取两个不相等的正数(x_1)、(x_2)，总有([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0)，对于任意的(x>0)，总有(f[f(x)-lnx]=1)。若(g(x)=f'(x)+f(x)-m^2+m)有两个不同的零点，则正实数(m)的取值范围是___________。

分析：本题目的难点之一是利用代换法先求得函数(f(x))的解析式；然后再求正实数(m)的取值范围。

由于任意不等正数(x_1)、(x_2)，有([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0)，则(f(x))在((0，+infty))上单调递增，

令(f(x)-lnx=t)，则(f(t)=1)①，又由于(f(x)-lnx=t)，即(f(x)=lnx+t)，令(x=t)，则(f(t)=lnt+t)②，

由①②可知，(lnt+t=1)，即(lnt=1-t)，观察可知，(t=1)，即函数(f(x))的解析式为(f(x)=lnx+1)；

接下来，用常规方法求正实数(m)的取值范围。

由题目可知，(g(x)=lnx+1+cfrac{1}{x}-m^2+m)有两个不同的零点，即方程(lnx+1+cfrac{1}{x}-m^2+m=0)有两个不同的根，

整体分离参数得到，(m^2-m=lnx+1+cfrac{1}{x})，令(h(x)=lnx+1+cfrac{1}{x})，

则(h'(x)=cfrac{x-1}{x^2})，则(xin (0，1))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，(xin (1，+infty))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，

故(h(x)_{min}=h(1)=2)，要使得方程(h(x)=m^2-m)有两个不同的交点，则必须满足(m^2-m>h(x)_{min})，

则题目转化为(m^2-m>2)，解得(m<-1)或(m>2)，又由(m>0)，可得(m>2)，

即正实数(m)的取值范围是((2，+infty)).

例3【需要先求出解析式】【求函数的零点个数，能解则解】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2-|x|，xleq 2}\{(x-2)^2，x>2}end{array} ight.)，记(g(x)=3-f(2-x))，则函数(y=f(x)-g(x))的零点个数为【2】个。

分析：由(f(x)=left{egin{array}{l}{2-|x|，xleq 2}\{(x-2)^2，x>2}end{array} ight.)，得到

(f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|，2-xleq 2}\{(2-x-2)^2，2-x>2}end{array} ight.)，

即(f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|，xge 0}\{x^2，x<0}end{array} ight.)，

再分类讨论去掉绝对值符号得到

(f(2-x)=left{egin{array}{l}{4-x，x>2}\{x，0leq xleq 2}\{x^2，x<0}end{array} ight.)，

故当(x<0)时，(g(x)=3-x^2)，(f(x)=2+x)，

当(0leq xleq 2)时，(g(x)=3-x)，(f(x)=2-x)，

当(x>2)时，(g(x)=x-1)，(f(x)=(x-2)^2)，

由函数(y=f(x)-g(x))的零点个数即为方程(f(x)=g(x))的根的个数，故有

当(x<0)时，(3-x^2=2+x)，解得(x=cfrac{-1-sqrt{5}}{2})或(x=cfrac{-1+sqrt{5}}{2})(舍去)；

当(0leq xleq 2)时，(3-x=2-x)，则方程无解；

当(x>2)时，(x-1=(x-2)^2)，即(x^2-5x+5=0)，解得(x=cfrac{5+sqrt{5}}{2})或(x=cfrac{5-sqrt{5}}{2})(舍去)；

故方程(f(x)=g(x))的根的个数为(2)个，即函数(y=f(x)-g(x))的零点个数为(2)个。

例4若函数(f(x)=cfrac{x}{ax+b}(a eq 0))，(f(2)=1)，又方程(f(x)=x)有唯一解，求(f(x))的解析式。

法1：从数的角度分析，由(f(2)=1)，得到(cfrac{2}{2a+b}=1)，即(2a+b=2)；

由(f(x)=x)，得到(cfrac{x}{ax+b}=x)，变形得到(x(cfrac{1}{ax+b}-1)=0)，

解此方程得到，(x=0)或(x=cfrac{1-b}{a})，又由于方程有唯一解，故(cfrac{1-b}{a}=0)，

解得(b=1)，代入(2a+b=2)得到(a=cfrac{1}{2})，

再将(x=0)代入方程(cfrac{x}{ax+b}=x)检验，发现此时要方程有意义，必须(b eq 0)，

故上述的解法可能丢失了(b=0)的情形，当(b=0)时，代入(2a+b=2)，得到(a=1)，

代入验证也满足题意，故(a=cfrac{1}{2})且(b=1)或者(a=1)且(b=0)

综上所述，(f(x)=cfrac{2x}{x+2})或者(f(x)=cfrac{x}{1cdot x+0}=1)。

法2：从形的角度分析，图形解释如下。

例5如图定义在([-1，+infty))上的函数(f(x))的图像由一条线段和抛物线的一部分组成，则(f(x))的解析式为____________.

分析：当(-1leqslant xleqslant 0)时，设解析式为(y=kx+b(k eq 0))，则(left{egin{array}{l}{-k+b=0}\{b=1}end{array} ight.)，

解得(left{egin{array}{l}{k=1}\{b=1}end{array} ight.)，即(y=x+1)，

当(x>0)时，设解析式为(y=a(x-2)^2-1(a eq 0))，由于图像过((4，0))，

代入解得(a=cfrac{1}{4})，即(y=cfrac{1}{4}(x-2)^2-1)，

综上所述，函数的解析式为

(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,-1leqslant x leqslant 0}\{cfrac{1}{4}(x-2)^2-1,x>0}end{array} ight.)