三角函数知识点

前言

梳理、总结三角函数的常用的知识点，有助于相关运算。

必须熟记

特殊角的三角函数值，是三角函数学习的基础，必须熟练掌握。

( heta(rad))	(0=0^{circ})	(cfrac{pi}{12}=15^{circ})	(cfrac{pi}{6}=30^{circ})	(cfrac{pi}{4}=45^{circ})	(cfrac{pi}{3}=60^{circ})	(cfrac{5pi}{12}=75^{circ})
(sin heta)	(0)	(cfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4})	(cfrac{1}{2})	(cfrac{sqrt{2}}{2})	(cfrac{sqrt{3}}{2})	(cfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4})
(cos heta)	(1)	(cfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4})	(cfrac{sqrt{3}}{2})	(cfrac{sqrt{2}}{2})	(cfrac{1}{2})	(cfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4})
(tan heta)	(0)	(2-sqrt{3})	(cfrac{sqrt{3}}{3})	(1)	(sqrt{3})	(2+sqrt{3})

( heta(rad))	(cfrac{pi}{2}=90^{circ})	(cfrac{7pi}{12}=105^{circ})	(cfrac{2pi}{3}=120^{circ})	(cfrac{3pi}{4}=135^{circ})	(cfrac{5pi}{6}=150^{circ})	(pi=180^{circ})
(sin heta)	(1)	(cfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4})	(cfrac{sqrt{3}}{2})	(cfrac{sqrt{2}}{2})	(cfrac{1}{2})	(0)
(cos heta)	(0)	(-cfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4})	(-cfrac{1}{2})	(-cfrac{sqrt{2}}{2})	(-cfrac{sqrt{3}}{2})	(-1)
(tan heta)	(infty)	(-(2+sqrt{3}))	(-sqrt{3})	(-1)	(-cfrac{sqrt{3}}{3})	(0)

常用结论

• 高频变形公式

(2sin heta cos heta=sin2 heta)；(2cos^2 heta-1=1-2sin^2 heta=cos2 heta)；

(asin heta+bcos heta=sqrt{a^2+b^2}left(cfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}sin heta+cfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cos heta ight))

(=sqrt{a^2+b^2}(cosphicdot sin heta+sinphicdot cos heta))

(=sqrt{a^2+b^2}sin( heta+phi);;(备注：tanphi=cfrac{b}{a}))

• 再把( hetaLongrightarrow (2x+cfrac{pi}{3}))试试看，考查整体思想。

• 常用的勾股数(3n，4n，5n(nin N^*))；(5，12，13)；(7，24，25)；(8，15，17)；(9，40，41)；

如已知(alpha)为第二象限角，(sinalpha+cosalpha=cfrac{1}{5})，则可知，(sinalpha=cfrac{4}{5})，(cosalpha=-cfrac{3}{5})，

再如已知(alpha)为第二象限角，(sinalpha+cosalpha=-cfrac{1}{5})，则可知，(sinalpha=cfrac{3}{5})，(cosalpha=-cfrac{4}{5})，

• 需要我们烂熟于心的三角变形：

(sin hetapm cos heta=sqrt{2}sin( hetapmcfrac{pi}{4}))；(sqrt{2}sin hetapm sqrt{2}cos heta=2sin( hetapmcfrac{pi}{4}))；

(cfrac{sqrt{3}}{2}sin hetapmcfrac{1}{2}cos heta=sin( hetapmcfrac{pi}{6}))；(cfrac{1}{2}sin hetapmcfrac{sqrt{3}}{2}cos heta=sin( hetapmcfrac{pi}{3}))；

(sqrt{3}sin hetapm cos heta=2sin( hetapmcfrac{pi}{6}))；(sin hetapmsqrt{3}cos heta=2sin( hetapmcfrac{pi}{3}))；

• 在(Delta ABC)中，已知(angle A=cfrac{pi}{3})，求(sinB+sinC=sinB+sin(cfrac{2pi}{3}-B))；(sinBcdot sinC=sinBcdot sin(cfrac{2pi}{3}-B))；

