函数f(x+1)和f(x-1)的奇偶性

前言

廓清认知

• 1、函数(y=f(x))的奇偶性

①(y=f(x))为奇函数，则满足(f(-x)+f(x)=0)，即关于点((0，0))对称；

②(y=f(x))为偶函数，则满足(f(-x)-f(x)=0)，即关于直线(x=0)对称；

③奇偶性的推广即为对称性，

比如函数满足(f(x)+f(2-x)=4)，则函数(y=f(x))关于点((1，2))对称；

函数满足(f(x)-f(2-x)=0)，则函数(y=f(x))关于直线(x=1)对称；

• 2、函数(y=f(x+1))的奇偶性

比如函数(f(x+1))为奇函数，则应该满足(f(-x+1)=-f(x+1))，而不是(f(-x-1)=-f(x+1))；

理解这句话要注意：

①、从数的角度思考，可以用特例验证，比如(f(x+1)=x^3)，

则用代换法得到(f(x)=(x-1)^3)，则(f(-x+1)=-x^3)，(f(x+1)=x^3)，

故满足(f(-x+1)=-f(x+1))，

而(f(-x-1)=(-x-2)^2=-(x+2)^3)，故不满足(f(-x-1)=-f(x+1))；

②、从形的角度理解，比如(f(x+1)=x^3)，则用代换法得到(f(x)=(x-1)^3)，很显然函数(f(x+1)=x^3)的对称中心是((0，0))，

而函数(f(x)=(x-1)^3)的对称中心是((1，0))；可以用图像变换来理解，函数(f(x+1))的对称中心是((0，0))，

将它向右平移一个单位得到(f(x))，故函数(f(x))的对称中心是((1，0))；

③、函数的奇偶性变换针对的是单独的自变量(x)，而不是(x+1)这个整体；

④、我们其实可以用函数(y=f(x+1))的奇偶性推出函数(f(x))的对称性：

比如函数(f(x+1))为奇函数，则应该满足(f(-x+1)=-f(x+1))，即(f(-x+1)+f(x+1)=0)，

由于(cfrac{(-x+1)+(x+1)}{2}=1)，(cfrac{y_1+y_2}{2}=cfrac{f(-x+1)+f(x+1)}{2}=0)，

这样我们就能得到函数(f(x))的对称中心是((1，0))；

当然由此我们还可以写出表达式(f(x)+f(2-x)=0)，或者(f(cfrac{1}{2}+x)+f(cfrac{3}{2}-x)=0)；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

再比如函数(f(x+1))为偶函数，则应该满足(f(-x+1)=f(x+1))，

这样我们就能得到函数(f(x))的对称轴是直线(x=1)；

当然由此我们还可以写出表达式(f(x)=f(2-x))，或者(f(frac{1}{2}+x)=f(frac{3}{2}-x))；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

• 3、函数(y=f(x-1))的奇偶性

同上理解即可。

典例剖析

• (f(x))的对称轴为(x=0)，则(f(x)=f(-x)=f(|x|))；则(f(M)geqslant f(N)Leftrightarrow) (f(|M|)geqslant f(|N|))；

例1【2019届高三理科数学二轮资料用题】已知定义在(R)上的奇函数(f(x))单调递增，且(g(x)=|f(x)|)，则不等式(g(x)-g(2x-6)<0)的解集是【】

$A(2，6)$ $B(-6，-2)$ $C(-infty，2)cup(6，+infty)$ $D(-infty，-6)cup(-2，+infty)$

分析：(g(x))为偶函数，且在([0，+infty))上单调递增，(g(|x|)<g(|2x-6|))，故(|x|<|2x-6|)，解得 (xin (-infty，2)cup(6，+infty))，故选(C).

• (f(x))的对称轴为(x=1)，则(f(M)geqslant f(N)Leftrightarrow) (f(|M-1|)geqslant f(|N-1|))；

例2【2018齐鲁名校教科研协作体山东湖北部分重点中学高考冲刺模拟，6】已知定义在(R)上的函数(f(x))在([1，+infty))上单调递减，且(f(x+1))是偶函数，不等式(f(m+2)geqslant f(x-1))对任意的(xin [-1，0])恒成立，则实数(m)的取值范围是【】

$A.[-3，1]$ $B.[-4，2]$ $C.(-infty，-3)cup [1，+infty)$ $D.(-infty，-4)cup [2，+infty)$

分析：由于(f(x+1))是偶函数，故(f(x))的图像关于(x=1)对称，

由(f(m+2)geqslant f(x-1))得到，[说明：(f(x))对称轴为(x=0)，则(f(x-1))的对称轴为(x=1)；]

故(f(|(m+2)-1|)geqslant f(|(x-1)-1|))，又由于函数(f(x))在([1，+infty))上单调递减，

故(|(m+2)-1|leqslant |(x-1)-1|)，即(|m+2|leqslant |2-x|)对任意的(xin [-1，0])恒成立，

而右侧函数(y=|2-x|)在(xin [-1，0])上的最小值为(2)，

故得到(|m+1|leqslant 2)，即(-3leqslant mleqslant 1)，故选(A)。

例3【学生问题】已知函数(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x})，则满足(f(x-1)<e+e^{-1})的(x)的取值范围是_____________。

说明：本例子能说明，为什么需要建立一些模型，如令(g(x)=e^x+e^{-x})，则(f(x)=g(x-1))，这样就能很容易画出其图像。

法1：数形结合，做出其图像，原不等式等价于(f(x-1)<f(0))，(f(0)=f(2))

由图像可知，(0<x-1<2)，

解得(1<x<3)。故所求范围为((1，3))。

法2：利用对称性的性质求解，由上可知(g(x)=e^x+e^{-x})为偶函数，在((-infty，0])上单调递减，在([0，+infty))上单调递增；

则(f(x)=g(x-1))为对称轴为(x=1)的函数，在((-infty，1])上单调递减，在([1，+infty))上单调递增；

故由(f(x-1)<e+e^{-1}=f(0))，则可知(f(|(x-1)-1|)<f(|0-1|))，又由于在([1，+infty))上单调递增；

则得到(|(x-1)-1|<|0-1|)，即(|x-2|<1)，即(-1<x-2<1)，

解得(1<x<3)，故所求范围为((1，3))。

延申链接

1、抽象函数性质的验证