前言
函数的单调性是很重要的性质之一，那么我们到底需要研究什么？
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相关概念：函数在区间上增加(减少)；单调区间，单调性，增函数，减函数，单调函数；
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单调性的给出方式[其实质也是单调性的判断方法]；
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单调性[单调区间]的判断，难点是抽象函数与复合函数的单调性判断；
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单调性的证明方法，只能用定义法和导数法；
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单调性的作用：求解单调区间或判断单调性；求函数的值域或者最值；比较两个函数值或者自变量大小；求解函数不等式；
常用给出方式
- 0、以图像的形式给出；
如图[图中画出一个增函数]，或者给出(f(x)=left{egin{array}{l}{x^2，xgeqslant 0}\{-x^2，x<0}end{array} ight.)，
- 1、题目中用文字语言直接给出；
如函数在区间([a，b])单调递增；
- 2、以定义式给出；
如给出函数(f(x))在区间(D)上满足(forall x_1，x_2in D，x_1<x_2，f(x_1)<f(x_2))，
则意味着函数(f(x))在区间(D)上单调递增；
【注意】函数的单调性定义中，(x_1，x_2)有三个特征：①任意性；②有大小；③同属于同一个单调区间；
- 3、以定义的等价变形形式【积式】给出；
如函数(f(x))在区间(D)上满足(forall x_1，x_2in D，(x_1-x_2)cdot[f(x_1)-f(x_2)]<0)
则说明：函数(f(x))在区间(D)上单调递减；
你会仿照上例，刻画单调递增吗？
- 4、以定义的等价变形形式【商式】给出；
如函数(f(x))在区间(D)上满足(forall x_1，x_2in D，cfrac{f(x_1)- f(x_2)}{x_1-x_2}>0)
则说明：函数(f(x))在区间(D)上单调递增；
- 5、以函数单调性的结论形式给出；
结论①：函数(f(x)、g(x))是增(减)函数，则(f(x)+g(x))为增(减)函数；
注意，此处不是用复合函数的“同增异减”来判断，而是利用单调性的定义可以证明的。
结论②：已知函数(f(x)、g(x))是增(减)函数，同时又已知(f(x)>0，g(x)>0)，则有(f(x)cdot g(x))是增（减）函数；证明[1]
已知函数(f(x)、g(x))是增（减）函数，同时又已知(f(x)<0，g(x)<0)，则有(f(x)cdot g(x))是减（增）函数；
- 6、以导数的形式给出，
如函数在区间([a，b])满足(f'(x)ge0)(只在有限个点处使得(f'(x)=0))
- 7、以积函数的形式给出，
如((x-1) cdot f'(x)>0)，则可知(left{egin{array}{l}{x-1>0}\{f'(x)>0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x-1<0}\{f'(x)<0}end{array} ight.)
