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  • 定积分相关知识

    前言

    基础知识

    • 1、定积分的由来:

    分割,以曲化直,求和,取极限;

    其中定积分的符号(displaystyleint)其实是求和符号(sum)中的首字母(s)的拉长写法;

    • 2、定积分与面积的关系

    • 3、定积分的运算法则

    • 4、求解定积分的思路与途径:

    ①用公式求解定积分,即微积分基本定理;

    (displaystyleint_{1}^2;x^2;dx=cfrac{x^3}{3}Big|_{1}^2=cfrac{2^3-1^3}{3}=cfrac{7}{3})

    ②利用面积求解定积分,数形结合求解;

    求值:如(displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx)

    法1:由定积分的几何意义可知,由于(y=sqrt{1-x^2})表示的是(x)轴上方的单位圆,,所求的定积分等于半个单位圆的面积,

    (displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx=cfrac{pi}{2})

    求值(displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx)

    法2:换元积分法,大学内容,备忘,不要求掌握

    分析:令(x=sin heta),则由(xin [-1,1]),则( hetain [-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}])

    (dx=dsin heta=cos heta d heta),故有

    (displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx=displaystyleint_{-cfrac{pi}{2}}^{cfrac{pi}{2}} cos heta cdot cos heta d heta)

    (=2displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} cos^2 heta d heta=2displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} cfrac{1+cos2 heta}{2} d heta)

    (=displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} (1+cos2 heta) d heta= hetaBig|_{0}^{cfrac{pi}{2}}+cfrac{1}{2}displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} cos2 heta d2 heta)

    (= hetaBig|_{0}^{cfrac{pi}{2}}+cfrac{1}{2}sin2 hetaBig|_{0}^{cfrac{pi}{2}}=cfrac{pi}{2})

    ③利用函数的奇偶性求解定积分;

    比如(displaystyleint_{-pi}^{pi}; xcosx;dx=0);注意函数(y=xcosx)为奇函数;

    (displaystyleint_{-pi}^{pi}; x^2cosx;dx=2displaystyleint_{0}^{pi}; x^2cosx;dx);注意函数(y=x^2cosx)为偶函数;

    ④综合运用以上方法求解定积分;

    (int_{-1}^1;(x^2+x+sqrt{1-x^2});dx=displaystyleint_{-1}^1;(x^2+x);dx+displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx=cfrac{2}{3}+cfrac{pi}{2})

    • 5、常用的原函数与被积函数的关系:

    (displaystyleint_{a}^{b} Cdx=CxBig|_{a}^{b})((C)为常数);

    (displaystyleint_{a}^{b} x^ndx=cfrac{1}{n+1}x^{n+1}Big|_{a}^{b})((n eq -1));

    (displaystyleint_{a}^{b} sinxdx=-cosxBig|_{a}^{b})

    (displaystyleint_{a}^{b} cosxdx=sinxBig|_{a}^{b})

    (displaystyleint_{a}^{b} cfrac{1}{x}dx=lnxBig|_{a}^{b})((b>a>0));

    (displaystyleint_{a}^{b} e^xdx=e^xBig|_{a}^{b})

    (displaystyleint_{a}^{b} a^xdx=cfrac{a^x}{lna}Big|_{a}^{b})((a>0,a eq 1));

    (displaystyleint_{a}^{b} sqrt{x}dx=cfrac{2}{3}x^{frac{3}{2}}Big|_{a}^{b})

    (displaystyleint_{a}^{b} (b+kx)^{alpha}dx=cfrac{1}{k}cdot cfrac{(b+kx)^{alpha+1}}{alpha+1} e^xBig|_{a}^{b})

    (displaystyleint_{a}^{b} e^{kx}dx=cfrac{1}{k}cdot e^{kx}Big|_{a}^{b})

    典例剖析

    例1【2016宝鸡市质量检测一第15题】抛物线(y^2=x)与直线(x-2y-3=0)围成的平面图形的面积是_____________。

    法1:以(x)为元积分,

    (S=displaystyleint_{0}^{1} [sqrt{x}-(-sqrt{x})]\,dx+displaystyleint_{1}^{9} (sqrt{x}-cfrac{x}{2}+cfrac{3}{2})\,dx)