• 三角函数的单调区间的演示

• 在锐角(Delta ABC)中，(sinA>cosB)，(cosA<sinB)。

证明：由于在锐角(Delta ABC)中，故(A+B>cfrac{pi}{2})，即(A>cfrac{pi}{2}-B)，此时(Ain(0,cfrac{pi}{2}))，(cfrac{pi}{2}-Bin(0,cfrac{pi}{2}))，而函数(y=sinx)在((0,cfrac{pi}{2}))上是单调递增的，故(sinA>sin(cfrac{pi}{2}-B)=cosB)，即(sinA>cosB)，

同理，函数(y=cosx)在((0,cfrac{pi}{2}))上是单调递减的，故(cosA<cos(cfrac{pi}{2}-B)=sinB)，即(cosA<sinB)。

• 在(Delta ABC)中，$A>BLeftrightarrow sinA>sinBLeftrightarrow a>b $(利用正弦定理和大角对大边可证明)

在(Delta ABC)中，(A>BLeftrightarrow cosA<cosB)(利用余弦函数的单调性可证明)

• “(a^2+b^2>c^2)”是“( riangle ABC)是锐角( riangle)”的必要不充分条件；

“(a^2+b^2<c^2)”是“( riangle ABC)是钝角( riangle)”的充分不必要条件；

“(a^2+b^2=c^2)”是“( riangle ABC)是(Rt riangle)”的充分不必要条件；

• 求值：(sin^21^{circ}+sin^22^{circ}+sin^23^{circ}+cdots+sin^288^{circ}+sin^289^{circ}=)

分析：(sin^21^{circ}+sin^289^{circ}=1)，(sin^22^{circ}+sin^288^{circ}=1)，(cdots)，(sin^244^{circ}+sin^246^{circ}=1)，(sin^245^{circ}=cfrac{1}{2})，

故原式=(44+cfrac{1}{2}=44.5)。

(cos^21^{circ}+cos^22^{circ}+cos^23^{circ}+cdots+cos^288^{circ}+cos^289^{circ}=44.5)

((1+tan22^{circ})(1+tan23^{circ})=2)

5、已知(tanalpha=cfrac{1}{2})，求(sin^4alpha-cos^4alpha)的值。

【法1】：方程组法，由(left{egin{array}{l}{cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{2}}\{sin^2alpha+cos^2alpha=1}end{array} ight.)，

解得(sin^2alpha=cfrac{1}{5})，(cos^2alpha=cfrac{4}{5})，

代入得到(sin^4alpha-cos^4alpha=-cfrac{3}{5})；

【法2】：齐次式法，(sin^4alpha-cos^4alpha=(sin^2alpha-cos^2alpha)(sin^2alpha+cos^2alpha)=sin^2alpha-cos^2alpha)

(=-cos2alpha=-cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=-cfrac{3}{5})；

【法3】：由(cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{2})，引入比例因子，可设(sinalpha=k)，(cosalpha=2k(k eq 0))，

由(k^2+(2k)^2=1)，可得(k^2=cfrac{1}{5})，故(k^4=cfrac{1}{25})，

则(sin^4alpha-cos^4alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-cfrac{3}{5})；

6、三角函数章节中的重要不等式：( hetain (0，cfrac{pi}{2}))时，(sin heta< heta<tan heta)。

【证法1】：三角函数线法，如图所示为单位圆，则(sin heta=MP)，(tan heta=AT)，(overset{frown}{AP}= hetacdot 1= heta)

由图可知，(S_{Delta OAP}<S_{扇形 OAP}<S_{Delta OAT})

即(cfrac{1}{2}cdot |OA|cdot MP<cfrac{1}{2}cdot heta cdot |OA|<cfrac{1}{2}cdot |OA|cdot AT)