即可知，当(x>1)时，(f'(x)>0)，即函数(f(x))在区间((1，+infty))上单调递增；
当(x<1)时，(f'(x)<0)，即函数(f(x))在区间((-infty，1))上单调递减；
同理可以理解表达式((x^2-3x+2)cdot f'(x)>0)。
其他给出方式
- 1、以“定义的商式变形+构造函数的形式”给出；
引例，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，
记(a=cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}})，(b=cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2})，(c=cfrac{f(log_25)}{log_25})，比较(a、b、c)的大小。
分析：构造函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，令(0<x_1<x_2)，则由单调性定义的等价形式可得，
(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=cfrac{cfrac{f(x_1)}{x_1}-cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)})
由题目，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，
则可知(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0)，即函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})是单调递增的，
- 2、以“单调+奇偶”的综合形式给出；
如给出函数(f(x))在区间(D)上满足：(cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0)，且函数(f(x))为奇函数，
则可知(-f(-x_2)=f(x_2))，代换得到(cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0)，
再令(-x_2=x_3)，即(cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0)，
即函数(f(x))在区间(D)上单调递增；
- 3、 以图像的形式给出；(给出(f(x))图像或者(f'(x))的图像，要会读斜率)
比如给出(f(x))图像，需要会解读图像，给出(f'(x))的图像，要会通过(f'(x))的正负解读单调性；
- 4、函数单调性的性质应用；
结论①：函数(f(x)、g(x))是增(减)函数，则(f(x)+g(x))为增(减)函数；
注意，此处不是用复合函数的“同增异减”来判断，而是利用单调性的定义可以证明的。
结论②：已知函数(f(x)、g(x))是增(减)函数，同时又已知(f(x)>0，g(x)>0)，则有(f(x)cdot g(x))是增（减）函数；
已知函数(f(x)、g(x))是增（减）函数，同时又已知(f(x)<0，g(x)<0)，则有(f(x)cdot g(x))是减（增）函数；
结论③：(f(x))与(f(x)+c)((c)为常数)有相同的单调性；
结论④：(k>0)时，(f(x))与(kcdot f(x))有相同的单调性；(k<0)时，(f(x))与(kcdot f(x))有相反的单调性；
结论⑤：(f(x))恒不为零，则(f(x))与(cfrac{1}{f(x)})单调性相反；
结论⑥：(f(x))恒为正，则(f(x))与(sqrt{f(x)})具有相同的单调性；
【易错】函数(f(x))在区间(D_1、D_2)上单调递增(或减)，但是在区间(D_1cup D_2)上不一定单调递增(或减)
如函数(f(x)=cfrac{1}{x})，在区间((-infty，0))上单调递减，在区间((0，+infty))上单调递减，
但是在区间((-infty，0)cup(0，+infty))并不具有单调性，即在其定义域上没有单调性。
- 5、以复合函数的形式给出单调性；
引例，(2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题)
若函数(f(x)=log_a^;(6-ax))在([0，2])上为减函数，则实数(a)的取值范围是【】
A、([3，+infty)) (hspace{2cm}) B、((0，1)) (hspace{2cm}) C、((1，3]) (hspace{2cm}) D、 ((1，3))
分析：令(g(x)=6-ax)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域。
由题目可知必有(a>0)，故函数(g(x))单调递减，考虑定义域时只要最小值(g(2)>0)即可，
再考虑外函数必须是增函数，故(a>1)，
结合(g(2)>0)，解得(1<a<3)，故选D。
- 6、以分段函数的形式给出单调性
引例，(已知分段函数的单调性，求参数的取值范围)
已知(a>0)，函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} (3-a)x-3 &xleq 7 \ a^{x-6} &x>7 end{cases})，函数(f(x))在(R)上单调递增，求(a)的取值范围。
- 7、以赋值法的形式给出单调性；
如定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x+y)=f(x)+f(y))，且(x >0)时，(f(x)<0)，判定函数单调性。
分析：令(x_1> x_2)，则(x_1-x_2>0)，故(f(x_1-x_2)<0)，
则有$ f(x_1) = f(x_1-x_2+x_2) = f(x_1-x_2)+f (x_2) < f( x_2) $，
故函数(f(x))在(R)上单调递减。
- 8、以导函数的整体或部分形式给出(更难些)，
