直线方程
- 点斜式：(y-y_1=k(x-x_1))(其中(l)过定点(P_1(x_1，y_1))，斜率为(k))；
缺陷：不能表示斜率不存在的直线；
- 斜截式：(y=kx+b)((k)是斜率，(b)是(y)截距)；
缺陷：不能表示斜率不存在的直线；
- 两点式：(cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1 eq x_2，y_1 eq y_2))(两点是(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)))，
缺陷：不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线；
- 截距式：(cfrac{x}{a}+cfrac{y}{b}=1(a eq 0，b eq 0))((a,b)分别是横截距和纵截距)，
缺陷：不能表示过原点的直线；
- 一般式：(Ax+By+C=0)，
没有上述直线方程的缺陷。
直线的参数方程
- 以动点到定点的有向线段的数量为参数，
(left{egin{array}{l}{x=x_0+cos hetacdot t}\{y=y_0+sin hetacdot t}end{array} ight.(t为参数))
- 如何将一个直线的普通方程转化为参数方程?[1]
直线系方程
- 定点直线系方程，[是一族直线，不是一条直线，当(k)的取值不同时就对应不同的直线]
经过定点(P(x_0，y_0))的直线系方程是(y-y_0=k(x-x_0))((k)是待定系数)或者是(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0)((A)，(B))是待定系数；
- 共点直线系方程，[指经过两条直线共用的交点的一族直线，当(lambda)的取值不同时就对应不同的直线]
给定两条直线(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0)和(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0)，则经过两条直线(l_1)和(l_2)的交点[联立两个直线方程即可求得交点坐标]的直线系方程为((A_1x+B_1y+C_1)+lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0)(这族直线中不包含直线(l_2))，其中(lambda)是待定系数。
解释说明：共点直线系方程中为什么不包括(l_2)？
由于共点直线系方程为((A_1x+B_1y+C_1)+lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0)，
则当(lambda=0)时，说明此时随(lambda)取值变化的直线系中刚好刻画的是直线(l_1)；
当(lambda eq 0)时，要使得刻画的是直线(l_2)，则需要(A_1x+B_1y+C_1=0)，而它前边系数的系数为(1)，不是(0)，故不可能突变为(0)，这样整个的运算结果就不可能变为(A_2x+B_2y+C_2=0)，故共点直线系方程中不包括直线(l_2)；
同理，如果我们将共点直线系方程写为(lambda (A_1x+B_1y+C_1)+(A_2x+B_2y+C_2)=0)，则此时共点直线系方程中就不包含直线(l_1)。
用课件做以说明。
- 平行直线系方程
直线(y=kx+b)中，当(k)为常数而(b)变化时，表示一族平行直线方程；与直线(Ax+By+C=0)平行的直线系方程是(Ax+By+lambda=0(C eq lambda)，即不包含两直线重合情况，(lambda) 为参数)。
- 垂直直线系方程
与直线(Ax+By+C=0(A eq 0，B eq 0))垂直的直线系方程是(Bx-Ay+lambda=0(lambda 为参数))。
圆的切线方程
已知圆(x^2+y^2=r^2)，则可知
①过圆上的点(P_0(x_0，y_0))的切线方程是(x_0x+y_0y=r^2)；[2] 向量证明方法见必修四P99 例3。
②斜率为(k)的直线成为圆的的切线方程为(y=kxpm rsqrt{1+k^2})；
两圆相交弦方程
引例：比如给定(odot C_1：(x-1)^2+(y-1)^2=4)①，(odot C_2：(x+1)^2+(y+1)^2=4)②，求两圆的相交弦所在的直线方程。
分析：设两个圆相交后的公共点为(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))，
则由点(A)满足圆(C_1)和圆(C_2)，，得到((x_1-1)^2+(y_1-1)^2=4)，((x_1+1)^2+(y_1+1)^2=4)，
两式相减整理得到，(y_1=-x_1)；
由点(B)满足圆(C_1)和圆(C_2)，，得到((x_2-1)^2+(y_2-1)^2=4)，((x_2+1)^2+(y_2+1)^2=4)，
两式相减整理得到，(y_2=-x_2)；
说明点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))都在直线(y=-x)上，故两圆的相交弦所在的直线方程为(y=-x)。
简单操作：由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为(-2x-2x-2y-2y=0)，即(y=-x)；
由此类比得到更一般化的情形：
给定(odot C_1：(x-a)^2+(y-b)^2=e)①，(odot C_2：(x-c)^2+(y-d)^2=f)②，注意两圆必须相交； 由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为((2c-2a)x+(2d-2b)y+a^2-c^2+b^2-d^2-e+f=0)；
相互关系
-
平行的充要条件
-
垂直的充要条件
有空待补充。
典例剖析
若直线(x+(1+m)y-2=0)与直线(mx+2y+4=0)平行，则(m)的值为【】
分析：由题可知，(cfrac{1}{m}=cfrac{m+1}{2} eq cfrac{-2}{4})①，具体求解时我们往往只利用下式求值，
由(cfrac{1}{m}=cfrac{m+1}{2})②，解得(m=1)或(m=-2)，由于刚才扩大了范围，故此时需要代入①式验证，
验证得到(m=-2)时不符，故(m=1)，则选(A)。
反思：满足②式的解不见得就一定满足①式，故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。
求直线方程的方法
待补充
①直接法
②公式法
③直线系法
④向量法
⑤相关点法
⑥参数法
⑦结构分析法
⑧点差法
如给定直线(y=2x+1)，其中点((0，1))，点((1，3))都在其上，
我们现在想求做过点((1，3))的直线(y=2x+1)的参数方程，
可以这样做，依照模板(left{egin{array}{l}{x=x_0+cos heta cdot t}\{y=y_0+sin hetacdot t}end{array} ight.(t为参数))
定点坐标为((x_0，y_0)=(1，3))，
可知(k=tan heta=2)，引入非零比例因子(k)，
得到(sin heta=2k)，(cos heta=k(k>0))，
由(sin^2 heta+cos^2 heta=1)，得到(k=cfrac{sqrt{5}}{5})，
则可知(cos heta=cfrac{sqrt{5}}{5})，(sin heta=cfrac{2sqrt{5}}{5})
故所给定直线(y=2x+1)的参数方程为
(left{egin{array}{l}{x=1+cfrac{sqrt{5}}{5} t}\{y=3+cfrac{2sqrt{5}}{5} t}end{array} ight.(t为参数))
总结思路：①找个定点；②求解(cos heta)和(sin heta)；③带入模板，OK! ↩︎证明：由于点(P_0(x_0，y_0))在圆(x^2+y^2=r^2)上，故有(x_0^2+y_0^2=r^2)，
又由于直线(OP)的斜率(k_1=cfrac{y_0}{x_0})，故和直线(OP)垂直的圆的切线的斜率为(k_0=-cfrac{x_0}{y_0})
由点斜式可得，过圆上的点(P_0(x_0，y_0))的切线方程为(y-y_0=k_0(x-x_0))，
即(y-y_0=-cfrac{x_0}{y_0}(x-x_0))，整理为(x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2)，又(x_0^2+y_0^2=r^2)，
故整理得到切线方程为(x_0x+y_0y=r^2)。 ↩︎