充分必要条件

前言

充分必要条件的题目，其实质是〔左(Rightarrow)右〕和〔左(Leftarrow)右〕的推出关系是否成立。判定定理都是充分条件；性质定理都是必要条件；

推断方法

①充分必要条件的定义法；

②集合法；

③等价命题法；

典例剖析

【和函数性质有关】

①“(a>b)”是“(a^2>b^2)”的既不充分也不必要条件，和函数(y=x^2)的单调、奇偶有关；

②“(a>b)”是“(a^3>b^3)”的充要条件，和函数(y=x^3)的单调性有关；

③“(a>b)”是“(|a|>|b|)”的既不充分也不必要条件，和函数(y=|x|)的单调、奇偶有关；

已知(a>0，b>0)，则“(a^2+b^2<1)”是“(ab+1>a+b)”的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：条件(a >0，b >0，a^2+b^2 <1)对应位于第一象限的单位圆内部的点的横纵坐标，故(0< a<1)且(0< b<1)；

而结论(ab+1>a+b)等价于((a-1)(b-1)>0)，即(a>1，b>1)

或者(0< a<1，0< b<1(本题有前提条件))；

故(a^2+b^2<1)能推出(ab+1>a+b)，但反之不成立，选A。

(a>b>1)是(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})的______________条件。

法1：先看左(Longrightarrow)右，由(a > b>1)可知，

(ab>0，a-b>0，ab-1>0)，

(a+cfrac{1}{a}-b-cfrac{1}{b}=(a-b)cfrac{ab-1}{ab}>0)，

故(a>b>1)能推出(a+cfrac{1}{a}> b+cfrac{1}{b})；

再看右(Longrightarrow)左，当(a=cfrac{1}{4}，b=cfrac{1}{2})时满足(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})，

但是不满足(a>b>1)，故是充分不必要条件。

法2：借助函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})，

则(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})即就是(f(a)>f(b))，

结合对勾函数的图像，很容易判定(a>b>1)能推出(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})；

但是由(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})却不能推出(a>b>1)。

故是充分不必要条件。

设(0< x <cfrac{pi}{2})，则("xsin^2x <1")是 (“xsinx <1”)的【B】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由于在区间((0，cfrac{pi}{2}))上，函数(y=x>0)和函数(y=sinx>)且两个都单调递增，

故(y=xcdot sinx)在区间((0，cfrac{pi}{2}))上单调递增，

同理函数(y=xcdot sin^2x)在区间((0，cfrac{pi}{2}))上单调递增，

且在区间((0，cfrac{pi}{2}))上，(y=xcdot sinx)图像会高于(y=xcdot sin^2x)的图像，

其图像会很类似(y=x^2)和(y=x^3)在((0，1))段的大致图像。

故由(xsin^2x<1)不能推出(y=xsinx<1)，

但是由(y=xsinx<1)能推出(y=xsin^2x)。

法2：区间((0，cfrac{pi}{2}))上，(0< sinx <1)，故(0< sin^2x < sinx <1)，

故(xsin^2x < xsinx)，当(xsinx <1)时，必能推出(xsin^2x <1)，

但是由(xsin^2x <1)并不能推出(xsinx <1)，故选必要不充分条件。

【2019届高三理科数学三轮模拟训练题】“(0<x<1)”是“(sinx^2<sinx)”的【】条件。

$A.充分不必要$ $ B.必要不充分$ $C.充分必要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由于(0<x<1)，则(0<x^2<x<1)，由于(sinx)在((0，1))上单调递增，故得到(sinx^2<sinx)，即充分性成立；

若(cfrac{pi}{2}<x<x^2<pi)，则由于(sinx)在((cfrac{pi}{2}，pi))上单调递减，必有(sinx^2<sinx)，而由(cfrac{pi}{2}<x<x^2<pi)，

