三角形的四心的向量表示

前言

但三角形的四心用文字语言表述时，许多学生还可以对付一阵，若换成向量形式的符号语言，则大多就哑口无言了，所以有必要将三角形四心的向量表示形式好好作以总结储备。

三角形重心

• 重心：三角形的三条中线的交点。

• 命题一、已知(O)为(Delta ABC)内的一点，若(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=vec{0})，则(O)是(Delta ABC)的重心；

证明：必要性，由于(O)是(Delta ABC)的重心，则线段(AD、BE、CF)为三角形的三条中线，

则有(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=2overrightarrow{AD}=cfrac{4}{3}overrightarrow{AO}=-cfrac{4}{3}overrightarrow{OA})，

(overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}=2overrightarrow{BE}=cfrac{4}{3}overrightarrow{BO}=-cfrac{4}{3}overrightarrow{OB})，

(overrightarrow{CB}+overrightarrow{CA}=2overrightarrow{CF}=cfrac{4}{3}overrightarrow{CO}=-cfrac{4}{3}overrightarrow{OC})，

故(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})(=-cfrac{4}{3}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}))

(=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CB}+overrightarrow{CA}=vec{0})；

充分性，由(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=vec{0})，得到(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=-overrightarrow{OA})，

又(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=2overrightarrow{OD})，则(-overrightarrow{OA}=2overrightarrow{OD})，

故点(A、O、D)三点共线，且(AD)为三角形的一条中线；

同理，(BE、CF)为三角形的中线；故(O)是(Delta ABC)的重心；证毕。

在具体题目中的应用形式举例，如【2020宝鸡市二检理科第15题】已知点(P)为三角形( riangle ABC)内部一点，且满足(overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}=overrightarrow{AP})，即(overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PA}=vec{0})，故点(P)是三角形的重心。

• 命题二、(O)是(Delta ABC)的重心，则(S_{Delta AOB}=S_{Delta BOC}=S_{Delta COA})；

证明：(O)是(Delta ABC)的重心，令边(AB)上的高线为(h)，

则(S_{Delta AOB}=cfrac{1}{2}cdot ABcdot cfrac{h}{3}=cfrac{1}{3}S_{Delta ABC})，

同理，(S_{Delta BOC}=cfrac{1}{3}S_{Delta ABC})，(S_{Delta AOC}=cfrac{1}{3}S_{Delta ABC})，

故(S_{Delta AOB}=S_{Delta BOC}=S_{Delta COA})；

• 命题三、已知(D、E、F)是(Delta ABC)的边(BC、AC、AB)的中点，则(overrightarrow{AD}+overrightarrow{BE}+overrightarrow{CF}=vec{0})；

证明：已知(D、E、F)是(Delta ABC)的边(BC、AC、AB)的中点，(O)是(Delta ABC)的重心，

则(overrightarrow{AD}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}))，(overrightarrow{BE}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{BC}+overrightarrow{BA}))，(overrightarrow{CF}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB}))，

故(overrightarrow{AD}+overrightarrow{BE}+overrightarrow{CF})(=cfrac{1}{2}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB}) =vec{0})；

• 命题四、平行四边形(ABCD)的中心是(O)，(P)为平面上任意一点，则(overrightarrow{PO}=cfrac{1}{4}(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PD}))；

证明：平行四边形(ABCD)的中心是(O)，(P)为平面上任意一点，

则在(Delta PAC)中，(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PC}=2overrightarrow{PO})，在(Delta PBD)中，(overrightarrow{PB}+overrightarrow{PD}=2overrightarrow{PO})，

故(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PB}+overrightarrow{PD})(=4overrightarrow{PO})，

即(overrightarrow{PO}=cfrac{1}{4}(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PD}))；

三角形外心

• 外心：三角形的三条边的中垂线交点，也是外接圆的圆心；

• 已知(O)为(Delta ABC)内的一点，满足(|overrightarrow{OA}|=|overrightarrow{OB}|=|overrightarrow{OC}|)，则(O)是(Delta ABC)的外心；

三角形垂心

• 垂心：三角形的三条边的高线的交点。

• 命题一、已知(O)为(Delta ABC)内的一点，满足(overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}=overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OC}=overrightarrow{OB}cdotoverrightarrow{OC})，则(O)是(Delta ABC)的垂心；