比如题目给出当(x>0)时满足条件(xf'(x)-f(x)<0)，则是告诉我们需要构造新函数，同时能知道新函数的单调性；
分析：构造(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，则当(x>0)时，
则(g'(x)=cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}<0)，
即新函数(g(x))在区间((0，+infty))上单调递减。
典例剖析：
①((x_2-x_1))[f(x_2)-f(x_1)]＜0)；
②(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2))；
③(f(x_2)-f(x_1)＞x_2-x_1)；
④(cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＞f(cfrac{x_1+x_2}{2}))；
其中正确结论的序号是【②③④】．
分析：由于函数(f(x)=e^x-1)在区间([0，e])上单调递增，
对于选项①而言，函数(f(x))单调递减，故①错误；
对于选项②变形得到，(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2))；即(cfrac{f(x_1)}{x_1}<cfrac{f(x_2)}{x_2})；
即(cfrac{f(x_1)-0}{x_1-0}<cfrac{f(x_2)-0}{x_2-0})；借助图像很容易说明②正确；
对于选项③而言，变形得到(cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0)，即函数单调递增，故③正确；
对于选项④而言，刻画的是函数的凹凸性，也是正确的，故正确结论的序号是【②③④】．
分析：构造(g(x)=xcdot f(x))，(g(x))为奇函数，当(xin(-infty，0))时，(f(x)+xf'(x)<0)成立，则(g'(x)=f(x)+xf'(x)<0)，故由单调和奇偶性可知(g(x))在((0，+infty))上单调递减。大小比较就容易了。
分析：(f'(x)ge 0)在区间([2，5])上恒成立，即(3x^2-2age 0)在区间([2，5])上恒成立，
分离参数得到，(2aleq 3x^2)在区间([2，5])上恒成立，即(2aleq [3x^2]_{min}=12)，即(aleq 6)。
分析：注意到(a，b，c)的结构，由题目猜想：要构造的函数是(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，那么是否正确，以下做以验证。
令(0<x_1<x_2)，则由单调性定义的等价形式可得，
(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=cfrac{cfrac{f(x_1)}{x_1}-cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)})
由题目，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，
则可知(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0)，即函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})是单调递增的，
故题目需要我们比较(g(3^{0.2}))，(g(0.3^2))，(g(log_25))这三个的大小关系，只需要比较自变量的大小就可以了；
由于(1=3^0<3^{0.2}<3^{0.5}=sqrt{3}<2)，(0<0.3^2=0.09<1)，(log_25>log_24=2)，
故(g(0.3^2)<g(3^{0.2})<g(log_25))，即(b<a<c)。
- 在锐角(Delta ABC)中，(sinA>cosB)，(cosA<sinB)。
证明：由于在锐角(Delta ABC)中，故(A+B>cfrac{pi}{2})，即(A>cfrac{pi}{2}-B)，此时(Ain(0,cfrac{pi}{2}))，(cfrac{pi}{2}-Bin(0,cfrac{pi}{2}))，而函数(y=sinx)在((0,cfrac{pi}{2}))上是单调递增的，故(sinA>sin(cfrac{pi}{2}-B)=cosB)，即(sinA>cosB)，
同理，函数(y=cosx)在((0,cfrac{pi}{2}))上是单调递减的，故(cosA<cos(cfrac{pi}{2}-B)=sinB)，即(cosA<sinB)。
- 在锐角(Delta ABC)中，(sinA>cosB)，(sinB>cosC)，(sinC>cosA)，则有(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC)，
已知函数(f(x)=x^3-3x)，若在( riangle ABC)中，角(C)为钝角，则以下大小关系正确的是【】
分析：在钝角( riangle ABC)中，(sinA<cosB)，又(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1))，在((-1，1))上单调递减，故(f(sinA) > f(cosB))，故选(A)。
分析：由于函数(f(x))定义在R上的奇函数，故(f(0)=0)，注意此时并不意味函数必须是在(x=0)的两侧连续。
要使得函数在R上单调递减，首先必须是(x>0)时，(f(x))单调递减，
那么必须满足(f(0)leq 0)，这样在([0，+infty))上单调递减，同时必须满足对称轴在(y)轴上或者其左侧，
故(-cfrac{a}{-2}leq 0)的，故由(egin{cases}f(0)=-1-aleq 0\cfrac{a}{2}leq 0end{cases})，解得(ain[-1，0])。
补遗备忘：
- 函数的凹凸性反应了函数图像变化的一种特点，它并不能直接反应单调性。
函数单调递增或递减的五种代表形式，主要依据函数的切线的变化情况来确定；