则有(MP< heta< AT)，即(sin heta< heta<tan heta)。

故( hetain (0，cfrac{pi}{2}))时，(sin heta< heta<tan heta)。

【证法2】：构造函数法，如令(g(x)=sinx-x)，(xin (0，cfrac{pi}{2}))，

则(g'(x)=cosx-1leq 0)恒成立，故(g(x))在(xin (0，cfrac{pi}{2}))上单调递减，

故(g(x)<g(0)=0)，即(sinx<x)，同理可证(x<tanx)，

故( hetain (0，cfrac{pi}{2}))时，(sin heta< heta<tan heta)。

7、已知角( heta)是第Ⅲ象限角，求(cfrac{ heta}{2})所在的象限。

【法1】：计算法，由于角( heta)是第Ⅲ象限角，

则(2kpi+pi< heta<2kpi+cfrac{3pi}{2}(kin Z))，

则(kpi+cfrac{pi}{2}<cfrac{ heta}{2}<kpi+cfrac{3pi}{4}(kin Z))，以下针对(k)分奇偶讨论：

①当(k=2n，nin Z)时，(2npi+cfrac{pi}{2}<cfrac{ heta}{2}<2npi+cfrac{3pi}{4}(nin Z))，故(cfrac{ heta}{2})是第Ⅱ象限的角；

②当(k=2n+1，nin Z)时，(2npi+pi+cfrac{pi}{2}<cfrac{ heta}{2}<2npi+pi+cfrac{3pi}{4}(nin Z))，故(cfrac{ heta}{2})是第Ⅳ象限的角；

【法2】：八卦图法，有人对上述解法图形化如下：先将每一个象限都二等分，然后每一个小部分都作以标记，如图所示，最后在图中寻找标号为(3)的部分，从而找到所在的象限。

如图，(cfrac{ heta}{2})是第Ⅱ象限的角或是第Ⅳ象限的角；

8、三角函数中的齐次式

比如：(cfrac{asin heta+bcos heta}{csin heta+dcos heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的一次齐次式]{分子分母同除以cos heta}cfrac{a an heta+b}{c an heta+d}) ((a,b,c,d)为常数)；

小结：实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化；

比如：(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2 heta}cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1})

小结：实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化；

再比如：(asin2 heta+bcos2 heta=cfrac{asin2 heta+bcos2 heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{a an heta+b-b an^2 heta}{tan^2 heta+1})，

其余留作思考：(sin2 heta)， (cos2 heta)，(1+sin2 heta)， (2-cos2 heta)，(3sin2 heta-2cos2 heta) 等等

9、三角公式的扩展：

(1+cos heta=2cos^2cfrac{ heta}{2})；(1-cos heta=2sin^2cfrac{ heta}{2})

(1+sin heta=(sincfrac{ heta}{2}+coscfrac{ heta}{2})^2)；(1-sin heta=(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})^2)；

(1+sin heta+cos heta=1+cos heta+sin heta=2cos^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2coscfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}+sincfrac{ heta}{2}))

(1+sin heta-cos heta=1-cos heta+sin heta=2sin^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2sincfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}+sincfrac{ heta}{2}))

(1-sin heta+cos heta=1+cos heta-sin heta=2cos^2cfrac{ heta}{2}-2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2coscfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}-sincfrac{ heta}{2}))

(1-sin heta-cos heta=1-cos heta-sin heta=2sin^2cfrac{ heta}{2}-2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2sincfrac{ heta}{2}(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2}))

在(Delta ABC)中，(sin(A+B)=sinC)；(cos(A+B)=-cosC)；(tan(A+B)=-tanC)；

(sincfrac{A+B}{2}=coscfrac{C}{2})；(coscfrac{A+B}{2}=sincfrac{C}{2})；

10、平方关系的应用

(sinalpha+cosalpha)，(sinalpha-cosalpha)，(sinalphacdot cosalpha)，知一求二意味着知道其中的一个，就能表达另外的两个式子；方程思想；

如求函数(h(x)=sinxpm cosxpm sinxcdot cosx)类型的值域；

求函数(f(x)=sinx+cosx+sinxcdot cosx)的值域；

令(sinx+cosx=t)，则(t=sqrt{2}sin(x+cfrac{pi}{4}))，则(tin [-sqrt{2}，sqrt{2}])；

给(sinx+cosx=t)两边平方，整理得到(sinxcdot cosx=cfrac{t^2-1}{2})，

故原函数(f(x)=g(t)=t+cfrac{t^2-1}{2})，(tin [-sqrt{2}，sqrt{2}])；

转化划归为二次函数在给定区间上的值域问题；

再比如(g(x)=cfrac{2sinx cosx}{sinx+cosx}，xin [0，cfrac{pi}{2}])的值域；