证明：由于(overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}=overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OC})，则(overrightarrow{OA}cdot(overrightarrow{OB}-overrightarrow{OC})=0)，

即(overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{CB}=0)，则(OAperp BC)，

同理可得(OBperp AC)，(OCperp AB)，故(O)是(Delta ABC)的垂心；

• 命题二、已知(O)为(Delta ABC)所在平面内的一点，且(|overrightarrow{OA}|^2+|overrightarrow{BC}|^2)(=|overrightarrow{OB}|^2+)(|overrightarrow{CA}|^2)(=|overrightarrow{OC}|^2+)(|overrightarrow{AB}|^2)，则(O)是(Delta ABC)的垂心；

三角形内心

• 内心：三角形的三个内角平分线的交点，也是内切圆的圆心；

• 命题一、(O)为(Delta ABC)的内心的充要条件是

(overrightarrow{OA}cdot(cfrac{overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{AB}|}-cfrac{overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AC}|}))(= overrightarrow{OB}cdot(cfrac{overrightarrow{BA}}{|overrightarrow{BA}|}-cfrac{overrightarrow{BC}}{|overrightarrow{BC}|}))(=overrightarrow{OC}cdot(cfrac{overrightarrow{CA}}{|overrightarrow{CA}|}-cfrac{overrightarrow{CB}}{|overrightarrow{CB}|})=0)

证明：充分性，如图，向量(overrightarrow{AB})、(overrightarrow{AC})的单位向量分别是(overrightarrow{AE})、(overrightarrow{AD})，

则(Delta ADE)为等腰三角形，

由(overrightarrow{OA}cdot (cfrac{overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{AB}|}-cfrac{overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AC}|}))(=overrightarrow{OA}cdot (overrightarrow{AE}-overrightarrow{AD}))(=overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{DE}=0)，

故(OA)为(angle A)的平分线；同理可得(OB)、(OC)分别为(angle B、angle C)的平分线；

故点(O)是(Delta ABC)的内心。

必要性，由点(O)是(Delta ABC)的内心，则可知(OA)为(angle A)的平分线，

故容易知道(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{DE}=0)，

即(overrightarrow{OA}cdot(cfrac{overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{AB}|}-cfrac{overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AC}|})=0)，

同理可知$ overrightarrow{OB}cdot(cfrac{overrightarrow{BA}}{|overrightarrow{BA}|}-cfrac{overrightarrow{BC}}{|overrightarrow{BC}|})$$=overrightarrow{OC}cdot(cfrac{overrightarrow{CA}}{|overrightarrow{CA}|}-cfrac{overrightarrow{CB}}{|overrightarrow{CB}|})=0$，证毕。

• 命题二、记(overrightarrow{AB}、overrightarrow{BC}、overrightarrow{CA})的单位向量为(vec{e_1})、(vec{e_2})、(vec{e_3})，则(O)为(Delta ABC)的内心的充要条件是(overrightarrow{OA}cdot (vec{e_1}+vec{e_3})=overrightarrow{OB}cdot (vec{e_1}+vec{e_2})=overrightarrow{OC}cdot (vec{e_2}+vec{e_3})=vec{0})。

• 与向量(vec{a})共线的单位向量为两个，(pmcfrac{vec{a}}{|vec{a}|})；

解题经验

在具体的题目求解中，关于多个向量的线性表示形式，其难点往往是其系数的恰当拆分。

引例1若已知(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=2overrightarrow{AE})，或者(overrightarrow{AE}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}))，则可知点(E)为(BC)的中点；

已知(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=3overrightarrow{AD})，则(3overrightarrow{AD}=2overrightarrow{AE})，则(overrightarrow{AD}=cfrac{2}{3}overrightarrow{AE})，可知点(D)为( riangle ABC)的重心；

引例2若由题目可知(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})，将其系数做恰当的拆分得到，((overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}))(+2(overrightarrow{OB})(+overrightarrow{OC}))(=vec{0})，如图即(2overrightarrow{OD}=-4overrightarrow{OE})，即(overrightarrow{OD}=-2overrightarrow{OE})，即可知点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(DE)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。