    (=2cdotcfrac{2}{3}cdot x^{frac{3}{2}}Big|_0^1+cfrac{2}{3}cdot x^{frac{3}{2}}Big|_1^9+cfrac{3}{2}cdot xBig|_1^9-cfrac{1}{2}cdot cfrac{x^2}{2}Big|_1^9)

    (=cfrac{32}{3})

    法2:以(y)为元积分,

    (S=displaystyleint_{-1}^{3}(2y+3-y^2);dy=cfrac{32}{3})

    例2【用定积分求规则图形的面积】

    如图所示,求梯形ABCD的面积。

    法1:用梯形的面积公式可得,(S_{梯形ABCD}=cfrac{(2+8)}{2} imes 3=15)

    法2:用定积分求解面积,(S_{梯形ABCD}=displaystyleint_{1}^{4}2x;dx=2 imescfrac{x^2}{2}Big|_1^4=16-1=15)

    定积分可以求规则图形的面积,也可以求不规则图形的面积,这样我们能解决的问题的类型就更多了。

    例3【定积分的结果实质上是个实数】【2014江西卷】(f(x)=x^2+2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx),则(displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx)的值为多少?

    分析:注意到表达式(int_{0}^{1}f(x)dx)应该是个实数,故两边同时取定积分得到

    (displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=displaystyleint_{0}^{1}x^2;dx+displaystyleint_{0}^{1}[2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx]dx)

    即就是(displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=displaystyleint_{0}^{1}x^2;dx+[2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx]cdot displaystyleint_{0}^{1}1cdot dx)

    (displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{x^3}{3}Big|_0^1+[2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx]cdot xBig|_0^1)

    (displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{1}{3}+2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx)

    (displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=-cfrac{1}{3}).

    例3对照【函数的导数实质上也是实数】已知函数(f(x)=x^2+2f'(2)cdot x+1),求函数的解析式(f(x)).

    分析:给原式两边同时求导,可得(f'(x)=2x+2f'(2))

    再令(x=2)得到(f'(2)=4+2f'(2)),解得(f'(2)=-4),可知(f(x)=x^2-8x+1)

    例4【利用定积分证明球体的体积公式】

    求体积问题,也是定积分的一个重要应用,必然求简单旋转几何体的体积公式。

    比如,(V=picdot displaystyleint_{a}^{b} f^2(x);;dx)

    已知半径为(R)的球体可以看成是由曲线(y=sqrt{R^2-x^2})(x)轴所围成的区域(半圆)绕(x)轴旋转一周得到的,求球体的体积公式。

    (V_{球}=picdot displaystyleint_{-R}^{R}(R^2-x^2);dx)

    (=picdot R^2cdot displaystyleint_{-R}^{R}1 dx-picdot displaystyleint_{-R}^{R}x^2;dx)

    (=picdot R^2cdot xBig|_{-R}^{R}-picdot cfrac{x^3}{3}Big|_{-R}^{R})

    (=2pi R^3-cfrac{2pi R^3}{3}=cfrac{4pi R^3}{3})

    例5【利用定积分比较大小】

    (s_1=displaystyleint_{1}^{2}x^2;dx)(s_2=displaystyleint_{1}^{2}cfrac{1}{x};dx)(s_3=displaystyleint_{1}^{2}e^x;dx),则(S_1,S_2,S_3)的大小关系如何?

    法1:从数的角度,计算定积分的大小,从而比较大小,过程略。(S_2<S_1<S_3)

    法2:从形的角度,利用定积分的几何意义,借助图形的面积直观比较大小。(S_2<S_1<S_3)

    例6【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在((ax+1)^6)的二项展开式中,若中间项的系数为(160),则(int_{0}^a;(x+sqrt{4-x^2});dx)=___________.

    分析:二项展开式的中间项为指数为3的项,由(C_6^3(ax)^3cdot 1^3=160x^3),解得(a=2),故求解如下的定积分,

    (int_{0}^2;(x+sqrt{4-x^2});dx=cfrac{1}{2}x^2Big |_0^2+int_{0}^a;sqrt{4-x^2};dx=pi+2)

    说明:(int_{0}^a;sqrt{4-x^2};dx=cfrac{1}{4} imes pi imes 2^2=pi),利用其几何意义求解;

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