得到(cfrac{pi}{2}<x<sqrt{pi})，而不是得到(0<x<1)，故必要性不成立，故选(A)。

(2017兰州模拟)在等比数列({a_n})中，(a_1 < a_2 < a_3)是等比数列({a_n})单调递增的【】条件。

$A.充分不必要$ $ B.必要不充分$ $C.充分必要$ $D.既不充分也不必要$

分析：当(a_1 < a_2 < a_3)时，设公比为(q)，则有(a_1 < a_1q < a_1q^2)；

若(a_1>0)，则有(1< q< q^2)，得到(q >1)，

此时(a_n=a_1cdot q^{n-1})，指数型函数，单调递增；

若(a_1<0)，则有(1> q > q^2)，得到(0< q <1)，

此时(a_n=a_1cdot q^{n-1})，指数型函数，单调递增；

反之，当数列({a_n})是递增等比数列，必有(a_1 < a_2< a_3)，

故选 C、充分必要条件 。

反思：由等比数列的通项公式可知，(a_n=a_1cdot q^{n-1})可知，

当(a_1 >0且q >1)或者(a_1 <0且0< q <1)时，(a_n)单调递增；

当(a_1 <0且q>1)或者(a_1 >0且0< q <1)时，(a_n)单调递减；

当(q=1)时为常数列，无单调性；

当(q <0)时为摆动数列，无单调性。

在等比数列({a_n})中，(q>1)是等比数列({a_n})单调递增的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由上述分析可知：(a_n=a_1cdot q^{n-1})，指数型函数，

它的变化取决于两个要素，(a_1)和(q)，故选D。

在等差数列({a_n})中，(d>0)是等差数列({a_n})单调递增的()条件。

A、充分不必要条件 (hspace{2cm}) B、必要不充分条件 (hspace{2cm}) C、充分必要条件 (hspace{2cm}) D、既不充分也不必要条件

分析：由(a_n=dn+(a_1-d))可知，选C。

(2017凤翔中学高三理科数学第二次月考第3题)设(a，bin R)，则(cfrac{a}{b}>1)是(|a|>|b|)成立的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由(cfrac{a}{b}>1)两边平方，得到(cfrac{a^2}{b^2}>1)，即(a^2>b^2)，即得到(|a|>|b|)，而由(|a|>|b|)不能得到(cfrac{a}{b}>1)，

只要让(a=1，b=0)，就能说明不能。故选(A).

(2017凤翔中学高三文科数学第二次月考第13题)(p：x eq 2 或y eq 4)是(q：x+y eq 6)的__________条件。

法1：集合法，从形的角度，正面思考，考虑由(x和y)构成的点的集合，

这样问题就有了形的依托，(x eq 2 或y eq 4)表示平面内除过点((2，4))之外的部分，记为集合A；

(q：x+y eq 6)表示平面内除过直线(x+y=6)外的部分，记为集合B，

很显然有(Bsubseteq A)，故填写“必要不充分”条件。

法2：从数的角度，正面思考，令(x=3，y=3)，不能推出(x+y eq 6)，

但是由(x+y eq 6)能推出(x eq 2 或y eq 4)，

故填写“必要不充分”条件。

法3：等价转化，正难则反，由于原命题和其等价命题同真同假，

故只要判断(x+y=6)是(x=2且y=4)的（）条件即可。由(x+y=6)不能推出(x=2且y=4)，

但是由(x=2且y=4)能推出(x+y=6)，故填写“必要不充分”条件。

(数学常识)

• (b=sqrt{ac})，是(a、b、c)成等比数列的既不充分也不必要条件；

• (b=sqrt{ac}(ac>0))，是(a、b、c)成等比数列的充分不必要条件；

• (b=pm sqrt{ac})，是(a、b、c)成等比数列的必要不充分条件；

• (b=pm sqrt{ac}(ac>0))，是(a、b、c)成等比数列的充分必要条件；

• (a_{n+1}=2a_n(nin N^*))是(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=2)(或者数列({a_n})为等比数列)的必要不充分条件。

