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  • 含参二次不等式的解法

    前言

    含参数的二次不等式的求解是高中学生的难点,涉及到代数的内涵。

    数字系数

    例1 解关于(x)的不等式(-x^2+4x-3 ge 0)

    分析:(xin [1,3])

    字母系数

    • 含参数的二次不等式,一动根一定根

    例2解关于(x)的不等式((x-2)[x-(3a+1)]<0)

    • (含参数的二次不等式,两动根)

    例3 解关于(x)的不等式(x^2-cfrac{a}{2}x-cfrac{a^2}{2}<0)

    分析:将原不等式等价转化为((x-a)(x+cfrac{a}{2})<0)

    ((x-a)(x+cfrac{a}{2})=0)

    则方程的两个根为(x=-cfrac{a}{2})(x=a)

    下来根据这两个动根的大小分类讨论

    (-cfrac{a}{2}<a)时,即(a>0)时,不等式的解集为((-cfrac{a}{2},a))

    (-cfrac{a}{2}=a)时,即(a=0)时,不等式的解集为(varnothing)

    (-cfrac{a}{2}>a)时,即(a<0)时,不等式的解集为((a,-cfrac{a}{2}))

    综上,略。

    例练解关于(x)的不等式(x^2-(a^2+a)x+a^3leq 0)

    分析:将原不等式等价转化为((x-a^2)(x-a)leq 0)

    其对应方程的两个根为(x=a^2)(x=a),分类讨论如下:

    (1^{circ})(a^2>a),即(a<0)(a>1)时,解集为([a,a^2])

    (2^{circ})(a^2=a),即(a=0)(a=1)时,解集为({0,1})

    (3^{circ})(a^2<a),即(0<a<1)时,解集为([a^2,a])

    综上所述:

    (a<0)(a>1)时,解集为([a,a^2])

    (a=0)(a=1)时,解集为({0,1})

    (0<a<1)时,解集为([a^2,a])

    例5解关于(x)的不等式(cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0).

    分析:当(a=1)时,原不等式为(1<0),故解集为(varnothing)

    (a eq 1)时,由于(a^2+1>2a),故解集为((2a,a^2+1))

    例6解关于(x)的不等式(ax^2-(a+1)x+1<0)

    分析:若(a=0)时,原不等式等价于(-x+1<0),即(x>1)

    (a<0)时,原不等式等价于((x-cfrac{1}{a})(x-1)>0),解得(x<cfrac{1}{a})(x>1)

    (a>0)时,原不等式等价于((x-cfrac{1}{a})(x-1)<0)

    (cfrac{1}{a}=1)时,即(a=1)时,不等式无解;

    (cfrac{1}{a}<1)时,即(a>1)时,不等式解集为({xmid cfrac{1}{a}<x<1})

    (cfrac{1}{a}>1)时,即(0<a<1)时,不等式解集为({xmid 1<x< cfrac{1}{a}})

    综上所述,

    (a<0)时,不等式解集为({xmid x<cfrac{1}{a})(x>1})

    (a=0)时,不等式解集为({xmid x>1})

    (0<a<1)时,不等式解集为({xmid 1<x< cfrac{1}{a}})

    (a=1)时,不等式解集为(varnothing)

    (a>1)时,不等式解集为({xmid cfrac{1}{a}<x<1})

    因式分解

    实际高三数学教学和考试中的相关习题常常是这样的,理解掌握。

    (x^2-5sqrt{2}x+8ge 0),即((x-sqrt{2})(x-4sqrt{2})ge 0)

    (x^2-(2m+1)x+m^2+m-2leq 0),即([x-(m+2)][x-(m-1)]leq 0)

    (x^2-3mx+(m-1)(2m+1)ge 0);即([x-(m-1)][x-(2m+1)]ge 0)

    (x^2-(a+a^2)x+a^3leq 0),即((x-a)(x-a^2)leq 0)

    (x^2-(a+1)x+aleq 0),即((x-1)(x-a)leq 0)

    (x^2-(2a+1)x+a(a+1)leq 0);即((x-a)[x-(a+1)]leq 0)

    (cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a eq 1));即((x-2a)[x-(a^2+1)]<0),解集为((2a,a^2+1))

    (x^2+(m+4)x+m+3<0),即((x+1)[x+(m+3)]<0)

    转化划归

    例1设函数(f(x)=cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)),讨论(f(x))的单调性;

    【分析】利用导数转化为求解含有参数a的不等式,给导函数的分子配方就能找到分类讨论的标准。

    【解答】导数法研究单调性,先求出定义域((-1,+infty))

    (f'(x)=x+cfrac{a}{x+1})(=cfrac{x(x+1)+a}{x+1})(=cfrac{x^2+x+a}{x+1})(=cfrac{(x+cfrac{1}{2})^2+a-cfrac{1}{4}}{x+1})

    ①当(a≥cfrac{1}{4})时,(f'(x)≥0)恒成立,且当(a=cfrac{1}{4})时仅仅在(x=-cfrac{1}{2})处取到等号,

    故函数(f(x))((-1,+∞))上单调递增;

    ②当(a<cfrac{1}{4})时,令(x^2+x+a=0),得到(x=cfrac{-1±sqrt{1-4a}}{2})

    接下来将其中的小根和-1作比较,

    (-1<cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时,即(0<a<cfrac{1}{4})时,

    (xin (-1,cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增,

    (xin(cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2},cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时,(f'(x)<0)(f(x))单调递减,

    (xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2},+infty))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增,

    (-1=cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时,即(a=0)时,(xin (-1,cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时,(f'(x)<0)(f(x))单调递减,(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2},+infty))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增,

    (-1>cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时,即(a<0)时,(xin(-1,cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时,(f'(x)<0)(f(x))单调递减,(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2},+infty))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增,

    综上所述,当(a≥cfrac{1}{4})时,函数(f(x))的单调递增区间为((-1,+∞)),无单调递减区间;

    (0<a<cfrac{1}{4})时,单调递增区间为((-1,cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}))((cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2},+infty))

    单调递减区间为((cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2},cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))

    (a≤0)时,单调递减区间为((-1,cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2})),单调递增区间为((cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2},+infty))

    例2已知函数(f(x)=cfrac{1}{3}ax^3-cfrac{1}{2}(a+1)x^2+x),且(a>0),试判断函数(f(x))的单调性;

    分析:函数(f(x))的定义域为((-infty,+infty))(f'(x)=ax^2-(a+1)x+1=a(x-cfrac{1}{a})(x-1))

    (cfrac{1}{a}=1)时,即(a=1)时,(f'(x)geqslant 0)恒成立,则在((-infty,+infty))单调递增;

    (cfrac{1}{a}<1)时,即(a>1)时,

    (xin (-infty,cfrac{1}{a}))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增;当(xin (cfrac{1}{a},1))时,(f'(x)<0)(f(x))单调递减;当(xin (1,+infty))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    (cfrac{1}{a}>1)时,即(0<a<1)时,

    (xin (-infty,1))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增;当(xin (1,cfrac{1}{a}))时,(f'(x)<0)(f(x))单调递减;当(xin (cfrac{1}{a},+infty))时,(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    综上所述,

    (0<a<1)时,函数的单调递增区间为((-infty,1))((cfrac{1}{a},+infty)),单调递减区间为((1,cfrac{1}{a}))

    (a=1)时,函数的单调递增区间为((-infty,+infty))

    (a>1)时,函数的单调递增区间为((-infty,cfrac{1}{a}))((1,+infty)),单调递减区间为((cfrac{1}{a},1))

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