分式不等式习题

前言

分式不等式对学生而言，是个很容易出错的数学素材。

必备技能

分类讨论，穿针引线法，转化划归，符号法则

• 分式转化为整式的依据

(cfrac{f(x)}{g(x)}>0(<0)) (Leftrightarrow) (f(x)cdot g(x)>0(<0))；

(cfrac{f(x)}{g(x)}geqslant 0(leqslant 0)) (Leftrightarrow) (f(x)cdot g(x)geqslant 0(leqslant 0))且(g(x) eq 0)；

典例剖析

• 基本类型

解关于(x)的分式不等式(cfrac{1}{x}geqslant 1) .

这个小例题基本上把分式不等式的求解思路都包含在内了。

【错解】：去分母得到(xleq 1)，这是错误的，原因是分母可能取到正负两种可能。

【法1】：分类讨论去分母，由于(x eq 0)，故原不等式等价于以下的两个不等式组：

(egin{cases}&x>0\&1ge xend{cases})或(egin{cases}&x<0\&1leq xend{cases})，解得(0<x leq 1)。

【法2】：穿针引线法，移项得到(cfrac{1-x}{x}ge 0)，再变形得到(cfrac{x-1}{x}leq 0)，解得(0<x leq 1)。

【法3】：转化法，由商的符号法则得到，(egin{cases}&x(1-x)ge 0\&x eq 0end{cases})，解得(0<x leq 1)。

解后反思：受解方程的思维定势的影响，学生最容易想到法1，但是却往往注意不到不等式的性质而直接去分母出错；法2的解法很快速，但是对学生的要求比较高；法3比较慢。

• 高阶类型

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式(cfrac{3x^2-2x-1}{x^2-1}geqslant 0)，

分析：原不等式分解变形为(cfrac{(3x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}geqslant 0)，约分得到

(left{egin{array}{l}{cfrac{3x+1}{x+1}geqslant 0①}\{x-1 eq 0②}end{array} ight.)，

用穿根法解①得到，(x<-1)或(xgeqslant -cfrac{1}{3})；解②得到(x eq 1)，

求交集，故解集为((-infty，-1)cup[-cfrac{1}{3}，1)cup(1，+infty))

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式(cfrac{2x^2+3x+1}{x-2}>0)，

分析：原不等式变形为(cfrac{(2x+1)(x+1)}{x-2}>0)，

用穿根法解得，解集为(xin(-1，-cfrac{1}{2})cup(2，+infty))；

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式(cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)，

分析：由于(e^x>0)，故原不等式等价于(cfrac{(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)，

用穿根法解得，解集为(xin(-infty，-1)cup(cfrac{1}{2}，+infty))；

注意：(x=0)为二次重根；

对应练习

可以使用转化法或者穿根法求解；

解不等式(x<cfrac{1}{x}<x^2)；

分析：先转化为(left{egin{array}{l}{x<cfrac{1}{x}①}\{cfrac{1}{x}<x^2②}end{array} ight.)，再用穿根法分别求解，

解①(cfrac{x^2-1}{x}<0)得到(x<-1)或(0<x<1)；解②(cfrac{x^3-1}{x}>0)得到(x<0)或(x>1)，

①②求交集得到，解集为((-infty，-1)).

解不等式(cfrac{2}{x+1}<1)；

提示：((-infty,-1)cup(1,+infty))

解不等式(cfrac{x-2}{x^2-1}<0)；

提示：((-infty,-1)cup(1,2))

解不等式(cfrac{x^2-x-6}{x}leqslant 0)；

提示：((-infty,-2]cup(0,3])

解不等式(cfrac{6}{x-4}+1<0)；

提示：((-2,4))

关于(x)的不等式(a^2x^2+ax-2=0)在([-1,1])上有解，求(a)的取值范围；

分析：(a^2x^2+ax-2=0)，即((ax+2)(ax-1)=0)；显然(a eq 0)

则(-1leqslant cfrac{1}{a}leqslant 1)或(-1leqslant -cfrac{2}{a}leqslant 1)

若常规方法，利用解分式不等式求解，太浪费时间，注意到题目的特点，此处换用绝对值不等式求解；

即(|cfrac{1}{a}|leqslant 1)或(|cfrac{2}{a}|leqslant 1)

即(|a|geqslant 1)或(|a|geqslant 2)，

则(|a|geqslant 1)，即(aleqslant -1)或(ageqslant 1)。