(数学常识)

• 零点存在性定理是函数存在零点的充分不必要条件。

零点存在性定理要求函数在([a，b])上连续，满足(f(a)f(b)<0)，

则在((a，b))内至少存在一个零点(x_0)，使得(f(x_0)=0)成立。

为什么要求必须是连续函数，比如(y=cfrac{1}{x})，在([-1，1])内满足(f(-1)f(1)<0)，

但是函数在([-1，1])上没有零点。

若函数在([a，b])上连续，不满足(f(a)f(b)<0)，却不能说函数在((a，b))内没有零点，

此时有可能是不变号零点，比如函数(y=x^2)，在([-1，1])上有(f(-1)f(1)>0)，但是函数有零点(x=0)。

(数学常识)

• 在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，(f'(x)>0(f'(x)<0))是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。

说明不必要性，比如函数(y=x^3)在R上单调递增，但是却满足(f'(x)ge 0)；

• 在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。

比如常函数(f(x)=c(c为常数))，满足(f'(x)ge0)，但是没有单调性，故充分性不成立；

若函数(f(x))单调递增，则必有(f'(x)ge 0)，故必要性成立。

• 在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，“(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的充要条件。

说明：在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零，就排除了函数为常函数的可能。

例如，命题(p)为真命题，(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0，+infty))上单调递减，求(m)的取值范围是________。

分析：由题目可知，

若(p)为真，则(1-2m>0)，解得(m<cfrac{1}{2})(依托(y=cfrac{1}{x})的单调性)；

辨析：本题目利用函数(f(x))的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。

导数法：由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0，+infty))上单调递减，则有

(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在区间((0，+infty))上恒成立，

即(2m-1leq 0)，即(mleq cfrac{1}{2})，这个结果是错误的，

原因是缺少验证，当(m=cfrac{1}{2})时， 函数(f(x)=0)为常函数，

不符合题意，故舍去，即(m<cfrac{1}{2})。

(数学常识)

• 在某个区间内，对函数(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)为极值点的既不充分也不必要条件。

分析：比如函数(f(x)=x^3)，在R上单调递增，无极值点，而(f'(x)=3x^2)，(f'(0)=0)，

但是很遗憾(x=0)不是极值点，应该是驻点和拐点，故充分性不成立；

若(x_0)为函数的极值点，也不能推出(f'(x_0)=0)，因为函数的极值点有可能就不可导，

比如函数(f(x)=|x|)，(x=0)是其极值点，但是函数在这一点(尖角点)并不可导。

• 在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)为极值点的必要不充分条件。

说明：此时由于函数是可导函数，就排除了函数在(x_0)处不可导的情形，

故(x_0)为函数的极值点，能推出(f'(x_0)=0)，必要性成立。

函数(f(x)＝ax＋3)在区间([－1，2])上存在零点的充要条件是________．

解析：函数(f(x)＝ax＋3)在([－1，2])上存在零点等价于直线(f(x)＝ax＋3)在([－1，2])上与(x)轴有交点，

则(egin{cases}a>0\f(-1)=-a+3leq 0\f(2)=2a+3ge0end{cases})或(egin{cases}a<0\f(-1)=-a+3ge 0\f(2)=2a+3leq 0end{cases})

解得(a≥3)或(a≤-cfrac{3}{2})。

等价命题：方程(ax+3=0)在区间([－1，2])上有解的充要条件是_______。

分析：题目这样变化后，求解过程和结果都和上述问题一样。

(来自数学概念)命题：(p):“函数(f(x))是周期函数”是命题(q):“函数(f(x))一定有最小正周期”的【必要不充分】条件。

分析：比如常函数(f(x)=c)是周期函数，但是它没有最小正周期。

(向量的内积)(2017北京卷) 设(vec{m})，(vec{n})是非零向量，则"存在负数(lambda)，使得(vec{m}=lambda vec{n})"是“(vec{m}cdot vec{n}<0)”的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：将条件等价转化：存在负数(lambda)，

使得(vec{m}=lambda vec{n}Leftrightarrow heta=180^{circ})"

将结论等价转化：(vec{m}cdot vec{n}<0Leftrightarrow hetain(90^{circ}，180^{circ}])，

故此时能轻易判断选A。

(线性回归方程)已知数组((x_1，y_1))，((x_2，y_2))，(cdots)，((x_{10}，y_{10}))满足线性回归方程(y=bx+a)，则“((x_0，y_0))满足线性回归方程(y=bx+a)”是“(x_0=cfrac{x_1+x_2+cdots+x_{10}}{10})，(y_0=cfrac{y_1+y_2+cdots+y_{10}}{10}) ”的条件 【 】

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：选B，先验证由后推前的命题，由于((x_0，y_0))为这一组数据的样本中心点，故其满足线性回归方程；

但当我们验证由前推后的命题时，此时并不一定知道，((x_0，y_0))为样本中心，故前不能推后，即为必要不充分条件。

这句话可以这样理解，样本中心一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的点不一定是样本中心，也可能是其他点。

(随机事件的概率)“事件(A)为不可能事件” 是“事件(A)的概率(P(A)=0)”的【充分不必要】条件。原因见高频易错题目.

(集合的关系)设(U)为全集，(A、B)为集合，则“存在集合(C)，使得(Asubseteq C)，(Bsubseteq C_UC)”是“(Acap B=varnothing)”的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：判断充分性，由题目可知，当存在集合(C)，使得(Asubseteq C)，(Bsubseteq C_UC)时，

必有(Acap B=varnothing)成立，故充分性成立；

再判断必要性，当(Acap B=varnothing)成立时，(U)为全集，(A、B)为集合，

只要令(A=C)即能说明，必然存在集合(C)，使得(Asubseteq C)，(Bsubseteq C_UC)成立，故必要性成立，

故选充要条件，C.

(函数的奇偶性)设(f(x))，(g(x))是定义在(R)上的函数，(h(x)=f(x)+g(x))，则“(f(x))，(g(x))均为偶函数”是“(h(x))为偶函数”的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：充分性成立，原因"偶+偶=偶"；必要性不成立，比如，(h(x)=e^x+e^{-x})为偶函数，

但是(f(x)=e^x)和(g(x)=e^{-x})都没有奇偶性；故选(A)。

【向量表示的三点共线】(overrightarrow{OC}=lambdaoverrightarrow{OA}+(1-lambda)overrightarrow{OB})是(A、B、C)三点共线的【充要条件】。

【正余弦定理】

"(a^2+b^2 > c^2)"是"(Delta ABC)是锐角(Delta)"的必要不充分条件；

"(a^2+b^2 < c^2)"是"(Delta ABC)是钝角(Delta)"的充分不必要条件。

"(a^2+b^2= c^2)"是"(Delta ABC)是(RtDelta)"的充分不必要条件。

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】方程(cfrac{x^2}{8+a}-cfrac{y^2}{a-4}=1)表示双曲线的充要条件是________.

分析：方程要表示为双曲线，等价于(left{egin{array}{l}{8+a>0}\{a-4>0}end{array} ight.)或者(left{egin{array}{l}{8+a<0}\{a-4<0}end{array} ight.)

解得(a<-8)或(a>4)。故其充要条件为(ain (-infty，8)cup(4，+infty))。

【引申】方程(cfrac{x^2}{8+a}-cfrac{y^2}{a-4}=1)表示椭圆的充要条件是________.

分析：先将方程变形为(cfrac{x^2}{8+a}+cfrac{y^2}{-(a-4)}=1)，方程要表示为椭圆，

等价于(left{egin{array}{l}{8+a>0}\{a-4<0}\{8+a>-(4-a)}end{array} ight.)，或(left{egin{array}{l}{8+a>0}\{a-4<0}\{8+a<-(4-a)}end{array} ight.)，

解得(-8<a<-2)或(-2<a<4)，故其表示椭圆的充要条件为(ain (-8，-2)cup (-2，4)).

补充：当(a=-2)时，方程表示圆；

【二次函数恒成立模型中的充要条件】

• 已知[仿二次]函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0)在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{a=b=0}\{cge 0}end{array} ight.)。

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.)；

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a<0}\{Delta leq 0}end{array} ight.)；

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要条件的写法有两种形式：

其一是(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{m<-cfrac{b}{2a}<n}\{f(-cfrac{b}{2a})ge 0}end{array} ight.)；

其二是(Delta leq 0)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{f(m)leq 0}\{f(n)leq 0}end{array} ight.)；

已知函数(f(x)=2mx^3-3x^2+1(min R))，求证：“(m>1)”是“函数(f(x))有唯一零点”的充分不必要条件。

分析：函数有唯一零点，即(m=cfrac{3x^2-1}{2x^3}=g(x))有唯一解，

即函数(y=g(x))与(y=m)只有一个交点，

用导数求得单调性，做出函数的图像，由图像可知，

当(m>1)时，二者仅有一个交点，但仅有一个交点时，(m>1)或(m<-1) ，故得证。

(“sin heta=cos heta”)是(“cos2 heta=0”)的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由(cos2 heta=cos^2 heta-sin^2 heta)可知，当(sin heta=cos heta)时，能推出(cos2 heta=0)，故充分性成立；

但是当(cos2 heta=0)时，只能推出(cos^2 heta=sin^2 heta)，并不能推出(sin heta=cos heta)，故必要性不成立，

综上所述，选(A).

【2019焦作模拟】设( hetain R)， 则("cos heta=cfrac{sqrt{2}}{2}") 是("tan heta=1")的____________条件。

分析：由(cos heta=cfrac{sqrt{2}}{2})，得到(A={ hetamid heta=2kpipm cfrac{pi}{4}})，(kin Z)，由(tan heta=1)，得到(B={ hetamid heta=kpi+cfrac{pi}{4}})，(kin Z)，

由于(A otsubseteq B)，且(B otsubseteq A)，故填写既不充分也不必要条件。

解后反思：解三角方程，需要用到三角函数线。

【2019天津六校联考】(a=1)是函数(f(x)=cfrac{e^x}{a}-cfrac{a}{e^x})为奇函数的______________条件。

分析：当(a=1)时，则(f(x)=e^x-e^{-x})，由(f(-x)=-f(x))，则(f(x))是奇函数，即充分性成立；

若(f(x))为奇函数，恒有(f(-x)+f(x)=0)，转化为((e^x+e^{-x})(cfrac{1}{a}-a)=0)，解得(a=pm 1)， 故必要性不成立，

填写：充分不必要。

【2016年宝鸡市二检理科数学第5题】已知条件“(p:k=sqrt{3})”，条件“(q:)直线(y=kx+2)与圆(x^2+y^2=1)相切”，则( eg p)是( eg q)的【】条件

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：先化简命题(q)，由圆心((0,0))到直线(y=kx+2)的距离为(1)，即由(d=r)得到，(cfrac{|2|}{k^2+1}=1)，解得(k=pm sqrt{3})，或者联立消元后的方程(x^2+(kx+2)^2=1)的(Delta=0)，都可以得到(k=pm sqrt{3})，

法1：即(p:k=sqrt{3})，(q:k=pmsqrt{3})，故(pRightarrow q)，但是(q otRightarrow p)，故(p)是(q)的充分不必要条件，则( eg p)是( eg q)的必要不充分条件。故选(B).

法2：由上得到，( eg p:k eqsqrt{3})，( eg q:k eqpmsqrt{3})，故由集合的包含关系可知，( eg p otRightarrow eg q)，但是( eg qRightarrow eg q)，故( eg p)是( eg q)的必要不充分条件。故选(B).